佛山一中2021-2022学年第一学期高二级期中考试数学答案

佛山一中2021-2022 学年第一学期高二级期中考试数学答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C A C A B B C ABD ABD ACD CD 二、填空题 13. 14. 15. 16. 11．对于A，当点E 与点 重合时， ， ，∴ ， 即 ，故A 正确； 对于B，∵ ，异面直线 与 所成的角即为异面直线 与 所成的角， 根据最小角定理， 与 所成角的最小值即为 与平面 所成角， 由三余弦定理可得 ，即 ，故B 不正确； 对于C，∵ 平面 ，∴ ，故C 正确； 对于D，易知平面 平面 ， 平面 ，所以 ，故D 正确. 12．对于A，圆 关于直线 对称的圆方程为 ， 所以A 不正确； 对于B，由圆 ，可得圆心坐标为 ，半径为 ， 则圆心 到直线 的距离为 ， 所以圆 上有且仅有3 个点到直线的距离都等于1，所以B 不正确； 对于C，由圆 ，可得圆心坐标为 ，半径为 ， 由圆 ，可得圆心坐标为 ，半径为 ， 可得圆心距 ，要使得圆 与 恰有三条公切线， 则 且 ，解得 ，所以C 正确； 对于D 中，因为 ， ， 所以 ，故D 正确. 16．解：（1）由题意 ，圆半径为 ，所以 ； （2）取 ， ∵ ， ， ，∴ ， ∴ ，可得 ， ∴ ， 直线 方程为 ，即 ， 原点 到直线 距离为 ，直线 与圆 相交， 所以 共线时， ． 三、解答题 17．(本题10 分) 解： （1）由直线的方程为 且 ，可得直线 的斜率为2， ……1 分 又 在 轴上的截距为 ，即过点 ……2 分 所以直线 方程： 即 ， ……3 分 联立方程，得： ，故交点为 . ……5 分 （2）当直线 过原点时， 方程为： ， ……6 分 当直线 不过原点时，设 方程为 ， ……7 分 则 ，故 方程为： ，即 ， ……9 分 综上所述： 的方程为 或 . ……10 分 18．(本题12 分)解：（1）证明：连结 . 因为底面 为矩形，所以 . ……1 分 又 平面 ，且 平面 ， 所以 平面 . ……3 分 又 平面 ，且平面 平面 ， 所以 . ……4 分 又因为 ，所以 ……5 分 因为 为 的中点，所以 为 的中点. ……6 分 （2） 平面 ， 平面 ， ，又 ， 平面 . ……8 分 取 中点 ，连 ， 是 中点， ，即 且 平面 ， ……10 分 又 的面积 . ……11 分 四面体 的体积 . ……12 分 19. (本题12 分) 解： （1）设A=“甲运动员一箭命中10 环”，B=“乙运动员一箭命中黄圈”……1 分 （A）= ， P（B）= ， ……3 分 （2）设C=“乙运动员一箭命中10 环”，D=“有人命中10 环”， 则 ， ……4 分 法一： , ， ,又A、C 独立， ……6 分 ； ……8 分 法二： , , ， 又A、C 独立； 互斥 ……6 分 ……8 分 法三： , , ，又A、C 独立； ……6 分 . ……8 分 (3) 设Ai=“甲运动员第i 箭命中黄圈”，Bi=“乙运动员第i 箭命中黄圈” 则 设E=“共有3 支箭命中黄圈”， ……10 分 ， 又 相互独立； 互斥 故 。 ……12 分 20. (本题12 分) 解：（1）证明：法一：取CE 的中点G，连接DG、BG，则DF EG 且 DF=EG，所以四边形DFEG 为平行四边形， ……1 分 ∴DG EF，又AB EF，所以DG AB， ……2 分 又DG=EF=AB，所以四边形ABGD 为平行四边形，所以AD BG， ……4 分 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 . ……6 分 法二：由题意知AF BE， 平面 ， 平面 ，所以AF//平面BCE, …2 分 同理，DF//平面BCE ……3 分 ∵AF∩DF=F，∴平面ADF 平面BCE，…4 分 又AD⊂平面ADF， ……5 分 ∴AD 平面BCE； ……6 分 （2）证明：在图甲中，EF AB，AB⊥AD， ∴EF⊥AD，则在图乙中，CE⊥EF， ……7 分 又∵平面CDFE⊥平面ABEF，平面CDFE∩平面ABEF=EF， ∴CE⊥平面ABEF，得CE⊥AB， ……9 分 又∵AB⊥BE， ,∴AB⊥平面BCE. ……11 分 AB⊂平面ABC， ∴平面ABC⊥平面BCE； ……12 分 21．(本题12 分)解： （1）证明：取 中点 ，连接 ,因为 分别是 的中点， 所以 ， ……1 分 因为 ，所以 ，……2 分 所以四边形 是平行四边形，所以 ， ……3 分 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ……4 分 （2）因为 ，且平面 平面 ，所以 平面 ， 因为 与平面 所成角为 ，所以 ， ……5 分 因为底面 是边长为2 的菱形，且 ，所以 ， G 所以 ， ……6 分 以 为坐标原点， 为 轴建立空间直角 坐 标系， 则 ， ， ， 所以 ， ， ……7 分 设平面 的法向量 ， 则 ，取 ，则 ， ，则 ， ……9 分 取平面 的法向量 ， ……10 分 设二面角 的平面角为 ，由图可知 为锐角， 所以 . ……11 分 所以二面角 的余弦值为 . ……12 分 22．(本题12 分) 解： （1）设圆心坐标 ，半径为 ，圆C 过点A(2,6),且与直线l1: x+y－10=0 相切于点 B(6,4)， 所以 ……2 分 即 ，解得 ，所以 ……3 分 所以圆C 的方程： ； ……4 分 （2）过点P(6,24)的直线l2与圆C 交于M,N 两点,若△CMN 为直角三角形, ，所以△CMN 为等腰直角三角形，且 ， 所以圆心 到直线l2的距离为 ， ……5 分 当直线l2的斜率不存在时，直线方程 ， 圆心 到直线l2的距离为5，符合题意； ……6 分 当直线l2的斜率存在时，设斜率为 ， 直线方程为 ，即 圆心 到直线l2的距离为 ， 即 ， ，解得 ， ……7 分 直线l2的方程为 或 ； ……8 分 （3）若直线l3: y=x－2 上存在一点Q,过点Q 向圆C 引两切线,切点为E,F, 使△QEF 为正三角形, 即 ，在 中， ， ……9 分 设 ，即 ……10 分 解得 或 ……11 分 所以点 的坐标为 或 . ……12 分