佛山一中2021-2022学年第一学期高二级期中考试数学试题

佛山一中2021-2022 学年第一学期高二级期中考试试题 数学 命题人：程生根 黄玲玲 2021 年11 月 本试卷共4 页，22 小题，满分150 分，考试时间120 分钟。 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷 上。 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑。非选 择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内 相应位置上。不按以上要求作答的答案无效。 第一部分选择题（共60 分） 一、单选题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。） 1．直线的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则（ ） A． B． C． 或 D．与 的位置关系不能判断 2．直线 ： ， ： ，若 ，则 （ ） A．－3 或2 B．3 或－2 C．－3 D．2 3. 已知向量 ， ，若 与 夹角为 ，则 的值为（ ） A． B． C．－1 D．1 4. 有一副去掉了大小王的扑克牌，充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“黑 桃”或“A”的概率为（ ） A ． B. C. D. 5. 长方体 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦 值为( ) A ． B． C． D． 6. 过点 作圆 的两条切线，设切点分别为A、B，则直线AB 的方程为（ ） A． B． C． D． 7．如图所示，空间四边形OABC 中， ， ， ， 为 中点，点 在BC 上，且 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 8．已知圆的方程为 ，设该圆过点 的最长弦和最短弦分别为 AC 和BD，则四边形ABCD 面积为（ ） A． 6 B． C． D． 二、多选题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。） 9．空间直角坐标系中，设坐标原点为O，定点A、B、C 坐标分别是 、 、 ，则有( ) A．四面体OABC 的体积为1 B．ABC 是锐角三角形 C． 是平面ABC 的一个法向量 D．若点D 的坐标为（3，－2，1），则D平面ABC 10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数。若用 表示红色骰子的 点数，若用 表示绿色骰子的点数，用 表示一次试验的结果，定义事件：A=“ 为奇数”, B=“ ”， C=“ ”，则下列结论正确的是（ ） A．P(A)=3P(B) B．A 与B 互斥 C．A 与B 独立 D．B 与C 独立 11．如图，在正方体 中，点E 是线段 (含端点）上的动点，则下列结论 正确的是（ ） A．存在点E，使 B．异面直线 与 所成的角最小值为 C．无论点E 在线段 的什么位置，都有 D．无论点E 在线段 的什么位置，都有 12．以下四个命题中为真命题的是（ ） A．圆 关于直线 对称的圆方程为 B．圆 上有且仅有2 个点到直线： 的距离都等于1 C．曲线 ： 与曲线 ： 恰有三条公切线，则 D．已知圆 ： ，点 为直线 上一动点，过点P 向圆C 引切线 PA， 为切点，则|PA|的最小值为1. 第二部分非选择题（90 分） 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13．过点（－1，3）且与直线 垂直的直线方程为________． 14．已知向量 ， ，若 与 垂直，则 ___________. 15．某校高二级学生会主席团共有5 名成员，其中女生比男生多。现要从中随机抽取2 名 成员去参加外校交流活动，若抽到一男一女的概率为 ，则抽到2 名女生的概率为 . 16．已知两定点 ， ， 是圆 ： 上的动点．则 （1） 的最大值为__________. （2） 的最小值为__________． 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（本题10 分）已知直线 的方程为 ，若 在 轴上的截距为 ，且 . （1）求直线 和 的交点坐标； （2）已知直线 经过 与 的交点，且在 轴上截距是在 轴上的截距的2 倍，求 的方 程. 18．（本题12 分）如图所示，在四棱锥 中，底面 为正方形， 为侧棱 的中点． （1）设经过 、 、 三点的平面交 于 ，证明： 为 的中点； （2）若 底面 ，且 ，求四面体 的体积． 19．（本题12 分）射箭是群众喜闻乐见的运动形式之一，某项赛事前，甲、乙两名射箭爱 好者各射了一组（72 支）箭进行赛前热身训练，下表是箭靶区域划分及两人成绩的频数记 录信息， 箭靶区域 环外 黑环 蓝环 红环 黄圈 区域颜色 白色 黑色 蓝色 红色 黄色 环数 1-2 环 3-4 环 5 环 6 环 7 环 8 环 9 环 10 环 甲成绩(频数) 0 0 1 2 3 6 36 24 乙成绩(频数) 0 1 2 4 6 11 36 12 用赛前热身训练的成绩估计两名运动员的正式比赛的竞技水平，并假设运动员竞技水平互 不影响，运动员每支箭的成绩也互不影响. （1）估计甲运动员一箭命中10 环的概率及乙运动员一箭命中黄圈的概率； （2）甲乙各射出一支箭，求有人命中10 环的概率； （3）甲乙各射出两支箭，求共有3 支箭命中黄圈的概率. 20．（本题12 分）如图甲，直角梯形 中，AB⊥AD，AD BC，F 为AD 中点，E 在 BC 上，且 ，已知 AB=AD=CE=2，现沿EF 把四边形 CDFE 折起（如图乙），使平面CDFE⊥平面 ABEF. （1）求证： 平面BCE； （2）求证：平面ABC⊥平面BCE； 21．（本题12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2 的菱形， ，平面 平面 ，点 为棱 的中点． （1）求证： ； （2）若 与平面 所成角为 ，求二面角 的余弦值． 22．（本题12 分）已知圆C 过点A(2,6)，且与直线l1: x+y－10=0 相切于点B(6,4). (1)求圆C 的方程； (2)过点P(6,24)的直线l2与圆C 交于M,N 两点，若△CMN 为直角三角形，求直线l2的方程； (3)在直线l3: y=x－2 上是否存在一点Q，过点Q 向圆C 引两切线，切点为E,F, 使△QEF 为 正三角形，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由.