佛山一中2021-2022学年第一学期高二级期中考试数学试题

佛山一中2021-2022 学年第一学期高二级期中考试试题 第1 页，共4 页 佛山一中2021-2022 学年第一学期高二级期中考试试题 数学 命题人：程生根 黄玲玲 2021 年11 月 本试卷共4 页，22 小题，满分150 分，考试时间120 分钟。 注意事项： 1． 答题前， 考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、 考号填写在答题卷上。 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑。非选 择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内 相应位置上。不按以上要求作答的答案无效。 第一部分选择题（共60 分） 一、单选题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 ） 1．直线l 的一个方向向量为   2,1,1 l  ，平面的一个法向量为   4,2,2 n  ，则（ ） A．/ / l  B．l   C．/ / l 或l   D．l 与的位置关系不能判断 2．直线1 l ： 3 1 0 ax y   ，2 l ：   2 1 1 0 x a y    ，若1 2 / / l l ，则a （ ） A．－3 或2 B．3 或－2 C．－3 D．2 3. 已知向量   3,0,1 a  ，   k,2,0 b  ，若a 与b 夹角为2 3 ，则k 的值为（ ） A． 2  B． 2 C．－1 D．1 4. 有一副去掉了大小王的扑克牌， 充分洗牌后， 从中随机抽取一张， 则抽到的牌为 “黑桃” 或“A”的概率为（ ） A．1 52 B. 8 27 C. 4 13 D. 17 52 5. 长方体 1 1 1 1 ABCD ABC D  中， 1 3, 4 AB BC AA    ，则异面直线 1 AB 与 1 DA 所成角的余弦 值为( ) A．16 25 B．4 5 C．9 25 D．3 5 6. 过点   2,3 M 作圆 2 2 4 x y   的两条切线， 设切点分别为A、 B， 则直线AB 的方程为 （ ） A． 2 2 0 x y    B．2 3 4 0 x y    C．2 3 4 0 x y    D．3 2 6 0 x y    佛山一中2021-2022 学年第一学期高二级期中考试试题 第2 页，共4 页 7．如图所示，空间四边形OABC 中，OA a  ，OB b  ，OC c  ，M 为OA中点，点N 在 BC 上，且 2 BN NC  ，则MN 等于（ ） A． 2 1 1 3 2 2 a b c    B． 1 1 2 2 3 3 a b c    C． 1 2 1 2 3 3 a b c    D． 1 5 2 2 3 3 a b c    8．已知圆的方程为 2 2 2 4 4 0      x y x y ，设该圆过点   2,3 M 的最长弦和最短弦分别为 AC 和BD，则四边形ABCD 面积为（ ） A． 6 B．6 5 C．6 7 D．6 11 二、多选题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。 ） 9． 空间直角坐标系中， 设坐标原点为O， 定点A、 B、 C 坐标分别是(3,0,0)、 (0,2,0) 、 (0,0,1) ， 则有( ) A．四面体OABC 的体积为1 B．DABC 是锐角三角形 C． (3,2,1) n  是平面ABC 的一个法向量 D．若点D 的坐标为（3，－2，1） ，则DÎ 平面ABC 10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数。若用x 表示红色骰子的点 数，若用y 表示绿色骰子的点数，用( , ) x y 表示一次试验的结果，定义事件：A=“ x y  为 奇数”, B=“ x y  ” ， C=“ 4 x  ” ，则下列结论正确的是（ ） A．P(A)=3P(B) B．A 与B 互斥 C．A 与B 独立 D．B 与C 独立 11．如图，在正方体 1 1 1 1 ABCD ABC D  中，点E 是线段 1 CD (含端点）上的动点，则下列结论 正确的是（ ） A．存在点E，使 1 B E AC  B．异面直线 1 B E 与AD 所成的角最小值为 4  C．无论点E 在线段 1 CD 的什么位置，都有 1 1 AC B E  D．无论点E 在线段 1 CD 的什么位置，都有 1 1 / / B E ABD 平面 佛山一中2021-2022 学年第一学期高二级期中考试试题 第3 页，共4 页 12．以下四个命题中为真命题的是（ ） A．圆 2 2 2 0    x y x 关于直线 1 0   x y 对称的圆方程为 2 2 4 2 4 0      x y x y B．圆 2 2 4 x y   上有且仅有2 个点到直线l ： 2 0 x y   的距离都等于1 C．曲线 1 C ： 2 2 2 0 x y x    与曲线 2 C ： 2 2 4 8 0 x y x y m      恰有三条公切线，则 4 m  D．已知圆C ： 2 2 3 x y  ，点P 为直线3 4 10 0 x y    上一动点，过点P 向圆C 引切线 P A，A 为切点，则|PA|的最小值为1. 第二部分非选择题（90 分） 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13．过点（－1，3）且与直线 2 0 x y c    垂直的直线方程为________． 14．已知向量   2, 1,3 a   ，   1,1,  b x ，若a 与b 垂直，则 2 a b  ___________. 15．某校高二级学生会主席团共有5 名成员， 其中女生比男生多。现要从中随机抽取2 名成 员去参加外校交流活动，若抽到一男一女的概率为3 5 ，则抽到2 名女生的概率为 . 16．已知两定点  1,0 A  ，  1,2 B ，M 是圆O ： 2 2 3 x y   上的动点．则 （1）MA 的最大值为__________. （2）3 MA MB  的最小值为__________． 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ） 17． （本题10 分）已知直线1 l 的方程为 2 4 0 x y    ，若2 l 在x 轴上的截距为1 2 ，且1 2 l l  . （1）求直线1 l 和2 l 的交点坐标； （2）已知直线3 l 经过1 l 与2 l 的交点，且在y 轴上截距是在x 轴上的截距的2 倍，求3 l 的方程. 18． （本题12 分） 如图所示， 在四棱锥P ABCD  中， 底面ABCD为正方形，E 为侧棱PC 的 中点． （1） 设经过A 、B 、E 三点的平面交PD 于F ， 证明：F 为PD 的 中点； （2）若PA 底面ABCD，且 2 PA AD   ，求四面体A BEP  的 体积． 佛山一中2021-2022 学年第一学期高二级期中考试试题 第4 页，共4 页 19． （本题12 分）射箭是群众喜闻乐见的运动形式之一，某项赛事前，甲、乙两名射箭爱好 者各射了一组（72 支）箭进行赛前热身训练，下表是箭靶区域划分及两人成绩的频数记录 信息， 箭靶区域 环外 黑环 蓝环 红环 黄圈 区域颜色 白色 黑色 蓝色 红色 黄色 环数 1-2 环 3-4 环 5 环 6 环 7 环 8 环 9 环 10 环 甲成绩(频数) 0 0 1 2 3 6 36 24 乙成绩(频数) 0 1 2 4 6 11 36 12 用赛前热身训练的成绩估计两名运动员的正式比赛的竞技水平， 并假设运动员竞技水平互不 影响，运动员每支箭的成绩也互不影响. （1）估计甲运动员一箭命中10 环的概率及乙运动员一箭命中黄圈的概率； （2）甲乙各射出一支箭，求有人命中10 环的概率； （3）甲乙各射出两支箭，求共有3 支箭命中黄圈的概率. 20． （本题12 分）如图甲，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD / / BC，F 为AD 中点，E 在 BC 上，且 / / EF AB，已知AB=AD=CE=2，现沿EF 把四边形CDFE 折起（如图乙） ，使平 面CDFE⊥平面ABEF. （1）求证： / / AD 平面BCE； （2）求证：平面ABC⊥平面BCE； 21． （本题12 分）如图，在四棱锥P ABCD  中，底面ABCD是边长为2 的菱形， 60 , 90 DAB ADP     ，平面ADP 平面ABCD，点F 为棱PD 的中点． （1）求证：AC PB  ； （2） 若PB 与平面ABCD所成角为3 ， 求二面角D FC B   的余弦值． 22． （本题12 分）已知圆C 过点A(2,6)，且与直线l1: x+y－10=0 相切于点B(6,4). (1)求圆C 的方程； (2)过点P(6,24)的直线l2与圆C 交于M,N 两点， 若△CMN 为直角三角形， 求直线l2的方程； (3)在直线l3: y=x－2 上是否存在一点Q，过点Q 向圆C 引两切线，切点为E,F, 使△QEF 为正三角形，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由.