第31讲 轴对称、平移、旋转（练习）（解析版）

第31 讲 轴对称、平移、旋转 目 录 题型01 轴对称图形、中心对称图形的识别 题型02 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型03 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型04 轴对称中的光线反射问题 题型05 折叠问题-三角形折叠问题 题型06 折叠问题-四边形折叠问题 题型07 折叠问题-圆形折叠问题 题型08 折叠问题-抛物线与几何图形综合 题型09 求对称轴条数 题型10 画轴对称图形 题型11 设计轴对称图 题型12 求某点关于坐标轴对称点的坐标 题型13 轴对称有关的规律探究问题 题型14 轴对称的综合问题 题型15 利用平移的性质求解 题型16 利用平移解决实际生活问题 题型17 作平移图形 题型18 由平移方式确定点的坐标 题型19 由平移前后点的坐标判断平移方式 题型20 已知图形的平移求点的坐标 题型21 平移的综合问题 题型22 找旋转中心、旋转角、对应点 题型23 根据旋转的性质求解 题型24 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型25 画旋转图形 题型26 求旋转对称图形的旋转角度 题型27 旋转中的规律问题 题型28 求绕原点旋转90°点的坐标 题型29 求绕某点（非原点）旋转90°点的坐标 题型30 求绕原点旋转一定角度点的坐标 题型31 旋转综合题-线段问题 题型32 旋转综合题-面积问题 题型33 旋转综合题-角度问题 题型34 画已知图形关于某点的对称图形 题型35 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型36 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图 题型01 轴对称图形、中心对称图形的识别 1．（2024·山东临沂·一模）下列图形中，属于轴对称图形的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分 能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：中图形是轴对称图形，故符合要求； B 中图形不是轴对称图形，故不符合要求； 中图形不是轴对称图形，故不符合要求； D 中图形不是轴对称图形，故不符合要求； 故选：． 2．（2023·广东肇庆·统考一模）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】本题考查轴对称图形、中心对称图形的识别．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形 能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的 部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此对各选项逐一判断即可．解题的关键是掌握轴对称图 形、中心对称图形的定义． 【详解】解：．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； ．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：． 3．（2023·四川广安·统考一模）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线 折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°， 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选． 4．（2023·山东青岛·统考三模）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，下列 窗花作品是中心对称图形的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，熟知定义是解题的关键．根据轴中心对称图形的定义进行 逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这 个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：第1 个图形是中心对称图形，符合题意； 第2 个图形是中心对称图形，符合题意； 第3 个图形不是中心对称图形，不符合题意； 第4 个图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 题型02 根据成轴对称图形的特征进行判断 5．（2023·天津·校联考一模）如图，△ABC与△A1B1C1，关于直线MN对称，P 为MN上任一点（P 不 与A A1共线），下列结论不正确的是（ ） ．AP=A1 P B．△ABC与△A1B1C1的面积相等 ．MN垂直平分线段A A1 D．直线AB , A1B1的交点不一定在MN上 【答】D 【分析】根据轴对称的性质依次进行判断，即可得． 【详解】解：∵△ABC与△A1B1C1，关于直线MN对称，P 为MN上任一点（P 不与A A1共线）， ∴AP=A1 P，△ABC与△A1B1C1的面积相等，MN垂直平分线段A A1， 即选项、B、正确， ∵直线AB , A1B1关于直线MN对称， ∴直线AB , A1B1的交点一定在MN上， 即选项D 不正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 6．（2023·河北秦皇岛·统考三模）如图是嘉嘉把纸折叠后剪出的图，将剪纸展开后得到的图是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据轴对称的性质求解即可． 【详解】解：如图是嘉嘉把纸折叠后剪出的图，将剪纸展开后得到的图是A选项． 故选：． 【点睛】本题考查利用轴对称设计图，剪纸问题，解题的关键是理解轴对称图形的性质，属于中考常考题 型． 7．（2019·河北·模拟预测）如图，△B 与△DEF 关于直线M 轴对称，则以下结论中错误的是（ ） ．B=DE B．∠B=∠E ．B//DF D．D 的连线被M 垂直平分 【答】 【分析】轴对称的性质：①如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形全等；②如果两个图形关于某 直线对称，那么对应线段或者平行，或者共线，或者相交于对称轴上一点；③如果两个图形关于某直线对 称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线． 【详解】根据轴对称的性质可得：B=DE，∠B=∠E，D 的连线被M 垂直平分， ∴选项、B、D 正确，选项错误， 故选：． 题型03 根据成轴对称图形的特征进行求解 8．（2022·广东东莞·湖景中学校考一模）如图，在正方形BD 中，已知边长AB=5，点E 是B 边上一动点 （点E 不与B、重合），连接E，作点B 关于直线E 的对称点F，则线段F 的最小值为（ ） ．5 B．5 ❑ √2−5 ．5 ❑ √2 2 D．5 2 【答】B 【分析】根据对称性得到动点M 的轨迹是在以圆心，5 为半径的圆上，根据点圆模型，在正方形中利用勾 股定理求出线段长即可． 【详解】连接，F，由轴对称知，F=B=5， ∵正方形BD 中，B=B=5，∠B=90°， ∴AC= ❑ √A B 2+BC 2=5 ❑ √2, ∵F+F≥， ∴当点F 运动到上时，F=-F，F 取得最小值， 最小值为CF =5 ❑ √2−5， 故选B 【点睛】本题考查动点最值问题，解题过程涉及到对称性质、圆的性质、正方形性质、勾股定理等知识点， 解决问题的关键是准确根据题意得出动点轨迹． 9．（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图，∠AOB=60°，点P到OA的距离是2，到OB的距离是3，M ，N分别是OA，OB上的动点，则△PMN周长的最小值是（ ） ．2❑ √19 B．3 ❑ √13 ．9 D．5 ❑ √3 【答】 【分析】作P点分别关于OA、OB的对称点P '、P ″，连接P ' P ″，分别交OA、OB于M，N则MP=M P '， NP=N P ″，OP=O P '=O P ″，∠BOP=∠BO P ″，∠AOP=∠AO P ″′，则 PN +PM +MN=N P ″+MN +M P '=DC，∠P 'O P ″=2∠AOB=120°，此时△PMN周长最小，为 P ' P ″，据此解答即可． 【详解】作P点分别关于OA、OB的对称点P '、P ″，连接P ' P ″，分别交OA、OB于M，N，则 MP=M P '，NP=N P ″，OP=O P '=O P ″，∠BOP=∠BO P ″，∠AOP=∠AO P ″′， ∴PN +PM +MN=N P ' '+MN +M P '，∠P 'O P ″=2∠AOB=120°， ∴此时△PMN周长最小，为P ' P ″， 延长P ' P，交OB与D． ∵∠AOB=60°， ∴∠P ' P P ″=120°， ∴∠EPD=60°， ∴∠D=30°， ∵PE=3， ∴PD=2 PE=6， ∴CD=CP+PD=2+6=8， ∴OC= ❑ √3 3 CD=8 ❑ √3 3 ， ∴OP= ❑ √OC 2+C P 2= ❑ √( 8 ❑ √3 3 ) 2 +2 2=2 3 ❑ √57， ∴P ' P ″=❑ √3OP=❑ √3× 2 3 ❑ √57=2❑ √19， 即△PMN周长的最小值是2❑ √19． 故选：． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径 最短问题． 10．（2020·山东德州·统考二模）如图，矩形BD 中，B＝2，D＝3，点E、F 分别为D、D 边上的点，且 EF＝2，点G 为EF 的中点，点P 为B 上一动点，则P+PG 的最小值为（ ） ．3 B．4 ．2❑ √5 D．5 【答】B 【分析】先确定点G 的轨迹，再作点关于B 的对称点A '，然后根据点与圆的位置关系确定PA+PG的值最 小时，点G 的位置，最后根据线段的和差即可得． 【详解】∵EF=2，点G 为EF 的中点 ∴DG=1 2 EF=1 G ∴ 是以D 为圆心，以1 为半径的圆弧上的点 作关于B 的对称点A '，连接A ' D，交B 于P，交以D 为圆心，以1 为半径的圆于G 则此时PA+PG的值最小，最小值为A 'G的长 ∵AB=2, AD=3 ∴A A '=2 AB=4 ∴A ' D= ❑ √A D 2+ A A '2= ❑ √3 2+4 2=5 ∴A 'G=A ' D−DG=5−1=4 即PA+PG的最小值为4 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称的性质、点与圆的位置关系等知识点，利用圆的性质确认PA+PG的值最小时， 点G 的位置是解题关键． 11．（2022·西藏拉萨·统考模拟预测）如图，Rt △ABC中，∠C=90°，∠A=38°，点D 在B 上，且 点D 与点B 关于直线l 对称，则∠ACD的度数为（ ） ．10° B．14° ．38° D．52° 【答】B 【详解】先求出∠B，再根据轴对称的性质，求出∠CDB=∠B=52°，用三角形外角等于不相邻的两个 内角和列方程，即可解得答． 【分析】解：∵∠C=90°，∠A=38°， ∴∠B=52°， ∵点D 与点B 关于直线l 对称， ∴∠CDB=∠B=52°， ∵∠CDB=∠ACD+∠A， ∴52°=∠ACD+38°， ∴∠ACD=14° ， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称以及三角形的外角和定理，解题的关键是掌握轴对称的性质，求出∠CDB=52°． 题型04 轴对称中的光线反射问题 12．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，光线自点P 射入，经镜面EF 反射后经过的点是（ ） ．点 B．B 点 ．点 D．D 点 【答】B 【分析】利用轴对称变换的性质判断即可． 【详解】解：如图，过点P，点B 的射线交于一点， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称变换的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 13．（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）如图所示为单反照相机取景器的示意图，五边形 ABCDE为五棱镜的一个截面，AB⊥BC．光线垂直AB射入，且只在CD和EA上各发生一次反射，两次 反射的入射角相等，最后光线垂直BC射出．若两次反射都为全反射，则该五棱镜折射率的最小值是（ ） （注：满足全反射的条件为折射率n= 1 sinθ ) ． 1 cos22.5° B． 1 cos 45° ． 1 sin 45° D． 1 sin22.5° 【答】D 【分析】根据几何关系求出入射角，通过折射定律求出五棱镜折射率的最小值即可得到答； 【详解】解：设入射到CD面上的入射角为θ，因为在CD和EA上发生反射，且两次反射的入射角相等， 根据光学几何关系可得， ∴两次反射的入射角相等， ∴∠FGK=∠HGK=∠GHM=∠MHN=θ， ∴4θ=90°， 解得：θ=22.5°， ∵sinθ=1 n， ∴最小折射率n= 1 sin22.5° ， 故选：D； 【点睛】本题主要考查解答几何光学问题，解题的关键是正确作出光路图． 14．（2020·江苏无锡·统考二模）如图，一面镜子斜固定在地面OB上，且∠AOB=60°点P为距离地面 OB为8cm的一个光源，光线射出经过镜面D处反射到地面E点，当光线经过的路径长最短为10cm时， PD的长为 ． 【答】4 【分析】作出PD 关于直线对称的线段P ' D，所以最短路线为P ' , D , E三点共线且P ' E⊥OB时最短，过P 作好垂线构建矩形，再利用等腰三角形的性质可得答． 【详解】解：作点P关于AO的对称点P '，当P ' E⊥OB时，光线经过的路径长最短， ∴P ' E=10，作PF ⊥P ' D于F，∴FE=PC=8，∴P ' F=2，∵∠AOB=60°， ∴∠ODE=30°，∴∠P ' DA=∠PDA=30°，∴∠P ' DP=60°，PD=P ' D， ∴△P P ' D为等边三角形，∴P ' F=FD=2，∴PD=P ' D=4． 故答为4． 题型05 折叠问题-三角形折叠问题 15．（2023·新疆·统考一模）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC， 第1 次折叠使点B落在BC边上的点B '处，折痕AD交BC于点D；第2 次折叠使点A落在点D处，折痕MN 交A B '于点P．若BC=12，则MP+MN=¿ ． 【答】6 【分析】根据第一次折叠的性质求得BD=D B '=1 2 B B '和AD⊥BC，由第二次折叠得到AM=DM， MN ⊥AD，进而得到MN ∥BC，易得M 是△ADC的中位线，最后由三角形的中位线求解． 【详解】解：∵已知三角形纸片ABC，第1 次折叠使点B落在BC边上的点B '处，折痕AD交BC于点D， ∴BD=D B '=1 2 B B '，AD⊥BC． ∵第2 次折叠使点A落在点D处，折痕MN交A B '于点P， ∴AM=DM，AN=ND， ∴MN ⊥AD， ∴MN ∥BC． ∵AM=DM， ∴M 是△ADC的中位线， ∴MP=1 2 D B '，MN=1 2 DC． ∵BC=12，BD+DC=C B '+2BD=BC， ∴MP+MN=1 2 D B '+ 1 2 DC=1 2 (D B '+D B '+B 'C )=1 2 BC=6． 故答为：6． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质和三角形中位线的性质，理解折叠的性质，三角形的中位线性质是解 答关键． 16．（2022·广东珠海·珠海市文中学校考三模）如图所示，将三角形纸片B 沿DE 折叠，使点B 落在点B′ 处，若EB′恰好与B 平行，且∠B＝80°，则∠DE＝ °． 【答】130 【分析】先求出∠B=∠B′=80°，∠BDE=∠B′DE，根据平行线的性质得到∠B′D=80°，进而得到∠BD B′=100°，∠BDE=50°，即可求出∠DE＝130°． 【详解】解：由折叠的定义得∠B=∠B′=80°，∠BDE=∠B′DE， ∵EB′∥B， ∴∠B′=∠B′D=80°， ∴∠BD B′=180°-∠B′D=100°， ∴∠BDE=∠B′DE=50°， ∴∠DE＝180°-∠BDE=130°． 故答为：130 【点睛】本题考查了折叠的定义，平行线的性质，邻补角的定义等知识，熟知相关知识并根据图形灵活应 用是解题关键． 17．（2021·辽宁沈阳·模拟预测）如图，已知等边△B 的边长为8，点P 是B 边上的一个动点（与点、B 不 重合），直线l是经过点P的一条直线，把△B 沿直线l 折叠，点B 的对应点是点B′． (1)基础图形：如图1，当PB＝4 时，若点B′恰好在边上，求AB'的长度； (2)模型变式：如图2，当PB＝5 时，若直线l∥，则BB'的长度为______； (3)动态探究：如图3，点P在AB边上运动过程中，点B'到直线AC的距离为m． ①如果直线l始终垂直于AC，那么m的值是否变化？若变化，求出m的变化范围；若不变化，求出m的值； ②当PB=6时，请直接写出在直线l的变化过程中，m的最大值． 【答】(1)AB的长为4 或0 (2)5 ❑ √3 (3)①m=4 ❑ √3；②m的最大值为6+❑ √3 【分析】(1)证明△PB′是等边三角形即可解决问题； (2)如图2 中，设直线l 交B 于点Q，连接B B′交PQ 于D，证明△PQB 是等边三角形，求出DB 即可解决问 题； (3)①如图3 中，结论：m 不变，证明B B′//,再证四边形B′BFF′为矩形即可； ②如图4 中，当PB′⊥时，m 最大，设直线PB'交AC于F′，求出B′F′即可解决问题 【详解】（1）解∵Δ ABC是等边三角形， ∴∠A=60°，AB=BC=AC=8， ∵PB=4， ∴PB'=PB=PA=4， ∵∠A=60°， ∴Δ APB'是等边三角形， ∴AB'=AP=4． 当直线l经过C时，点B'与A重合，此时AB'=0， 综上所述，AB的长为4 或0； （2）解如图2 中，设直线l交BC于点Q．连接BB'交PQ于D． ∵PQ/¿ AC， ∴∠BPQ=∠A=60°，∠BQP=∠C=60°， ∴Δ PQB是等边三角形， ∵PB=5， ∵B，B'关于PQ对称， ∴BB' ⊥PQ，BB'=2 DB ∴DB=PB⋅sin 60°=5× ❑ √3 2 =5 ❑ √3 2 ， ∴BB'=2 DB=5 ❑ √3， 故答为：5 ❑ √3； （3）解①结论：m的值不变，理由如下： 如图3，连接B B '，过B作BF ⊥AC于F，过B′作B′F′