精品解析：上海市行知中学2022-2023学年高一上学期10月质量检测数学试题（解析版）

第1 页/共18 页 （北京）股份有限公司 行知中学高一数学质量检测 2022.10.12 一､填空题（本大题共有12 小题，满分36 分） 1. 已知全集 ， ， ，则 ___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据补集及交集的定义运算即得. 【详解】∵全集 ， ， ， ∴ ， . 故答案为： . 2. 用描述法表示被5 除余3 的整数的集合为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件写出所求数的表达式即可. 【详解】设所求数为x，则 ， 则被5 除余3 的整数的集合为 ； 故答案为： . 3. 已知集合 ， ，且 ，则实数a 的取值范围是__________________ ____ . 【答案】 【解析】 【分析】由并集的定义及数轴表示可得解. 第2 页/共18 页 （北京）股份有限公司 【详解】在数轴上表示出集合 和集合 ,要使 ，只有 . 【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，利用数轴找关系是解题的关键，属于基础题. 4. 下列语句 ①考数学开心吗？ ②好好做作业，争取下次数学能及格 ③2 不是素数 ④0 是自然数 其中是命题的语句的序号有___________. 【答案】③④ 【解析】 【分析】根据命题的概念即得. 【详解】因为可以判断真假的陈述句为命题， 所以①为疑问句，不是命题； ②不能判断真假，不是命题； ③为假命题； ④为真命题； 所以是命题的语句的序号有③④. 故答案为：③④. 5. 若正数 满足 ，则 的最大值是______________. 【答案】 【解析】 【分析】可利用基本不等式求 的最大值. 【详解】因为 都是正数，由基本不等式有 ，即 ， 第3 页/共18 页 （北京）股份有限公司 所以 ，当且仅当 时等号成立，故 的最大值为 . 故答案为： 【点睛】易错点睛：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定 值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件 的验证. 6. 表示不超过实数 的最大整数，则不等式 的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由 可得 ，然后可得答案. 【详解】由 可得 ， 因为 表示不超过实数 的最大整数， 所以 ，即解集为 . 故答案为： 7. 若关于x 的不等式ax＞b 的解集为 ，则关于x 的不等式ax2＋bx－ a＞0 的解集为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式ax＞b 的解集为 ，可得 ，然后将二次不等式化简变形，把 代入，最后根 据一元二次不等式的解法可得结果. 第4 页/共18 页 （北京）股份有限公司 【详解】由已知ax＞b 的解集为 ，可知a＜0，且 ＝ ， 将不等式ax2＋bx－ a＞0 两边同除以a，得x2＋ x－ ＜0，即x2＋ x－ ＜0， 即5x2＋x－4＜0，解得－1＜x＜ ，故所求解集为 . 故答案为： 【点睛】本题考查不等式的解法，本题关键在于找到 ＝ ，考查分析能力以及计算能力，属基础题. 8. 对于任意实数 ，不等式 无解，则实数 的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】这是含参的不等式问题，通过对二次项系数进行讨论以及利用一元二次函数、 进行求解处理. 【详解】当 时，即 ，则 ，无解，所以 ； 当 时，即 ，要使不等式 无解， 则 ，解得 ； 综上， . 故答案为： . 9. 若 ，则 的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 第5 页/共18 页 （北京）股份有限公司 【分析】分 ， 讨论，分别利用不等式的性质求出 取值范围，进而即得. 【详解】当 时，有 ， ， 故 ，即 ； 当 时， ， ， 故 ， 所以 ； 综上， . 故答案为： . 10. 关于不等式 的整数解的集合为 ，则实数 的取值范围是___________. 【答案】 . 【解析】 【分析】通过解一元二次不等式以及利用集合的交集运算进行求解. 【详解】由 有： ， 由 有： 或 ， 当 ，即 ，由 有： ，不满足； 当 ，即 ，由 有： ， 所以要使不等式 的整数解的集合为 ， 第6 页/共18 页 （北京）股份有限公司 则 ，即 ； 当 ，即 ，由 有： ， 所以不等式 的解为 ，显然不满足； 综上， . 故答案为： . 11. 若关于x 的不等式 的解集为 ，关于x 的不等式 的 解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意用 替换 ，可得 ，即 或 ，即可解得； 【详解】解：关于 的不等式 的解集为 ，用 替换 不等式可以化为： 可得 即 或 可得 或 故答案为 ： 【点睛】本题考查不等式的解法，考查转化思想，属于基础题. 第7 页/共18 页 （北京）股份有限公司 12. 已知存在 ，使得 对任意的 恒成立，则 的取值范围___________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得 ，则问题转化为存在 使得 在 恒成立，然后求出 的最小值和 的最大值，即可得到不等式，求出参数 的取值范围． 【详解】解：问题等价于：当 时， 恒成立，显然 ， 当 ，也即 恒成立， 令 在 上单调递增， ， 令 ，则 在 上单调递减， 上单调递增， ①当 时 在 上单调递减， ． ， 即 ，解得 ，所以 ． ②当 时， ， ， ， 即 ，解得 ，所以 ． 第8 页/共18 页 （北京）股份有限公司 ③当 时 在 上单调递增， ． ， 即 ，解得 ，所以 ． 综上可得当 时，存在实数 ，使得不等式 对于任意的 都成立 故答案为： ． 二､选择题（本大题共有4 题，满分12 分） 13. 已知 ， 都是实数，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解：由 推不出 ，如 ， ，满足 ，但是 ，故充分性不成立， 由 推不出 ，如 ， ，满足 ，但是 ，故必要性不成立； 故“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件； 故选：D 14. 设 ，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C . D. 【答案】B 【解析】 第9 页/共18 页 （北京）股份有限公司 【分析】 利用基本不等式比较大小即可. 【详解】 ， ， ， . 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式比较大小，注意（1）各项必须为正数；（2）各项相等时才有等号. （3） 时， ，即两个数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，大于 等于它们的调和平均数. 15. 在关于 的方程 和 中，已知至少有一个 方程有实数根，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可以采用补集思想．三个判别式均小于0 的条件下取交集后再取补集即可． 【详解】若方程 和 都没有实数根. 则 ，解得： . 则方程 和 中，已知至少有一个方程有实数 根. 第10 页/共18 页 （北京）股份有限公司 所以 或 故选：C 【点睛】本题考查了命题与命题的否定，考查补集的方法解题，属于基础题． 16. 设集合 是实数集 的子集，如果点 满足：对任意 ，都存在 ，使得 ，那么称 为集合 的聚点，用 表示整数集，则在下列集合：① ， ② ，③ ，④整数集 .其中，以0 为聚点的集合有（ ） A. ②③ B. ①④ C. ①③ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】先理解 为集合X 的聚点的含义，以0 为聚点的集合, 即对任意 ，都存在 ，使得 ，对四个集合逐一分析， 对 ①,当 时，不存在满足 的 ，不是以0 为聚点的集合； 对②，都存在 ，使得 ，是以0 为聚点的集合； 对③，都存在 ，使 ，是以0 为聚点的集合； 对④，当 时，对任意的 ，都有 或者 ， 不存在满足 的 ，不是以0 为聚点的集合； 【详解】①集合 中的元素是极限为1 的数列，除了第一项0 之外， 第11 页/共18 页 （北京）股份有限公司 其余的都至少比0 大 ，∴在 的时候，不存在满足 的 ， 0 ∴ 不是集合 的聚点； ②集合 ，对任意的 ，都存在 （实际上任意比 小的数都可以），使得 ， ∴0 是集合 的聚点； ③集合 中的元素是极限为0 的数列，对于任意的 ， 存在 ，使 ， ∴0 是集合 的 聚点； ④对于某个 ，比如 ，此时对任意的 ，都有 或者 ，也就是说不可能 ，从而0 不是整数集 的聚点． 综上可知②③正确. 故选A 三､解答题（本大题共有5 题，满分52 分） 17. 解不等式组： . 【答案】 或 【解析】 【分析】分别解出绝对值不等式与分式不等式，再取两不等式的解集的交集. 【详解】解：因为 ， 第12 页/共18 页 （北京）股份有限公司 对于 ，即 或 ，解得 或 ， 对于 ，即 ，即 ，等价于 ，解得 ， 所以不等式组的解集为 或 . 18. 已知集合 ，集合 ，且 ，试求 的取值范围． 【答案】 ． 【解析】 【分析】由题意得， ，结合数轴，分 和 两类进行讨论即可求出答案． 【详解】解：∵ ，∴ ， ①当 时， ，∴ ； ②当 ，则根据题意如图所示： 根据数轴可得 ，解得 ， 综合①②可得 的取值范围为 ． 【点睛】本题主要考查集合间的基本运算，属于基础题． 19. 上海某化学试剂厂以x 千克/小时的速度生产某种产品（生产条件要求 ），为了保证产品的质 量，需要一边生产一边运输，这样按照目前的市场价格，每小时可获得利润是 元. 第13 页/共18 页 （北京）股份有限公司 (1)要使生产运输该产品2 小时获得的利润不低于3000 元，求x 的取值范围； (2)要使生产运输900 千克该产品获得的利润最大，问：该工厂应该选取何种生产速度？并求最大利润. 【答案】（1） ；（2）以每小时6 千克的速度能获得最大利润，最大利润为457500 元. 【解析】 【详解】(1)根据题意， 又 ，可解得 因此，所求 的取值范围是 (2)设利润为 元，则 故 时， 元． 因此该工厂应该以每小时6 千克的速度生产才能获得最大利润，最大利润为457500 元. 考点：（1）列解不等式；（2）函数的最值． 20. （1）求证：已知 ， ， ， ， ，并指出等号成立的条件； （2）求证：对任意的 ，关于 的两个方程 与 至少有一个方程有 实数根（反证法证明）； （3）求证：使得不等式 对一切实数 ， ， 都成立的充要条件是 ， ， 且 . 【答案】（1）证明见详解； （2）证明见详解； （3）证明见详解. 【解析】 【分析】利用作差法、一元二次不等式的解法、反证法、分类讨论法、不等式的性质进行证明. 【详解】（1）证明： ， ， 第14 页/共18 页 （北京）股份有限公司 要证 ，只需证 ， ，当且仅当 时取等号. （2）证明：假设对任意的 ，关于 的两个方程 与 都无实数根， 对于方程 有： ，解得 ， 对于方程 有： ，解得 ， 由 得， 无解，故假设不成立. （3）证明：先证必要性， 不等式 可改写为关于 的 二次式： ，① 若 ，则①式对一切实数 ， ， 成立，则只有 ， 若 ，则因为①式恒成立，所以 ， 恒成立， 所以 ，即 ， 所以必要性成立. 再证充分性，若 且 ， 若 ，则由 得 ，所以 ， 所以 ，所以①式成立，题设成立. 第15 页/共18 页 （北京）股份有限公司 若 ，则 ，所以①式成立，题设成立. 综上，充要性得证. 21. 定义区间 ， ， ， 的长度均为 ，其中 . （1）若关于 的不等式 的解集构成的区间的长度为 ，求实数 的值； （2）已知实数 ， （ ），求 解集构成的各区间长度和； （3）已知关于 的不等式组 的解集构成的各区间长度和为6，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理，结合条件可得 ，从而求得 的值. （2）将不等式 转化为高次分式不等式，求得不等式的解集，由此求得 构成的区间的长 度和. （3）先解出不等式 的解集为A，不等式 的解集为B，根据 的长度为6， 列不等式组，求出的取值范围. 【小问1 详解】 当 时，不符合题意. 当 时，设方程 的两根为 ，则 第16 页/共18 页 （北京）股份有限公司 由题意可知 解得 或 因为当 时，不等式的解集为两根两边范围，故舍 所以 【小问2 详解】 原不等式 可转化为 ①，对于 ，其判别式 ，故其必有两不相等的实数根，设为 ， 由求根公式得 ， . 下证 ： 构造函数 ，其两个零点为 ，且 .而 ，所以 ，由于 ，且 ，由二次函数的性质可知 . 故不等式①的解集为 ，其长度之和为 . 【小问3 详解】 因为 ，记 ， 设不等式 的解集为 ， 第17 页/共18 页 （北京）股份有限公司 不等式组 的解集为 设不等式 等价于 ， 所以 ， ， 由于不等式组的解集的个区间长度和为 ， 所以不等式组 ，当 是恒成立. 当 时，不等式 恒成立，得 当 时，不等式 恒成立，分离常数得 恒成立. 当 时， 为单调递增函数， 所以 ，所以 ， 所以实数 . 第18 页/共18 页 （北京）股份有限公司