山东省菏泽市2022-2023学年高二上学期11月期中考试数学试题（A）

高二数学答案（A）第1 页（共5 页） 高二数学试题（A）参考答案 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分． 1—4DABC 5—8 DBCA 二、多项选择题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得5 分，选对但不全的得2 分，有选错的的0 分． 9．ABD 10．ABC 11． CD 12．AD 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．3 0 x y − = (直线方程的斜率为3 即可) 14．4 3 15．[1, 4] 16． 2 2 1 4 12 x y − = 4 3 4 3 ( , ) 3 3 − （第一空2 分，第二空3 分） 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分． 17． （10 分） 解： （1）由题意知 5 ( 1) 2 6 4 BC k −−− = = − − ，因为 / / AD BC ,所以 2 AD k = −.…3 分 ∴AD 边所在直线的方程为y－7＝-2(x＋4)，即2x+y＋1＝0．………………5 分 （2）kAC＝－5－7 6－(－4)＝－6 5． ∵菱形的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴kBD＝5 6．………………………7 分 ∵AC 的中点(1,1)，也是BD 的中点， ∴对角线BD 所在直线的方程为y－1＝5 6(x－1)，即5x－6y＋1＝0．…………10 分 18． （12 分） 解： （1）∵双曲线 2 2 : 1 3 6 x y E − = 的焦点坐标为( ) 3,0 ± ，………………2 分 又抛物线 2 : 2 C y px = ( 0 p > )的焦点 ,0 2 p F       ， ∴ 3 2 p = ，即 6 p = .……………………………………5 分 ∴抛物线C 的方程为 2 12 y x = .…………………………………6 分 （2）设 ( ) 1 1 , A x y ，( ) 2 2 , B x y ，则 1 2 1 2 1 2 6 8 2 2 p p AB AF BF x x x x p x x = + = + + + = + + = + + = ，…………8 分 ∴ 1 2 2 x x + = ，于是线段AB 的中点M 的横坐标是1，………………10 分 又准线方程是 3 x = −， ∴点M 到准线的距离等于1 3 4 + = .…………………………12 分 高二数学答案（A 19． （12 分） 解： （1）设圆的标准为 2 2 2 ( 3) x y r − + = ， 由题意知 2 2 = 4 3 5 r + = ，……………………2 故圆的标准方 2 2 ( 3) 25 x y − + = ．………………3 （2）证明：当直线n 斜率不存在时，设 ∵直线AM ，AN 的斜率之积为2， ∴ 4 4 2, 0 b b a a a − −− ⋅ = ≠ ，即 2 2 16 2 , 0 b a a = − ≠ ∵点 ( , ) M a b 在圆上， ( ) 2 2 3 25 a b ∴ − + = 联立 ( ) 2 2 2 2 16 2 3 25 b a a b  = −   − + =   ， 0 4 a b = = ±    ， 与题设矛盾舍去 .…………6 当直线n 斜率存在时，设直线n：y kx t 1 2 1 2 4 4 2 2 4 4 0 AM AN kx t kx t k k k x x k t x x t x x + − + − ⋅ = ⋅ =  联立方程( ) ( 2 2 2 2 2 3 25 y kx t k x kt x t x y = +    + + − + − =  − + =   ( ) 1 2 2 2 6 1 kt x x k − − ∴ + = + ， 2 1 2 2 16 1 t x x k − = + 代入①，得( )( ) ( 2 2 2 2 16 4 2 6 4 1 0 k t kt k kt t k − − + − − + + − + = 化简得 2 6 t k = + 或 4 t = ，…………………10 若 4 t = ，则直线n过( ) 0,4 ，与题设矛盾，舍去 ∴直线n 的方程为： 2 6 t y x t   = + +     所以( +1) 2 0, +1=0 6 6 x x t x y + − = ∴ 且2 0 所以 6, 12 x y = − = − . 所以过定点( 6, 12) − − ．…………………………………………12 A）第2 页（共5 页） ……………………2 分 ………………3 分 ( , ) M a b ， ( ) , N a b − ， ， (0,4) A ， 2 2 16 2 , 0 b a a = − ≠ ， 2 3 25 a b ∴ − + = ， 0 4， …………6 分 y kx t = + ， 1 ( M x ， 1 ) kx t + ， 2 ( N x ， 2 ) kx t + ， ( ) ( )( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 2 2 4 4 0 k k k x x k t x x t  − + − + + − = ① ) ( ) 2 2 2 1 2 6 16 0 k x kt x t + + − + − = ， 2 16 k ，…………8 分 )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 16 4 2 6 4 1 0 k t kt k kt t k − − + − − + + − + = ， …………………10 分 ，与题设矛盾，舍去. y x t = + + ， ( +1) 2 0, +1=0 2 0 x y − = …………………………………………12 分 高二数学答案（A）第3 页（共5 页） 20． （12 分） 解： （1）因为原点到直线1 l 的距离是3 5 5 ， 所以 3 5 5 5 a d = = ，即 3 a = ，所以 3 a = ± .……………………………3 分 （2）设点 ，因为a>0，则1 :2 3 0 l x y − + = ，……………………………4 分 由条件②知，点 在直线2 0 x y c − + = 上， 且 ，……………………………6 分 13 2 c ∴= 或11 6 ， 或 ，……………7 分 由条件③知， ， ，即 或 ，…………………9 分 因为点 在第一象限， ， （舍） ， 或 ， 解得 （舍） ， ，………………………………11 分 所以存在点 同时满足①②③. ………………………………12 分 21． （12 分）解： 解： （1）设动圆P 的半径为r，圆心P 的坐标为(x, y), 由题意知圆C1的圆心为C1 （-1， 0） ， 半径为7 2 ， 圆C2的圆心C2为 （1， 0） ， 半径为1 2 . 所以 1 2 7 2 1 2 PC R PC R  = −     = +   ,则 1 2 1 2 4 2. PC PC C C + = > = ………………………2 分 所以动圆P 的圆心的轨迹E 是以C1，C2 为焦点的椭圆，设方程为： 0 0 ( , ) P x y P 1 3 1 2 2 5 5 c c + − = 0 0 4 2 13 0 x y ∴ − + = 0 0 12 6 11 0 x y − + = 0 0 0 0 2 3 1 2 5 5 2 x y x y − + + − = 0 0 0 0 2 3 1 x y x y ∴ − + = + − 0 0 2 4 0 x y − + = 0 3 2 0 x + = P 0 0 x ∴ > 0 3 2 0 x + = 0 0 0 0 2 4 0 4 2 13 0 x y x y − + =  ∴ − + =  0 0 0 0 2 4 0 12 6 11 0 x y x y − + =   − + =  0 0 3 1 2 x y = −    =   0 0 1 9 37 18 x y  =     =   1 37 , 9 18 P      高二数学答案（A）第4 页（共5 页） 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b + = > > . 则2a=4，2c=2，所以 2 2, 3. a b = = 所以轨迹E 的方程为 2 2 1. 4 3 x y + = ………………………………5 分 （2）设 1 1 2 2 ( , ), ( , ), ( , ), M x y N x y A x y 则 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 4 3 4 3 x y x y + = + = ， ， 两式相减得 2 2 2 2 1 2 1 2 4 3 x x y y − − = − ，即 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 y y x x x x y y − + = − ⋅ − + ， 所以点A 的坐标满足方程 3 4 y x k = − ①，…………………………………7 分 又因为直线AG MN ⊥ 且直线AG 过点 1 ( ,0) 8 G 所以点A 的坐标也满足方程 1 1 ( ) 8 y x k = − − ② …………………………………8 分 由①②得 1 3 , 2 8 x y k = = − ，即 1 3 ( , ) 2 8 A k − . …………………………………9 分 因为点A 在椭圆 2 2 1 4 3 x y + = 的内部，所以 2 1 3 1, 16 64k + < 解得 2 1 , 20 k > 所以 5 5 10 10 k k > < − 或 ，………………………………11 分 所以k 的取值范围为 5 5 ( , ) ( . 10 10 −∞− ∞ ∪ ,+ )…………………………………12 分 22． （12 分） 解： （1）动点 ( , ) M x y 与定点 ( ) 5,0 F 的距离和它到定直线 4 : 5 5 l x = 的距离的比是 5 2 ，则 ( ) 2 2 5 5 2 4 5 5 x y x − + = − , ………………………………2 分 等式两边平方可得： 2 2 2 5 8 5 16 2 5 5 ( ) 4 5 5 x y x x x + − + = − + 化简得曲线C 的方程为： 2 2 4 1 x y − = . ………………………………5 分 高二数学答案（A）第5 页（共5 页） （2）假设存在点Q(t,0),使得QM QN ⋅ ���� ����� 为定值. 当直线l 斜率不为0 时，设直线l 的方程为 1 x my = + ，将其代入 2 2 4 1 x y − = 得 2 2 ( 4) 2 3 0 m y my − + − = . 所以 2 4 0 m − ≠， 且 2 2 4 12 4 0 m m ∆= + − > （ ） ，解得 2 2 3 4. m m > ≠ 且 ………6 分 设 1 1 2 2 ( , ), ( , ) M x y N x y ，则 1 2 1 2 2 2 2 3 , 4 4 m y y y y m m + = − = − − − ， 所以 2 1 2 1 2 2 2 2 8 ( ) 2 2 , 4 4 m x x m y y m m + = + + = − + = − − − 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3 2 ( 1)( 1) ( ) 1 1 4 4 m m x x my my m y y m y y m m = + + = + + + = − − + − − 2 20 4 . 4 m = −− − ………………………………………………………7 分 所以 1 1 2 2 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( )( ) QM QN x t y x t y x t x t y y ⋅ = − ⋅ − = − − + ���� ����� 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 20 8 3 ( ) 4 4 4 4 x x t x x t y y t t m m m = − + + + = −− + ⋅ − + − − − 2 2 8 23 4 , 4 t t m − = −+ + − ………………………………9 分 由QM QN ⋅ ���� ����� 为定值，得8 23 0 t − = ，即 23. 8 t = 此时 273. 64 QM QN ⋅ = ���� ����� ………10 分 当直线l 斜率为0 时, 273. 64 QM QN ⋅ = ���� ����� ……………………………………11 分 所以在x 轴上存在点 23 ( ,0) 8 Q ,使得QM QN ⋅ ���� ����� 为定值273. 64 …………………12 分