山东省菏泽市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

高一数学 第1 页共6 页 2022-2023 学年度高一第一学期学习质量检测 高一数学试题 注意事项: 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150 分，考试时间120 分钟. 2.答题前， 考生务必将姓名、 班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后， 用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。 超出答 题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、选择题:本题共8 小题，每小题5 分，共40 分在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合   2 N log 2 A x x    ，   3 81 x B x   ，则集合A B  的真子集个数为 （ ） A．7 B．8 C．15 D．32 2. 在使用二分法计算函数  lg 2 f x x x   的零点的近似解时，现已知其所在区 间为(1，2)，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来需要计算（ ） 次区间中点的函数值. A．2 B．3 C．4 D．5 3. 已知 1 lg 2 a  ， cos1 b  ， 3 2 2 c   ，则, , a b c 的大小关系为（ ） A．a b c   B．a c b   C．b a c   D．b<c<a 4. 2021 年12 月，考古工作者又公布了关于北京建城的一件重要文字证据。这 次在琉璃河遗址新发现的铭文， 不仅是A 国建城最早的文字证据， 更是北京建城 最早的文字证据.考古学家对现场文物样本进行碳14 年代学检测，检验出碳14 高一数学 第2 页共6 页 的残留量约为初始量的69%.已知被测物中碳14 的质量M 随时间t（单位：年） 的衰变规律满足 5730 0 2 t M M    （ 0 M 表示碳14 原有的质量） ， 据此推测该遗址属于 以下哪个时期（参考数据： 2 log 0.69 0.535  ） （ ） A．西周 B．两汉 C．唐朝 D．元朝 5．已知 ( ) f x 是奇函数，且在(0, ) 上是增函数，又 ( 2) 0 f   ，则 ( ) 0 1 f x x   的解集 为（ ） A．( 2,0) (1,2)   B．( 2,0) (2, )    C．( , 2) (1,2)   D．( 2, 1) (2, )     6. 已知     1 10 tan π tan 2π 3       ， π π , 4 2       ，则   2 π 2 sin 2 2cos 4             （ ） A． 3 10  B． 2 5  C． 1 5  D．0 7．已知函数    cos f x x     （ 0 ， π   ）的部分图象如图所示，且存在 1 2 0 π x x   ，满足     1 2 4 5 f x f x   ，则   2 1 cos x x  （ ） A． 3 5 - B．3 5 C．4 5 D． 4 5  8．已知函数  2 1 f x ax x   ，   1,2 x ，且  f x 的最大值为 2 a ，则a 的取值范 围是（ ） A． 1 1, 2        B． 1 1, 2         C． 1 2, 3       D． 1 1, 3       二、选择题：共4 小题，每小题5 分，共20 分，每个小题给出的选 高一数学 第3 页共6 页 项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5 分，有选错的得0 分，部分选对得2 分. 9.下列化简正确的是（ ） A． 2 2 2 cos sin 8 8 2     B．2sin 275°-1= 1 2 C．1 tan15 3 1 tan15     D．tan20°+tan40°+tan120° tan20°tan40° = 3 10．已知函数   1 y f x   是R 上的偶函数，对任意   1 2 , 1, x x    ，且 1 2 x x  都有    1 2 1 2 0 f x f x x x    成立，   2 log 8 a f  ， 2 e 1 log 4 b f       ，   ln2 e c f  ，则下列说法正确 的是（ ） A．函数  y f x  在区间  1,上单调递减 B．函数  y f x  的图象关于直线 1 x 对称 C．c b a   D．函数  f x 在 1 x 处取到最大值 11．把函数    3sin cos 0 π f x x x        的图象向左平移π 6 个单位长度，得到 的函数图象恰好关于y 轴对称，则下列说法正确的是（ ） A．  f x 的最小正周期为π B．  f x 在 π π 12 6        , 上单调递增 C．  f x 关于点5π , 2 12       对称 D．若  f x 在区间 π , 12 a       上存在最大值，则实数a 的取值范围为π , 6        12．已知函数      2 2 2 2 , 1 log 1 , 1 x x f x x x          ，若关于x 的方程  f x m  有四个不等实根 1 2 3 4 1 2 3 4 , , , ( ) x x x x x x x x    ，则下列结论正确的是（ ） A． 1 3 2 x   B．1 2 m   高一数学 第4 页共6 页 C． 3 4 4 1 x x   D． 2 2 1 2 log 2 m x x   的最小值为10 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分 13．已知 0 x 是方程 17 2 0 x x  的根，若   0 , 1 x n n   ，nZ ，则= n __________． 14．若关于x 的不等式   2 1 0 x a x ab    的解集为  1 x x  ∣ ，则ab的值为 __________. 15．若角的终边落在直线 3 y x  上，角的终边与单位圆交于点1 ( , ) 2 m ，且 sin cos 0   ，则cos sin  ________. 16．定义 其中max{ , } a b 表示, a b 中较大的数.对 x R ， 设 2 a x  ， 2 2 b x x   ， 函数 ( ) ( , ) g x f a b  ， 则 （1）( 1)= g  ______； （2） 若 2 ( ) ( ) g x g x  ， 则实数x 的取值范围是______ 四、解答题：本题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤 17.(10 分） 已知函数 0 2 ( ) ( 1) log (4 2 ) 1 f x x x x      的定义域为集合A， 2 1 g x x  的值域 为集合B，   2 3 C x a x a     ． (1)求A B  ； (2)若a =−3，求(���������) ∪���． 18.(12 分） 已知函数 ( ) log , ( ) log (2 2) a a f x x g x x m     ，其中 [1,3], 0 x a   且 1, a m R   ． (1)若 5 m 且函数 ( ) ( ) ( ) F x f x g x   的最大值为2，求实数a 的值． (2)当0 1 a  时，不等式 ( ) 2 ( ) f x g x  在 [1,3] x  有解，求实数m 的取值范围． 高一数学 第5 页共6 页 19.(12 分） 已知函数 ( ) 2sin( ) 0,| | 2 f x x               ， 其图象中相邻的两个对称中心的距离为 2 ，且函数 ( ) f x 的图象关于直线 3 x   对称； (1)求出 ( ) f x 的解析式； (2)将 ( ) f x 的图象向左平移12 个单位长度，得到曲线 ( ) y g x  ，若方程( ) g x a  在 2 , 6 3        上有两根，   （ ） ，求   的值及a 的取值范围. 20.(12 分） 已知定义域为R 的函数  2 1 2 1 x x a f x     是奇函数． (1)求  y f x  的解析式； (2)判断  f x 单调性，并用单调性的定义加以证明； (3)若不等式   2 2 8 log log 0 f x f a x           对任意的   0, x 恒成立，求实数a 的取 值范围． 21.(12 分） 世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混 合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3 类电动汽车目前处在不同的发展阶段， 并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替 代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022 年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本 2000 万元，每生产x （百辆） ，需另投入成本  C x （万元） ，且  2 10 100 ,0 40 10000 501 4500, 40 x x x C x x x x            ；已知每辆车售价5 万元，由市场调研知，全年 高一数学 第6 页共6 页 内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2022 年的利润 L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式； (2)2022 年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 22. (12 分） 如图是一矩形滨河公园ABCD，其中AB 长为8百米，BC 长为4 3 百米，AB 的中 点O为便民服务中心.根据居民实际需求，现规划建造三条步行通道OM 、ON 及 MN ，要求点M 、N 分别在公园边界AD 、BC 上，且OM ON  . （1）设 BON    .①求步道总长度L 关于的函数解析式 L ；②求函数 L 的 定义域. （2）为使建造成本最低，需步行通道总长最短，试求步行通道总长度的最小值. 答案第1页，共13页 高一数学参考答案 一、选择题:本题共8 小题，每小题5 分，共40 分在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1-4 A C B A 5-8 A D C B 二、选择题：共4 小题，每小题5 分，共20 分，每个小题给出的选 项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5 分，有选错的得0 分，部分选对得2 分. 9.AC 10.BC 11.ABD 12.BCD 解析 4．A 【详解】由题意知 5730 0 0 0.69 2 t M M    ，所以 2 log 0.69 5730 0.535 t    ，故 5730 3066 0.535 t    ， 距今时间大约为2021 3066 1045   ， 故推测该遗址属于西周时期. 5．A 【分析】由题意判断函数 ( ) f x 在( ,0)  上为增函数， (2) 0 f  ，作出函数大致图像，数形结 合，即可求得 ( ) 0 1 f x x   的解集. 【详解】奇函数 ( ) f x 在(0, ) 上为增函数，且 ( 2) 0 f   ， 函数 ( ) f x 在( ,0)  上为增函数，且 (2) 0 f  ，则函数 ( ) f x 的大致图像如图所示： 由 ( ) 0 1 f x x   ，得  0 1 f x x     或  0 1 f x x     ， 则 2 0 2 1 x x x       或 或 2 2 0 1 x x x        或 ， 答案第2页，共13页 所以1 2 x   或2 0 x   ,即 ( ) 0 1 f x x   的解集为( 2,0) (1,2)   , 故选:A． 6． 【详解】因为     1 10 tan π tan 2π 3       ， 所以 1 10 tan tan( ) 3      ， 所以 1 10 tan tan 3     ， 所以 2 3tan 10tan 3 0      ， 所以 1 tan 3  或tan 3  ， 因为 π π ( , ) 4 2  ，所以tan 1 ， 所以tan 3  ， 所以   2 π 2 sin 2 2cos 4             π π 2 sin 2 cos cos2 sin 4 4          2 2cos   2 sin 2 cos2 2cos       2 2 2 2 2 2sin cos cos sin 2cos sin cos             2 2 2 2 2 2tan 3cos sin tan 1 sin cos            2 2 2 2tan 3 tan tan 1 tan 1          2 3 3 9 9 1    0  . 故选：D 7．C 【详解】由图象可得 13 7π π π 2 12 12 2 T    ，即 2π π T    ，所以 2  ，7 π π 2 2 π 12 2 k      ， Z k ，所以 2π 2 π 3 k   ， Z k ，因为 π   ，所以 2 π 3  ，所以  2 cos 2 π 3 f x x         ， 由 1 2 0 π x x    ，得 1 2 2π 2π 2π 4π 2 2 3 3 3 3 x x       ，由     1 2 4 5 f x f x   ，结合图象可得 1 2 2π 2π 2 2 2π 3 3 x x     ， 1 2 5 π 3 x x   ，所以 2 1 5 π 3 x x   ，所以    2 1 1 1 1 5 2 4 cos cos π 2 cos 2 π 3 3 5 x x x x f x                    . 故选：C. 答案第3页，共13页 8．B 【分析】由函数的最大值问题转化为不等式恒成问题，借助函数的单调性求最值，从而得出 a 的取值范围. 【详解】 由题意可知， 2 0 a   ， 即 2 a ， 且 1 2 g a   ， ∴   1,2 x  ， 2 1 2 ax x a    ， 即 2 2 1 2 a ax x a      . ∴   1,2 x  ， 2 3 1 1 1 x a x x     （当 1 x 时也成立） ， 令 2 3 1 x h x x   ，   1,2 x ， 1 1 t x x  ，   1,2 x ，则 max min h a t ， ∵       2 3 1 10 3 6 3 10 3 6 3 x h x x x x x            ，且   3 4,5 x  ∴由   1 10 3 6 1 2 3 x x       ，可得  2 1 h x  ，即 max 1 h ， 又 1 1 t x x  在  1,2 上单调递增， ∴min 1 2 t  ，∴ 1 1 2 a   . 故选：B． 9． 【详解】 2 2 2 cos sin cos 8 8 4 2       ，故A 正确； 2 3 2sin 75 1 cos150 2   ，故B 错误；   1 tan15 tan 45 tan15 tan 45 15 tan 60 3 1 tan15 1 tan 45 tan15                   ，故C 正确； 因为   tan 20 tan 40 tan 60 tan 20 40 tan120 1 tan 20 tan 40               ， 所以tan 20 tan 40 + tan120 tan120 tan 20 tan 40         ，即tan 20 tan 40 tan120 3 tan 20 tan 40         ，故D 错误. 故选：AC. 10.【详解】根据题意，函数   1 y f x   是R 上的偶函数， 则将其向右平移1 个单位得到  f x ，则对称轴由 0 x  变为 1 x ， 故函数  f x 的图象关于直线 1 x 对称，故B 正确； 又由对任意   1 2 , 1, x x    ，且 1 2 x x  都有    1 2 1 2 0 f x f x x x    成立， 当 1 2 1 x x   时，则     1 2 f x f x  ， 答案第4页，共13页 当 2 1 1 x x   时，则    2 1 f x f x  所以函数 