山东省菏泽市2021-2022学年高二上学期期末 数学试题

2021-2022 学年高二上学期教学质量检测 数学试题 2022.1 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1. 已知直线过点 ，且与直线 垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2. 在四面体OABC 中，点M 在线段OA 上，且 ，N 为BC 中点，已知 ， ， ，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 3. 直线 是双曲线 的一条渐近线， ， 分别是双曲线左、右焦点，P 是双曲线上 一点，且 ，则 （ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 4. 已知等比数列 的前n 项和为 ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 5. 已知直线 与圆 相离，则以 ， ， 为边长的三角形为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不存在 【答案】A 6. 已知抛物线 ， 为坐标原点，以 为圆心的圆交抛物线于 、 两点，交准线于 、 两点，若 ， ，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 7. 已知等差数列 的前n 项和为 ， ， ，若 （ ），则n 的值为（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 【答案】B 8. 第24 届冬季奥林匹克运动会，将于2022 年2 月4 日在北京市和张家口市联合举行．北京将成为奥运史 上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．根据安排，国家体育场（鸟巢）成为 北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是两个“相 似椭圆”（离心率相同的两个椭圆我们称为“相似椭圆”）．如图，由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC，BD，若两切线斜率之积等于 ，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 二、选择题：共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分． 9. 下面四个结论正确的是 A. 向量 ，若 ，则 ． B. 若空间四个点 ， ， ， ， ，则 ， ， 三点共线． C. 已知向量 ， ，若 ，则 为钝角． D. 任意向量 ， ， 满足 ． 【答案】AB 10. 已知圆 ，直线 ．下列命题正确的有（ ） A. 直线l 与圆C 可能相切 B. y 轴被圆C 截得的弦长为 C. 直线l 被圆C 截得的最短弦长为 D. 直线l 被圆C 截得弦长最短时，直线l 的方程为 【答案】BD 11. 如图，已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，两条渐近线分别为 ， ， 过 ， 作 的垂线，垂足分别为A，B，若四边形 的面积为8，则以下选项正确的有（ ） A. B. 若 ，则双曲线方程为 C. 若 ，则离心率e 的范围 D. 延长 交 于点C，若 ，则 【答案】AC 12. 若数列 满足 ， ， （ ， ），则称数列 为Fibonacci 数 列．该数列是由意大利数学家列昂纳多·斐波那契于1202 年提出，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．下列关于此数列的结论正确的 有（ ） A. B. 数列 各项除以2 后所得的余数构成一个新数列 ，若数列 前n 项和为 ，则 C. 记 ，则数列 的前2021 项的和为 D. 【答案】ACD 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 双曲线 的一条渐近线的一个方向向量为 ，则 ______（写出一个即可）． 【答案】 (答案不唯一) 14. 过直线 上一动点P 作圆 的两条切线，切点分别为A，B，则四边形 PACB 面积的最小值为______． 【答案】 15. 如果点 在运动过程中，总满足关系式 ，记满足此条件的 点M 的轨迹为C，直线 与C 交于D，E，已知 ，则 周长的最大值为______． 【答案】8 16. 如图，按照以下规律排列的数阵中，第i 行从左向右第j 个数记为 ，如 ， ， 则 ______；令 则 ______． 【答案】 ①. 55 ②. 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知点 关于直线 的对称点为Q，以Q 为圆心的圆与直线 相交于A，B 两点，且 ． （1）求圆Q 的方程； （2）过坐标原点O 任作一直线交圆Q 于C，D 两点，求证： 为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 18. 如图，在长方体 中， ， ， ，M 为 上一点，且 ． （1）求点 到平面 的距离； （2）求二面角 的余弦值． 【答案】（1） （2） 19. 已知等比数列 的前n 项和为 ， ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）在 与 之间插入n 个数，使这 个数组成一个等差数列，记插入的这n 个数之和为 ，求数 列 的前n 项和． 【答案】（1） ； （2） ． 20. 已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， ，过 的直线交椭圆 E 于A，B 两点．当 轴时， ． （1）求椭圆E 的方程； （2）求 的范围． 【答案】（1） （2） 21. 已知正项数列 的首项为 ，且满足 ， ． （1）求证：数列 为等比数列； （2）记 ，求数列 的前n 项和 ． 【答案】（1）证明见解析 （2） 22. 已知抛物线 的焦点为F，以F 和准线上的两点为顶点的三角形是边长为 的等 边三角形，过 的直线交抛物线E 于A，B 两点． （1）求抛物线E 的方程； （2）是否存在常数 ，使得 ，如果存在，求 的值，如果不存在，请说明理由； （3）证明： 内切圆的面积小于 ． 【答案】（1） ； （2）存在，1； （3）证明见解析.