山东省菏泽市2022-2023学年高一下学期期中数学试题

（北京）股份有限公司 保密★启用前 2022—2023 学年度第二学期期中考试 高一数学试题（A） 2023.04 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150 分，考试时间120 分钟 2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应 题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.在复平面内，复数 对应的点与 对应的点关于虚轴对称，则 （ ） A. B. C. D. 2.在平行四边形ABCD 中， ， ， ， ，则 （ ） A.-2 B.2 C.-4 D.4 3.在 中， ， ， ，则 的解的个数是（ ） A.0 个 B.2 个 C.1 个 D.无法确定 4.已知正四棱台的上、下底面分别是边长为2 和4 的正方形，高为 ，则该四棱台的表面积为（ ） A. B.34 C. D.68 （北京）股份有限公司 5.一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度 ，水流速度 ，那么当航程最短时船实 际航行的速度大小为（ ） A.5 B.10 C.8 D. 6.已知正三棱锥 中， ， ， ，则正三棱锥 内切球的半径为（ ） A. B. C. D. 7.已知 是直径为 的圆内接三角形，三角形的一个内角 满足 ，则 周长的最大值 为（ ） A. B. C. D. 8.已知复数 ， ，且 ，在复平面内对应向量为 ， ， ，（O 为坐标原点）， 则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分，在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求，全选对的得5 分，选对但不全的得2 分，有选错的得0 分. 9.在 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，则（ ） A.若 ，则 B.若 ，则 一定是锐角三角形 C.点 ， ，与向量 共线的单位向量为 D.若平面向量 ， 满足 ，则 的最大值是5 10.设 是给定的平面，A、B 是不在 内的任意两点，则（ ） A.在 内存在直线与直线AB 相交 B.平面 与直线AB 至多有一个公共点 （北京）股份有限公司 C.在 内存在直线与直线AB 垂直 D.存在过直线AB 的平面与 垂直 11.在 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，则下列判断正确的是（ ） A.若 ，则 为钝角三角形 B.若 ，则 为等腰三角形 C.若 的三条高分别为 ， ， ，则 为钝角三角形 D.若 ，则 为直角三角形 12.如图，在矩形ABCD 中， ， ，E，F 分别为BC，AD 中点，将 沿直线AE 翻折成 ， 与B、F 不重合，连结 ，H 为 中点，连结CH，FH，则在翻折过程中，下列说法中正 确的是（ ） A.CH 的长是定值； B.在翻折过程中，三棱锥 的外接球的表面积为 ； C.当 时，三棱锥 的体积为 ； D.点H 到面 的最大距离为 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.如图， 是斜二测画法画出的水平放置的 的直观图， 是 的中点，且 轴， 轴， ， ，则 的周长___________. （北京）股份有限公司 14.在 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c， ，且 面积为 ，若 ， 则 ________________. 15.已知 ，设与 方向相同的单位向量为 ，若 在 上的投影向量为 ，则 与 的夹角 _ _________. 16.已知向量 ， 的夹角为 ， ，若对任意 ，恒有 ，则函数 的最小值为________________. 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知复数 （i 是虚数单位）. （1）求复数z 的模； （2）若复数 在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围. 18.如图， ， ， ，点C 是OB 的中点， 绕BO 所在的边逆时针旋转一周.设OA 逆时针旋转至OD 时，旋转角为 ， . （1）求 旋转一周所得旋转体的体积V 和表面积S； （北京）股份有限公司 （2）当 时，求点C 到平面ABD 的距离. 19.复数 ， ，i 为虚数单位， . （1）若 是实数，求 的值； （2）若复数 ， 对应的向量分别是 ， ，向量 ， 的夹角为锐角，求 的范围. 20.已知 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c 且 . （1）求C； （2）若 ， ，角C 的平分线交AB 于点D，点E 满足 ，求 . 21.如图，正方形ABCD 的边长为6，E 是AB 的中点，F 是BC 边上靠近点B 的三等分点，AF 与DE 交于点M. （1）设 ，求 的值； （2）若点P 自A 点逆时针沿正方形的边运动到C 点，在这个过程中，是否存在这样的点P，使得 ？ 若存在，求出MP 的长度，若不存在，请说明理由. 22.在 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c， . （1）证明： ； （2）求 的取值范围. （北京）股份有限公司 高一数学试题（A）参考答案 一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1—4AABC 5—8BCDB 二、多项选择题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求，全选对的得5 分，选对但不全的得2 分，有选错的得0 分. 9.AD 10.BCD 11.ACD 12.ACD 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 14.3 15. 16. 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 解：（1） ， ； （2）因为 ， 所以 解得 18. 解：（1）设底面半径为 ，圆锥BO 底面面积为 ，底面周长母线 ， 母线 . 圆锥BO 的体积 ，侧面积 . 圆锥CO 的体积 ， ， 侧面积 . 旋转一周所得旋转体的体积 （北京）股份有限公司 旋转一周所得旋转体表面积 . （2）连接AD， ， ， ， ， ，设点O 到平面ABD 的距离为h， ， ， 因为C 是OB 的中点.即点C 到平面ABD 的距离为 . 19. 解：（1）因为 ， 因为 为实数，所以 ， ， ； （2）复数 ， 复数 、 对应的向量分别是 ， ， ， ， ， ， 又 ， ， 当 、 同向时，设 ， 得 ， 综上，向量 、 的夹角为锐角时， 的范围是 . （北京）股份有限公司 20. 解：（1）依题意，由正弦定理 得 ， 由余弦定理 ， ，则 ， 则 ， 因为 ，所以 ； （2）如图所示，因为 ， ，所以 ， 又因为CD 为 的平分线， 所以 ， . 因为 ，所以在 中， ， 又 ，所以 为等边三角形，所以 . 在 中，由余弦定理可得 ， 即 ， 在 中，由正弦定理可得 ， 即 ，得 . （北京）股份有限公司 21. 解：（1）如图所示，建立以点A 为原点的平面直角坐标系， 因为 ，则 ，则 ， 又D，M，E 三点共线，则设 ， ， 即 ，则 解得 （2）由题意得 ，假设存在点P，使得 ， ①当点P 在AB 上时，设 ， ， ， 则 ，则 ，故 ， ； ②当点P 在BC 上时，设 ， ， ， 则 ， （舍去）； （北京）股份有限公司 综上，存在符合题意的点 ， . 22. 解：（1） ， ， ∴由余弦定理得： ， 即： ， 由正弦定理得： ， ， 整理得， ，即： ， 又 ， ，即： . （2） ， ，又 ， ， ∴由正弦定理得： ， 又 ， ， 令 ，则 ， ， 对称轴为 ， （北京）股份有限公司 在 上单调递增， 当时 时， ；当 时， ， ，即： 的范围为 （北京）股份有限公司