第十一章 三角形考点训练（解析版）

第十一章 三角形压轴题考点训练 评卷人 得分 一、单选题 1．如图，B⊥F，∠B、∠、∠D、∠E、∠F 的关系为（ ） ．∠B+∠+∠D+∠E+∠F＝270° B．∠B+∠﹣∠D+∠E+∠F＝270° ．∠B+∠+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠﹣∠D+∠E+∠F＝360° 【答】B 【分析】分析题意∠DM=∠1，∠D=∠2，然后利用三角形的内角和、等量代换求解即可． 【详解】解：连接D， 在△DM 中，∠DM+∠MD+∠MD＝180°， 在△D 中，∠D+∠D+∠D＝180°， ∠ ∴ DM+∠MD+∠MD+∠DM+∠D+∠D＝360°， ∠ ∵ MD+∠D＝360°﹣∠BF， ∠ ∴ DM+∠D+∠MD+360°﹣∠BF＝360°， ∵B⊥F， ∠ ∴ BF＝90°， ∠ ∴ DM+∠D＝90°﹣∠MD， ∠ ∵ DM＝∠1，∠D＝∠2， ∠ ∵ 1＝180°﹣∠B﹣∠，∠2＝180°﹣∠E﹣∠F， ∠ ∴ 1+∠2＝360°﹣（∠B+∠+∠E+∠F）， ∴90°﹣∠MD＝360°﹣（∠B+∠+∠E+∠F）， ∠ ∴ B+∠+∠E+∠F﹣∠MD＝270°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的应用，将图形中角的关系利用三角形的内 角和等于180°进行转化，再运用等量代换是解题的关键． 2．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是 ，则原来多边形的边 数是（ ） ． B． ． 或 D． 或 或 【答】D 【分析】首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数． 【详解】解：设截角后的多边形边数为，则有：（-2）×180°=1620°，解得：=11， ∴由下面的图可得原来的边数为10 或11 或12： 故选D． 【点睛】本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解 题关键． 3．在多边形内角和公式的探究过程中，主要运用的数学思想是（ ） ．化归思想 B．分类讨论 ．方程思想 D．数形结合思想 【答】 【分析】根据多边形内角和定理：（-2）·180（≥3）且为整数）的推导过程即可解答． 【详解】解：多边形内角和定理：（-2）·180（≥3）且为整数），该公式推导的基本方法 是从边形的一个顶点出发引出（-3）条对角线，将边形分割为（-2）个三角形，这（-2）个 三角形的所有内角之和正好是边形的内角和，体现了化归思想． 故答为． 【点睛】本题主要考查了在数学的学习过程应用的数学思想，弄清推导过程是解答此题的 关键 4．如图①，将一副三角板中的两个直角叠放在一起，其中 ， ， ， ，现按住三角板 不动，将三角板 绕点顺时针旋转， 图②是旋转过程中的某一位置，当B、、E 三点第一次共线时旋转停止，记 （k 为常数），给出下列四个说法： ①当 时，直线 与直线 相交所成的锐角度数为 ； ②当 时， ； ③当 时， ； ④当 时， ．其中正确的说法的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】先证明 ，然后求出当 时， ，由此按 照图①求解即可判断（1）；当 时， 求得 ， ，则 ，即可判断（2）；当 时，先求出 ，则 ， ，即可判断（3）；根据题意当 时，只有如图②一种情况，据此判断（4）即可． 【详解】解：当三角板 旋转角度小于 度时，如题干图②，设直线 与直线 交 于F， ∴ ， ∴ ， 当 时，即 ，如图①所示， ∴ ， ∴ ； 当三角板 旋转角度大于 时，如图②所示， ∴ ， ∴当 时，即 ， ∴ ， ∴此时 在图中 的位置， ∴ ，故（1）正确； 当三角板 旋转角度小于 度时，如图 所示， 当 时， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 当三角板 旋转角的大于 时，如图④所示， 同理可得 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，故（2）错误； 如图⑤所示，当 时， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，故（3）正确； 由于 顺时针旋转到B、、E 共线时停止， ∴当 时，只有如下图⑥一种情况， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故（4）正确， 故选：． 【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，三角形内角和定理，平行线的判定，正确 理解题意是解题的关键． 5．在 中， 分别是高和角平分线，点F 在 的延长线上， 交 于点G，交 于点，下列结论： ① ； ② ； ③ ， ④ ； 其中正确的有（ ）个． ．1 B．2 ．3 D．4 【答】D 【分析】①根据 ， ，由直角三角形锐角互余可证明；②根据角平分线 的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③根据三角形的内角和和角平分线的定义，进 行等量代换，即可证明结论正确；④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正 确． 【详解】解：有题意可知 ， ①正确； 是角平分线， ②正确； ③正确； ， ④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念 以及三角形外角的性质是解题的关键． 6．如图，△B 中，角平分线D、BE、F 相交于点，过点作G⊥，垂足为G，那么∠E 和∠G 的大小关系为（ ） ．∠E＞∠G B．∠E＜∠G ．∠E=∠G D．不一定 【答】 【分析】先根据D、BE、F 为△B 的角平分线可设∠BD=∠D=x，∠BE=∠BE=y， ∠BF=∠F=z，由三角形内角和定理可知，2x+2y+2z=180° 即x+y+z=90°在△B 中由三角形外 角的性质可知∠E=x+y=90° z ﹣，在△G 中，∠G=90° z ﹣，故可得出结论． 【详解】∵D、BE、F 为△B 的角平分线 ∴可设∠BD=∠D=x，∠BE=∠BE=y，∠BF=∠F=z， ∴2x+2y+2z=180° 即x+y+z=90°， ∵在△B 中，∠E=x+y=90° z ﹣， 在△G 中，∠G=90° z ﹣， ∠ ∴ E=∠G， 故选． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和 180°，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键． 7．如图， ，点 在 上，且 ，点 到射线 的距离为 ，点 在 射线 上， ．若 的形状，大小是唯一确定的，则 的取值范围是（ ） ． 或 B． ． D． 或 【答】 【分析】根据 的形状，大小是唯一确定的，结合三角形的三边关系进行分析即可． 【详解】解：过点 作 交 于点 ，作点 关于 的对称点 ，如图： ∵点 到射线 的距离为 ， ∴ ， ∵ 垂直平分 ， ∴ ， 当 ，即点 在线段 上（不含端点）或点 在线段 上（不含端点）， 不能唯一确定 ； 当 时，即点 与点 重合， 可唯一确定 为直角三角形； 当 时，即点 与点 重合或点 与点 重合， ∵点 与点 重合时不能构成三角形，故能唯一确定 ； 当 时，即点 在点 的右侧，故能唯一确定 ； 综上，若 的形状，大小是唯一确定的，则 的取值范围是 或 ． 故选：． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 8．如图，在△B 中，∠=90°，BE，D 分别平分∠B 和∠B，且相交于F， ， 于点G，则下列结论 ①∠EG = 2∠D；②平分∠BG；③∠D =∠GD；④∠DFB= ∠；⑤ ∠DFE=135°，其中正确的结论是( ) ．①②③ B．①③④ ．①③④⑤ D．①②③④ 【答】 【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明∠D+∠D=90°， ∠GD+∠BD=90°，即可判断③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出 ，即可判断④⑤；根据现有条件无法推出②． 【详解】解：∵D 平分∠B， ∠ ∴ B=2∠D，∠D=∠BD ∵ ， ∠ ∴ EG=∠B=2∠D，故①正确； ∠ ∵ =90°，G⊥EG， ， ∠ ∴ D+∠D=90°，G⊥B，即∠BG=90°， ∠ ∴ GD+∠BD=90°， 又∵∠BD=∠D， ∠ ∴ D=∠GD，故③正确； ∠ ∵ =90°， ∠ ∴ B+∠B=90°， ∵BE，D 分别平分∠B，∠B， ∴ ， ∴ ， ∠ ∴ DFB=180°-∠BF=45°， ∴ ，故④正确； ∠ ∵ BF=135°， ∠ ∴ DFE=∠BF=135°，故⑤正确； 根据现有条件，无法推出平分∠BG，故②错误； 故选． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行 线的性质，角平分线的定义是解题的关键． 9．已知 中， 是 边上的高， 平分 ．若 ， ， ， 则 的度数等于（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】题目由于在三角形中未确定 大小，所以需要进行分类讨论：（1） ，作出符合题意的相应图形，由图可得： ，根据角平分 线的性质得： ，在 中， ，故可得 ；（2） 时，由图可得： ， ，在 中， ，故可得 ；综上可得： ． 【详解】解：（1）如图1 所示： 时， 图1 ∵D 是B 边上的高， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∵E 平分 ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ； （2）如图2 所示： 时， 图2 ∵D 是B 边上的高， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∵E 平分 ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ； 综合（1）（2）两种情况可得： ． 故选：D． 【点睛】题目主要考查对三角形分类讨论、数形结合思想，主要知识点是三角形的角平分 线、高线的基本性质及图形内角的运算，题目难点是在依据题意进行分类讨论的情况下， 作出相应的三角形图形． 10．如图，D∥B，E⊥EF，E 在B 上，过E 作E⊥D，EG 平分∠FE，ED 平分∠E．若∠ED＋ ∠BD＝180°，∠ED＝3∠EG，则下列结论：① ∠EB＝2∠FEG；② ∠ED＝45°＋∠GEF；③ ∠ED＝135°－4∠GE；④ ∠EB＝15°，其中正确的是（ ） ．①②③④ B．①③④ ．①②④ D．①②③ 【答】D 【分析】根据角平分线的性质、三角形外角性质及三角形内角和求解即可． 【详解】解：∵EG 平分∠FE， ∠ ∴ FEG＝∠EG， 设∠FEG＝∠EG＝α， ∠ ∴ FE＝2α， ∠ ∵ ED＝3∠EG， ∠ ∴ ED＝3α， ∵E⊥D， ， ∴EB⊥B，∠＝90°， ∠ ∴ B＝90°， ∵E⊥EF， ∠ ∴ EF＝90°， ∠ ∴ E＝∠EF＋∠FE＝90°＋2α， ∠ ∵ E＝∠B＋∠EB＝90°＋∠EB， ∴90°＋2α＝90°＋∠EB， ∠ ∴ EB＝2α＝2∠FEG， 故①正确； ∵ED 平分∠E， ∠ ∴ ED＝ ∠E＝ （90°＋2α）＝45°＋α＝45°＋∠GEF， 故②正确； ∠ ∵ ED＝45°＋α，∠ED＝3α， ∠ ∴ ED＝180°−∠ED−∠ED＝180°−（45°＋α）−3α＝135°−4α＝135°−4∠GE， 故③正确； ∠ ∵ ED＋∠BD＝180°， ∠ ∴ EB＋∠DE＋∠ED＝180°， ∴2α＋2（135°−4α）＝180°， ∴α＝15°， ∠ ∴ EB＝2α＝30°， 故④错误， 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形角平分线的性质、三角形外角性质、三角形内角和，熟记三角 形角平分线的性质、三角形外角性质、三角形内角和是解题的关键． 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，小红作出了面积为1 的正△B，然后分别取△B 三边的中点1，B1，1，作出了正 △1B11，用同样的方法，作出了正△2B22，…由此可得，正△8B88的面积是 ． 【答】 【详解】试题解析：∵△B 三边的中点1，B1，1， ∴B11= B，1B1= B，11= ， △ ∴ 1B11∽△B， ∴S△1B11= S△B= ， 同理：S△2B22= S△1B11= ， ∴S△B= ， ∴正△8B88的面积是： ． 12．小明同学在社团活动中给发明的机器人设置程序：（，）．机器人执行步骤是：向正 前方走m 后向左转°，再依次执行相同程序，直至回到原点．现输入=4，=60，那么机器人 回到原点共走了 m． 【答】24m 【详解】机器人转了一周共360 度，360°÷60°=6，共转了6 次，机器人走了4×6=24 米．故 答为24． 13．一个凸多边形最小的一个内角为100°，其他的内角依次增加10°，则这个多边形的边 数为 ． 【答】8 【详解】设该凸多边形的边数为 (为正整数且>2) 将该多边形的内角按角度从小到大排列后， 第个内角的角度为 按从小到大以及从大到小的顺序分别写出该多边形的各个内角的角度： ； 可以发现，上下两行对应角度之和均等于 ，像这样的和共有个 因此，该凸多边形的内角和为 根据凸多边形的内角和公式，该凸多边形的内角和为 根据上述结论，可以列出关于的方程： ， 解之，得 1=9，2=8 ①当=9 时，该凸多边形最大的内角的角度为 ，不符合题意 ②当=8 时，该凸多边形最大的内角的角度为 ，符合题意 故本题应填写：8 点睛： 本题考查了凸多边形内角和的相关知识 本题的难点在于如何获得该多边形内角角度的表达 式以及由这些表达式得到的内角和的表达式 本题的一个易错点在于忽略对所得最终结果合 理性的检验 另外，运用将两列排列顺序相互颠倒的内角角度相加的方式求解内角和的表达 式，是数学中的重要方法 14．如图，△B 中，点D、E、F 分别在三边上，E 是的中点，D、BE、F 交于一点G， BD=2D，S△GE=3，S△GD=4，则△B 的面积是 ． 【答】30 【分析】由于BD=2D，那么结合三角形面积公式可得S△BD=2S△D，而S△B=S△BD+S△D， 可得出S△B=3S△D，而E 是中点，故有S△GE=S△GE，于是可求S△D，从而易求S△B． 【详解】解：∵BD=2D，∴S△BD=2S△D，∴S△B=3S△D． ∵E 是的中点，∴S△GE=S△GE． 又∵S△GE=3，S△GD=4，∴S△D=S△GE+S△GE+S△GD=3+3+4=10，∴S△B=3S△D=3×10=30． 故答为30． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式、三角形之间的面积加减计算．注意同底等高的三 角形面积相等，面积相等、同高的三角形底相等． 15．已知 中， 边上的高所在的直线交于，则 度． 【答】 或 ． 【分析】分两种情况考虑：① 是锐角三角形时，先根据高线的定义求出 ， ，然后根据直角三角形两锐角互余求出 的度数，再根据三角形的一个外 角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；② 是钝角三角形时，根 据直角三角形两锐角互余求出 即可． 【详解】解：①如图1， 是锐角三角形时， 、 是 的高线， ， ， 在 中， ， ， ； ② 是钝角三角形时， 、 是 的高线， ， ， ， ， 综上所述， 的度数是 或 ， 故答为： 或 ． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，解题的关键是分 是 锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论． 16．如图，在 中， ， ，若 的面积为4，则四边形 的 面积为 ． 【答】14 【分析】根据等底等高的三角形面积相等即可解决问题． 【详解】解：如图，连接F， ∵ ， 的面积为4， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，解得 ， ∴ ， ∴ ． 故答为：14． 【点睛】本题主要考查了根据三角形的中线求面积，解决本题的关键是掌握等底等高的三 角形面积相等． 17．D 是△B 的边B 上的中线，B=6，=4，则边B 的取值范围是 ，中线D 的取值范围是 ． 【答】 2＜B＜10； 1＜D＜5 【详解】∵在△B 中，B=6，=4， ∴6 4 ﹣＜B＜6+4， ∴2＜B＜10； 延长D 到E，使D=DE，连接BE，如图所示： ∵D 为中线， ∴BD=D， 在△D 和△EDB 中， ， ∴△D △ ≌EDB（SS）， ∴=BE=4， 在△BE 中，B=6，BE=4， ∴6 4 ﹣＜E＜6+4， ∴2＜2D＜10， ∴1＜D＜5， 故答是：2＜B＜10，1＜D＜5． 18．如图，有一块直角三角板XYZ 放置在△B 上，三角板XYZ 的两条直角边XY、XZ 改 变位置，但始终满足经过B、两点．如果△B 中，∠＝52°，则∠BX＋∠X= ． 【答】38° 【详解】 ∠＝52° ， ∠B+∠B=128°， ∠XB+∠XB=90°， ∠BX＋∠X=128°-90°=38° 评卷人 得分 三、解答题 19．已知、b、满足( 3) ﹣ 2 | 5|=0 ﹣ ． 求：（1）、b、的值； （2）试问以、b、为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构 成三角形，请说明理由． 【答】（1）=3，b=4，=5；（2）能构成三角形，且它的周长=12． 【分析】（1）根据平方、算术平方根及绝对值的非负性即可得到答； （2）根据三角形三边关系可判断构成三角形，三边相加求周长 【详解】（1）∵ ， 又∵( 3) ﹣ 2≥0， ，| 5|≥0 ﹣ ∴ 3=0 ﹣ ，b 4=0 ﹣ ，﹣5=0， ∴=3，b=4，=5； （2）能构成三角形， ∵3＜4＜5,3+4＞5 根据三角形三边关系能构成三角形， 其周长为3+4+5=12． 【点睛】此题考查平方、算术平方根及绝对值的非负性，三角形形，三边关系，线段和差 20．如图所示，B、D 相交于点，∠＝48°，∠D＝46°． (1) 若BE 平分∠BD 交D 于F，E 平分∠D 交B 于G，求∠BE 的度数； (2) 若直线BM 平分∠BD 交D 于F，M 平分∠D 交直线BF 于M，求∠BM 的度数． 【答】（1）47°；（2）43° 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出 ，由平分线 的定义可得出 、 ，再结合三角形内角和定理即可得出 ，代入 度数即可得出结论； （2）由邻补角互补结合角平分线可得出 ，根据三角形外角性质结合 （1）中 即可得出 ，再根据三角形内角和定理即 可得出 ，代入 度数即可得出结论． 【详解】解：（1） ， ， ， ， ， ， ． 平分 交 于 ， 平分 交 于 ， ， ． ， ， ， ． （2） ， 平分 交直线 于 ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定义、角平分线、三角形的外角性质、对顶角以及邻补 角，解题的关键是：（1）根据三角形内角和定理找出 ；（2）根据三角形内 角和定理找出 ．本题属于中档题，难度不大，但重复用到三角形内角和定 义稍显繁琐． 21．材料1：反射定律 当入射光线照射到