模型18 奔驰模型（解析版）

因为像奔驰车标 ，所以叫奔驰模型 R【结论】如图 ,等边△B，P=3，PB=4，P=5， 则①∠PB=150º， ②S△B＝ ❑ √3 4 B2＝25 ❑ √3+36 4 R 关键：旋转可以让线段动起来 各种旋法： 模型介绍 R 超酷炫又实用：S= ❑ √3 4 2 【例1】．如图，点D 是等边△B 内部一点，BD＝1，D＝2，D＝ ，则∠DB＝ 150 °． 解：将△BD 绕点B 逆时针旋转60°得到△BD'， ∴BD＝BD'，D'＝D， ∴∠DBD'＝60°， ∴△BDD'是等边三角形， ∴∠BDD'＝60°， ∵BD＝1，D＝2，D＝ ， ∴DD'＝1，D'＝2， 在△DD'中，D'2＝D2+DD'2， ∴∠DD'＝90°， ∴∠DB＝60°+90°＝150°， 故答为150． 变式训练 【变式1-1】．如图，点D 是等边△B 内一点，D＝3，BD＝3，D＝ ，△E 是由△BD 绕 点逆时针旋转得到的，则∠D 的度数是（ ） 例题精讲 ．40° B．45° ．105° D．55° 解：连接DE， 由旋转可知，△E≌△BD， ∴E＝D＝3，E＝BD＝3，D＝ ， ∠BD＝∠E， ∵△B 是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠BD+∠D＝60°， ∴∠E+∠D＝60°，即∠DE＝60°， ∴△DE 是等边三角形， ∴DE＝D＝3， 3 ∵2+32＝（3 ）2， ∴DE2+E2＝D2， ∴△DE 是直角三角形，且∠DE＝90°， ∴DE＝E，∠ED＝45°， ∴∠D＝∠DE+∠DE＝105°， 故选：． 【变式1-2】．如图，等边三角形B 内有一点P，分别连接P、BP、P，若P＝6，BP＝8， P＝10．则S△BP+S△BP＝ 24+16 ． 解：如图，将△BP 绕点B 逆时针旋转60°后得△P'B，连接PP′， 根据旋转的性质可知， 旋转角∠PBP′＝∠B＝60°，BP＝BP′， ∴△BPP′为等边三角形， ∴BP′＝BP＝8＝PP'； 由旋转的性质可知，P′＝P＝10， 在△BPP′中，PP′＝8，P＝6， 由勾股定理的逆定理得，△PP′是直角三角形， ∴S△BP+S△BP＝S 四边形P'BP＝S△BP'P+S△P'P＝ BP2+ ×PP'×P＝24+16 故答为：24+16 【变式1-3】．如图，点P 是正方形BD 内的一点，且P＝1，PB＝PD＝ ，则∠PB 的度 数为 105° ． 解：如图，将△PB 绕点逆时针旋转90°得到△DE，连接EP， ∴△PB≌△ED， ∴E＝P＝1，PB＝DE＝ ，∠PE＝90°，∠ED＝∠PB， ∴PE＝ E＝ ，∠EP＝∠PE＝45°， ∴DE＝DP＝PE＝ ， ∴△DEP 是等边三角形， ∴∠DEP＝60°， ∴∠ED＝105°＝∠PB， 故答为：105°． 1．如图，点是等边三角形B 内一点，＝2，B＝1，＝ ，则△B 与△B 的面积之和为（ ） ． B． ． D． 解：将△B 绕点B 顺时针旋转60°得△DB，连接D， ∴B＝BD，∠BD＝60°，D＝＝2， ∴△BD 是等边三角形， ∴D＝B＝1， ∵D2+2＝12+（ ）2＝4，D2＝22＝4， ∴D2+2＝D2， ∴∠D＝90°， ∴△B 与△B 的面积之和为S△B+S△BD＝S△BD+S△D＝ ×12+ ＝ ， 故选：． 2．如图，P 是等边三角形B 内一点，将线段P 绕点顺时针旋转60°得到线段Q，连接BQ． 若P＝6，PB＝8，P＝10，则四边形PBQ 的面积为（ ） ．24+9 B．48+9 ．24+18 D．48+18 解：连接PQ，如图， ∵△B 为等边三角形， ∴B＝，∠B＝60°， ∵线段P 绕点顺时针旋转60°得到线段Q， ∴Q＝P，∠PQ＝60°， ∴△PQ 为等边三角形， ∴PQ＝P＝6， ∵∠PQ﹣∠PB＝∠B﹣∠PB， ∴∠P＝∠BQ， 在△P 和△QB 中 ， ∴△P≌△QB（SS）， ∴P＝BQ＝10， 在△BPQ 中，∵PQ＝6，BP＝8，BQ＝10， 而62+82＝102， ∴PQ2+PB2＝BQ2， ∴△BPQ 为直角三角形，∠BPQ＝90°， ∴四边形PBQ 的面积＝S△BPQ+S△PQ ＝ ×6×8+ ×62 ＝24+9 ． 故选：． 3 如图，是正△B 内一点，=3，B=4，=5，将线段 B 以点B 为旋转中心逆时针旋转 60° 得到线段 B´，有下列结论∶ ①△B´ 可以由△B 绕点B 逆时针旋转 60°得到; ②点 与´的距离为 4; ③∠B=150°; ④S四边形AOBO´ ＝6＋3❑ √3; ⑤S∆AOC＋S∆AOB ＝6＋9 4 ❑ √3 其中正确的结论是（ ) ①②③⑤ B ①②③④ ①②③④⑤ D ①②③ 解：如图，连接 ´ ①由奔驰模型推导过程可知∠B´=60°，△B≌△B´，∠②B=150°，△B´为等边三角形，所 以 ´=B=4，故①②③正确 S四边形AOBO´＝S∆AOO´ ＋S∆OBO´＝1 2×3×4 ＋ ❑ √3 4 ×42=6+4 ❑ √3,故④错误 如图，将△B 绕点 逆时针旋转 60°，使得 B 与 重合，点 旋转至点" 易知△〞是边长为 3 的等边三角形，△〞是直角三角形， 则 S∆AOC ＋S∆AOB＝S四边形AOBO´＝S∆COO ¿＋S∆AOO ¿ ＝1 2×3×4 ＋ ❑ √3 4 ×32=6+9 4 ❑ √3 ，故⑤正确综上所述，正确的结论为①②③⑤故选 4 如图，在菱形 BD 中，∠B=60°，对角线平分∠BD，点 P 是△B 内一点，连接 P，PB，P 若 P=6，PB=8，P=10，则菱形 BD 的面积等于 解：过点作⊥BP，交 BP 的延长线于， 由奔驰模型可知∠PB=150°， ∴∠P=30°， ＝1 2P＝3,P＝3❑ √3,∴B=8＋3❑ √3,∴B2＝²＋B²＝100＋48❑ √3 ,S 菱形BD＝2S∆ABC＝2 × ❑ √3 4 ×B2＝50❑ √3＋72 5．如图，点P 是正方形BD 内一点，若 ， ，P＝1，则∠BP＝ 135° ． 解：∵四边形BD 为正方形， ∴∠B＝90°，B＝B， 把△BP 绕点B 顺时针旋转90°得到△BE，连接PE，如图， ∴BP＝BE＝ ，E＝P＝ ，∠PBE＝90°， ∴△PBE 为等腰直角三角形， ∴∠BPE＝45°，PE＝ PB＝ × ＝2， 在△PE 中，∵P＝1，PE＝2，E＝ ， ∴P2+PE2＝E2， ∴△PE 为直角三角形，∠PE＝90°， ∴∠BP＝∠BPE+∠PE＝45°+90°＝135°． 故答为：135°． 6．已知P 是等边△B 内一点，若P＝3，PB＝5，P＝4，则△B 的面积＝ ． 解：∵△B 为等边三角形， ∴B＝，∠B＝60°， 把△P 绕点顺时针旋转60°可得到△BD，如图， ∴D＝P＝3，BD＝P＝4，∠DP＝60°，∠DB＝∠P， ∴△DP 为等边三角形， ∴DP＝P＝3，∠DP＝60°， 在△BDP 中，∵DP＝3，DB＝4，BP＝5， 而32+42＝52， ∴DP2+DB2＝BP2， ∴△BDP 为直角三角形，∠BDP＝90°， ∴∠DB＝∠DP+∠BDP＝60°+90°＝150°， ∴∠P＝150°； 作BE⊥D 于E，如图 ∵∠DB＝150°， ∴∠BDE＝30°， 在Rt△BDE 中，BE＝ BD＝2，DE＝ BE＝2 ， ∴E＝D+DE＝3+2 ， 在Rt△BE 中，B＝ ＝ ＝ ， ∴S△B＝ ×（ ）2＝ ， 故答为： ． 7．如图，P 是等边三角形B 内一点，将线段P 绕点顺时针旋转60°得到线段Q，连接BQ． 若P＝6，PB＝8，P＝10，则四边形PBQ 的面积为 24+9 ． 解：连接PQ，如图， ∵△B 为等边三角形， ∴∠B＝60°，B＝， ∵线段P 绕点顺时针旋转60°得到线段Q， ∴P＝PQ＝6，∠PQ＝60°， ∴△PQ 为等边三角形， ∴PQ＝P＝6， ∵∠P+∠BP＝60°，∠BP+∠BQ＝60°， ∴∠P＝∠BQ， 在△P 和△BQ 中， ， ∴△P≌△BQ， ∴P＝QB＝10， 在△BPQ 中，∵PB2＝82＝64，PQ2＝62，BQ2＝102， 而64+36＝100， ∴PB2+PQ2＝BQ2， ∴△PBQ 为直角三角形，∠BPQ＝90°， ∴S 四边形PBQ＝S△BPQ+S△PQ＝ ×6×8+ ×62＝24+9 ． 故答为24+9 ． 8．如图，P 是等边三角形B 内的一点，且P＝3，PB＝4，P＝5，以B 为边在△B 外作 △BQ≌△BP，连接PQ，则以下结论中正确有 （填序号） ①△BPQ 是等边三角形②△PQ 是直角三角形③∠PB＝150° ④∠P＝120° 解：①∵△B 是等边三角形，∴∠B＝60°， ∵△BQ≌△BP，∴∠BQ＝∠BP，PB＝QB＝4，P＝Q＝3，∠BP＝∠BQ， ∴∠PBQ＝∠PB+∠BQ＝∠PB+∠BP＝∠B＝60°，∴△BPQ 是等边三角形， 所以①正确；②PQ＝PB＝4，PQ2+Q2＝42+32＝25，P2＝52＝25，∴PQ2+Q2＝P2， ∴∠PQ＝90°，∴△PQ 是直角三角形，所以②正确； ③∵△BPQ 是等边三角形，∴∠PQB＝∠BPQ＝60°， ∴∠PB＝∠BQ＝∠BQP+∠PQ＝60°+90°＝150°，所以③正确； ④∠P＝360° 150° 60° ﹣ ﹣ ﹣∠QP＝150°﹣∠QP， ∵∠PQ＝90°，P≠2Q，∴∠QP≠30°，∴∠P≠120°．所以④错误． 所以正确的有①②③． 9．如图，P 是正三角形B 内的一点，且P＝6，PB＝8，P＝10．若将△P 绕点逆时针旋转后， 得到△P′B． （1）求点P 与点P′之间的距离； （2）求∠PB 的度数． 解：（1）连接PP′，由题意可知BP′＝P＝10，P′＝P， ∠P＝∠P′B，而∠P+∠BP＝60°，所以∠PP′＝60 度．故△PP′为等边三角形，所以PP′＝P ＝P′＝6； （2）利用勾股定理的逆定理可知： PP′2+BP2＝BP′2，所以△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90° 可求∠PB＝90°+60°＝150°． 10．下面是一道例题及其解答过程，请补充完整． （1）如图1，在等边三角形B 内部有一点P，P＝3，PB＝4，P＝5，求∠PB 的度数． 解：将△P 绕点逆时针旋转60°，得到△P′B，连接PP′，则△PP′为等边三角形． ∵PP′＝P＝3，PB＝4，P′B＝P＝5， ∴P′P2+PB2＝P′B2． ∴△BPP′为 三角形． ∴∠PB 的度数为 ． （2）类比延伸 如图2，在正方形BD 内部有一点P，若∠PD＝135°，试判断线段P、PB、PD 之间的数 量关系，并说明理由． 解：（1）如图1，将△P 绕点逆时针旋转60°，得到△P′B，连接PP′，则△PP′为等边三角形． ∵PP′＝P＝3，PB＝4，P′B＝P＝5，∴P′P2+PB2＝P′B2． ∴△BPP′为直角三角形．∴∠PB 的度数为90°+60°＝150°．故答为：直角；150°； （2）2P2+PD2＝PB2．理由如下： 如图2，把△DP 绕点顺时针旋转90°得到△BP′，连接PP′． 则P′B＝PD，P′＝P，∠PP′＝90°， ∴△PP′是等腰直角三角形，∴PP′2＝P2+P′2＝2P2，∠PP′＝45°， ∵∠PD＝135°，∴∠P′B＝∠PD＝135°，∴∠PP′B＝135° 45° ﹣ ＝90°， 在Rt△PP′B 中，由勾股定理得，PP′2+P′B2＝PB2，∴2P2+PD2＝PB2． 11．【方法呈现】： （1）已知，点P 是正方形BD 内的一点，连P、PB、P．将△PB 绕点B 顺时针旋转90° 到△P′B 的位置（如图1），设B 的长为，PB 的长为b（b＜），求△PB 旋转到△P′B 的过 程中边P 所扫过区域（图1 中阴影部分）的面积； 【实际运用】： （2）如图2，点P 是等腰Rt△B 内一点，B＝B，连接P，PB，P．若P＝2，PB＝4，P ＝6，求∠PB 的大小； 【拓展延伸】： （3）如图3，点P 是等边△B 内一点，P＝3，PB＝4，P＝5，则△P 的面积是 （直 接填答） 解：（1）∵将△PB 绕点B 顺时针旋转90°到△P′B 的位置， ∴△PB≌△P'B，∴S△PB＝S△P'B，S 阴影＝S 扇形B﹣S 扇形BPP′¿ π 4 （2﹣b2）； （2）如图2，连接PP′． ∵将△PB 绕B 点顺时针旋转90°，与△P′B 重合， ∴△PB≌△P′B，∠PBP′＝90°， ∴BP＝BP′，∠PB＝∠P′B，P＝P′＝2， ∴△PBP′是等腰直角三角形，∴PP′¿ ❑ √2PB＝4❑ √2，∠BP′P＝45°． 在△PP′中，∵PP′＝4❑ √2，P′＝2，P＝6，∴PP′2+P′2＝P2， ∴△P′P 是直角三角形，∠P′P＝90°， ∴∠P′B＝∠BP′P+∠P′P＝45°+90°＝135°； （3）如图3①，将△PB 绕点逆时针旋转60°得到△P1，连接PP1， ∴△PB≌△P1，∴P＝P1，∠PP1＝60°，P1＝BP＝4， ∴△PP1是等边三角形，∴PP1＝P＝3， ∵P＝5，P1＝4，PP1＝3，∴PP1 2+P1 2＝P2， ∴△P1P 是直角三角形，∠P1P＝90°， ∴S△PP1¿ 1 2 ×3× 3 ❑ √3 2 =9 ❑ √3 4 ，S△PP1¿ 1 2 ×3×4＝6， ∴S 四边形PP1＝S△PP1+S△PP1¿ 9 ❑ √3 4 +¿6； ∵△PB≌△P1，∴S△BP+S△P＝S 四边形PP1¿ 9 ❑ √3 4 +¿6； 如图3②，同理可求：△BP 和△BP 的面积的和¿ 1 2 ×4× 4 ❑ √3 2 + 1 2 ×3×4＝4❑ √3+¿6， △P 和△BP 的面积的和¿ 1 2 ×5× 5 ❑ √3 2 + 1 2 ×3×4¿ 25 ❑ √3 4 +¿6， ∴△B 的面积¿ 1 2（9 ❑ √3 4 +¿6+4❑ √3+¿6+25 ❑ √3 4 +¿6）¿ 25 ❑ √3 4 +¿9， ∴△P 的面积＝△B 的面积﹣△PB 与△BP 的面积的和＝（25 ❑ √3 4 +¿9）﹣（4❑ √3+¿6） ¿ 9 ❑ √3 4 +¿3．故答为9 ❑ √3 4 +¿3． 12．（1）如图1，点P 是等边△B 内一点，已知P＝3，PB＝4，P＝5，求∠PB 的度数． 分析：要直接求∠PB 的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因 此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内． 解：如图2，作∠PD＝60°使D＝P，连接PD，D，则△PD 是等边三角形． ∴ PD ＝D＝P＝3，∠DP＝∠PD＝60° ∵△B 是等边三角形 ∴＝B，∠B＝60°∴∠BP＝ ∠ D ∴△BP≌△D ∴BP＝D＝4， ∠ PB ＝∠D ∵在△PD 中，PD＝3，P＝5，D＝4，PD2+D2＝P2 ∴∠PD＝ 90 ° ∴∠PB＝∠D＝∠DP+∠PD＝60°+90°＝150° （2）如图3，在△B 中，B＝B，∠B＝90°，点P 是△B 内一点，P＝1，PB＝2，P＝3，求 ∠PB 的度数． （3）拓展应用．如图（4），△B 中，∠B＝30°，B＝4，B＝5，P 是△B 内部的任意一点， 连接P，PB，P，则P+PB+P 的最小值为 ． 解：（1）如图2，作∠PD＝60°使D＝P，连接PD，D，则△PD 是等边三角形． ∴PD＝D＝P＝3，∠DP＝∠PD＝60° ∵△B 是等边三角形 ∴＝B，∠B＝60°， ∴∠BP＝∠D， ∴△BP≌△D（SS） ∴BP＝D＝4，∠PB＝∠D ∵在△PD 中，PD＝3，P＝5，D＝4，PD2+D2＝P2 ∴∠PD＝90° ∴∠PB＝∠D＝∠DP+∠PD＝60°+90°＝150° 故答为：PD，∠D，∠PB，90． （2）解：∵∠B＝90°，B＝B， ∴把△PB 绕B 点逆时针旋转90°得到△DB，如图， ∴D＝P＝3，BD＝BP＝2， ∵∠PBD＝90° ∴DP＝ PB＝2 ，∠DPB＝45°， 在△PD 中，D＝3，PD＝2 ，P＝1， 1 ∵2+（2 ）2＝32， ∴P2+PD2＝BD2， ∴△PD 为直角三角形， ∴∠PD＝90°， ∴∠PB＝∠PD+∠DPB＝90°+45°＝135°． （3）解：如图4 中，将△BP 绕着点B 逆时针旋转60°，得到△DBE，连接EP，D， ∴△BP≌△DBE ∴∠BP＝∠DBE，BD＝B＝4，∠PBE＝60°，BE＝PE，P＝DE， ∴△BPE 是等边三角形 ∴EP＝BP ∴P+BP+P＝P+EP+DE ∴当点D，点E，点P，点共线时，P+PB+P 有最小值D ∵∠B＝30°＝∠BP+∠PB ∴∠DBE+∠PB＝30° ∴∠DB＝90° ∴D＝ ＝ ＝ ， 故答为 ． 13．（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，P 是正方形 BD 内一点，连结P，PB，P 现将△PB 绕点B 顺时针旋转90°得到的△P′B，连接PP′．若 P¿ ❑ √2，PB＝3，∠PB＝135°，则P 的长为 ，正方形BD 的边长为 ． （变式猜想）（2）如图2，若点P 是等边△B 内的一点，且P＝3，PB＝4，P＝5，请猜 想∠PB 的度数，并说明理由． （拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下 的问题： 如图3，在四边形BD 中，D＝3，D＝2，∠B＝∠B＝∠D＝45°，则BD 的长度为 ． 解：（1）∵△PB 绕点B 顺时针旋转90°得到的△P′B， ∴BP＝BP′＝3，P′＝P¿ ❑ √2，∠PBP′＝90°，∠BP′＝∠PB＝135°， ∴△BPP′为等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，PP′¿ ❑ √2PB＝3❑ √2， ∴∠PP′＝135° 45° ﹣ ＝90°， 在Rt△PP′中，由勾股定理得：P¿ ❑ √PP' 2+P' C 2= ❑ √(3 ❑ √2) 2+(❑ √2) 2=¿2❑ √5， 过点作E⊥BP 交BP 的延长线于E，如图1 所示： ∵∠PB＝13