第22讲 多边形与平行四边形（练习）（解析版）

第22 讲 多边形与平行四边形 目 录 题型01 多边形的概念及分类 题型02 计算格中不规则多边形面积 题型03 计算多边形对角线条数 题型04 多边形内角和问题 题型05 已知多边形内角和求边数 题型06 多边形的割角问题 题型07 多边形的外角问题 题型08 多边形外角和的实际应用 题型09 多边形内角和、外角和与平行线的合运用 题型10 多边形内角和与外角和的综合应用 题型11 平面镶嵌 题型12 利用平行四边形的性质求解 题型13 利用平行四边形的性质证明 题型14 判断已知条件能否构成平行四边形 题型15 数平行四边形个数 题型16 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型17 证明四边形是平行四边形 题型18 与平行四边形有关的新定义问题 题型19 利用平行四边形的性质与判定求解 题型20 利用平行四边形的性质与判定证明 题型21 平行四边形性质与判定的应用 题型22 三角形中位线有关的计算 题型23 三角形中位线与三角形面积计算问题 题型24 与三角形中位线有关的规律探究 题型25 与三角形中位线有关的格点作图 题型26 连接两点构造三角形中位线 题型27 已知中点，取另一条线段的中点构造中位线 题型28 利用角平分线垂直构造三角形的中位线 题型01 多边形的概念及分类 1．（2022·上海杨浦·统考二模）下列命题中，正确的是（ ） ．正多边形都是中心对称图形 B．正六边形的边长等于其外接圆的半径 ．边数大于3 的正多边形的对角线长都相等 D．各边相等的圆外切多边形是正多边形 【答】B 【分析】根据正多边形的性质、正多边形的对角线、正多边形的概念判断即可． 【详解】解：、边数是偶数的正多边形都是中心对称图形，边数是奇数的正多边形不是中心对称图形，故 本选项说法错误，不符合题意； B、正六边形的边长等于其外接圆的半径，本选项说法正确，符合题意； 、边数大于3 的正多边形的对角线长不都相等，可以以正八边形为例得出对角线长不都相等，故本选项说 法错误，不符合题意； D、各边相等的圆外切多边形不一定是正多边形，例如，圆外切菱形边数正多边形，故本选项说法错误， 不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假 关键是要熟悉课本中的性质定理． 2．（2020·全国·模拟预测）下列图形中，正多边形的个数有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 题型02 计算格中不规则多边形面积 3．（2021·北京平谷·统考一模）如图所示的格是正方形格，A ，B，C ，D是格线交点，则ΔABO的面 积与ΔCDO的面积的大小关系为：S△ABO S△CDO(填“>”，“=”或“<”) 【答】= 【分析】根据图形可知S△ABO=S△ABC−S△AOC，S△CDO=S△ACD−S△AOC，然后由图易知△B 和△D 同底等高， 所以△B 和△D 面积相等从而得到△B 和△D 的关系． 【详解】解：由图易有：S△ABO=S△ABC−S△AOC，S△CDO=S△ACD−S△AOC， ∵△B 和△D 同底等高， ∴S△ABC=S△ADC， ∴S△ABO=S△CDO． 故答为：= 【点睛】本题考查了三角形的面积，判断所求三角形的计算方法是本题的关键． 4．（2021·湖北武汉·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标均为整数的点称为格点，若一 个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．例如：图中△ABC的与四边形DEFG均为格点 多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点记为L，已知格点多边形的面积 可表示为S=N +aL+b（a，b为常数），若某格点多边形对应的N=14，L=7，则S=¿（ ） ．16.5 B．17 ．17.5 D．18 【答】 【分析】先分别根据△ABC和四边形DEFG中，S、N、L的数值得出关于a和b的二元一次方程组，解得 a和b的值，则可求得当N=14，L=7时S的值． 【详解】解：△ABC中，S=1，N=0，L=4，则4 a+b=1； 同理，四边形DEFG中，S=2×4−1×2÷2−1×1÷2−2×3÷2=3.5， N=2，L=5 ∴2+5a+b=3.5； 联立得¿ 解得：a=0.5，b=−1 ∴N=14，L=7，则S=14+3.5−1=16.5， 故选：． 【点睛】本题属于创新题型，主要考查了二元一次方程相关知识以及学生对于题意理解和数据分析能力． 5．（2021·北京顺义·统考一模）如图所示的格是正方形格，点，B，，D，E，F 是格线的交点，则△ABC 的面积与△≝¿的面积比为 ． 【答】1 4 ∶ 【分析】分别求出△B 的面积和△BD 的面积，即可求解． 【详解】解：S△ABC=1×2−1 2 ×1×1−1 2 ×1×2=1 2， S △≝¿=2×4−1 2 ×2×2−1 2 ×2×4=2¿， ∴△ABC的面积与△≝¿的面积比为1 4 ∶． 故答为1 4 ∶． 【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是解本题的关键． 6．（2020·山西运城·统考模拟预测）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 任务： （1）如图2，是5×5 的正方形格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的 面积是 ； （2）已知：一个格点多边形的面积S 为15，且边界上的点数b 是内部点数的2 倍，则+b＝ ； （3）请你在图3 中设计一个格点多边形（要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形是一个轴对称图 形但不是中心对称图形） 【答】（1）75；（2）24；（3）如图所示，见解析． 【分析】（1）根据皮克定理求解即可； （2）根据题意列式求出，b 的值，即可求解． （3）根据轴对称图形和中心对称图形的性质进行作图即可． 【详解】（1）由“皮克定理”可得：S＝5+7 2﹣1＝75； 故答为：75； （2）∵S 为15，且边界上的点数b 是内部点数的2 倍， ∴+2a 2 ﹣1＝15， 解得：＝8，则b＝16， 故+b＝24， 故答为：24； （3）如图所示： ． 【点睛】本题考查了格点多边形的问题，掌握皮克定理、轴对称图形、中心对称图形的性质是解题的关键． 题型03 计算多边形对角线条数 7．（2022·广东深圳·坪山中学校考模拟预测）多边形的对角线共有20 条，则下列方程可以求出多边形边 数的是（ ） ．n (n−2)=20 B．n (n−2)=40 ．n (n−3)=20 D．n (n−3)=40 【答】D 【分析】先由n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线，再根据n边形对角线的总条数为n (n−3) 2 =20， 即可求出结果． 【详解】解：设多边形边数为n， 从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线， 再根据n边形对角线的总条数为n (n−3) 2 ， 即n (n−3) 2 =20， n (n−3)=40， 故答选：D． 【点睛】本题考查了多边形的对角线公式，根据多边形对角线公式列等式是解答本题的关键． 8．（2022·陕西·校联考模拟预测）若一个多边形从一个顶点出发可以引7 条对角线，则这个多边形共有 条对角线． 【答】35 【分析】根据边形从一个顶点出发可引出（-3）条对角线，再根据n(n−3) 2 求出总的对角线数量． 【详解】解：根据题意可知， n−3=7， ∴n=10， ∴这个多边形共有对角线的数量为： n(n−3) 2 = 10×7 2 =35； 故答为：35． 【点睛】本题考查了多边形对角线的问题，正确理解多边形的边数与从一个顶点发出的对角线的条数之间 的关系，以及正确求出总的对角线数量是解决本题的关键． 9．（2021·山东青岛·统考二模）【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n−2个三角形，共有多少种 不同的分割方(n≥4 )？ 【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进 转化，最后猜想得出结论．不妨假设边形的分割方有f (n)种． 探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2 个三角形，共有多少种不同的分割方？如图①，图②，显然， 只有2 种不同的分割方．所以，f (4 )=2． 探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3 个三角形，共有多少种不同的分割方？不妨把分割方分成三 类： 第1 类：如图③，用点A，E与B连接，先把五边形分割转化成1 个三角形和1 个四边形，再把四边形分割 成2 个三角形，由探究一知，有f (4 )种不同的分割方，所以，此类共有f (4 )种不同的分割方． 第2 类：如图④，用点A，E与C连接，把五边形分割成3 个三角形，有1 种不同的分割方，可视为1 2 f (4 ) 种分割方． 第3 类：如图⑤，用点A，E与D连接，先把五边形分割转化成1 个三角形和1 个四边形，再把四边形分割 成2 个三角形，由探究一知，有f（4）种不同的分割方，所以，此类共有f（4）种不同的分割方． 所以，f (5)=f (4 )+ 1 2 f (4 )+f (4 )=5 2 ×f (4 )=10 4 ×f (4 )=5（种） 探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4 个三角形，共有多少种不同的分割方？不妨把分割方分成四 类： 第1 类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1 个三角形和1 个五边形，再把五边形分割成 3 个三角形，由探究二知，有f (5)种不同的分割方，所以，此类共有f (5)种不同的分割方． 第2 类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2 个三角形和1 个四边形．再把四边形分割成 2 个三角形，由探究一知，有f (4 )种不同的分割方．所以，此类共有f (4 )种分割方． 第3 类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2 个三角形和1 个四边形．再把四边形分割成 2 个三角形，由探究一知，有f (4 )种不同的分割方．所以，此类共有f (4 )种分割方． 第4 类：如图，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1 个三角形和1 个五边形，再把五边形分割成3 个三角形，由探究二知，有f (5)种不同的分割方．所以，此类共有f (5)种分割方． 所以，f (6)=f (5)+f (4 )+f (4 )+f (5) ¿ f (5)+ 2 5 f (5)+ 2 5 f (5)+f (5)=14 5 ×f (5)=14（种） 探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5 个三角形，则f (7)与f (6)的关系为f (7)= ( ) 6 ×f (6)，共有____ __种不同的分割方． …… 【结论】用n边形的对角线把n边形分割成(n−2)个三角形，共有多少种不同的分割方(n≥4 )？（直接写出 f (n)与f (n−1)之间的关系式，不写解答过程） 【应用】用九边形的对角线把九边形分割成7 个三角形，共有多少种不同的分割方？（应用上述结论中的 关系式求解） 【答】探究四：18，42；[结论]f (n)= 4 n−10 n−1 f (n−1)；[应用]429 种 【分析】[探究]根据探究的结论得到规律计算即可； [结论]根据五边形，六边形，七边形的对角线把图形分割成三角形的方总结规律即可得到答； [应用]利用规律求得八边形及九边形的对角线把图形分割成三角形的方即可． 【详解】所以，f (7)=f (6)+f (5)+2f (4 )+f (5)+f (6) ¿2f (6)+2× 5 14 f (6)+2× 5 14 × 2 5 f (6) ¿3 f (6) =18 6 f (6) =42． 故答为：18，42． [结论]由题意知f (5)=10 4 f (4 )，f (6)=14 5 f (5)，f (7)=18 6 f (6)，… f (n)= 4 n−10 n−1 f (n−1)； [应用]根据结论得：f (8)= 4×8−10 7 ×f (7)=22 7 ×42=132． f (9)= 4×9−10 8 ×f (8)=26 8 ×132=429． 则用九边形的对角线把九边形分割成7 个三角形，共有429 种不同的分割方． 【点睛】此题考查多边形的对角线，图形变化类规律题，研究了多边形对角线分割多边形成三角形的关系， 关键是能够得到规律，此题有难度，注意利用数形结合的思想． 题型04 多边形内角和问题 10．（2023·山东日照·校考三模）我们知道三角形的内角和为180°，而四边形可以分成两个三角形，故它 的内角和为2×180°=360°，五边形则可以分成3 个三角形，它的内角和为3×180°=540°（如图），依 此类推，则八边形的内角和为（ ） ．900° B．1080° ．1260° D．1440° 【答】B 【分析】根据多边形内角和公式(n−2)×180°求解即可． 【详解】解：由多边形内角和公式可得：八边形的内角和为(8−2)×180°=1080° 故选：B 【点睛】此题考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式． 11．（2023·河北邯郸·校考模拟预测）一块四边形ABCD玻璃被打破，如图所示．小红想制做一模一样的 玻璃，经测量∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，则∠D的度数（ ） ．65° B．45° ．30° D．20° 【答】 【分析】根据四边形内角和求解即可． 【详解】解：∵∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，四边形内角和为360度， ∴∠D=360°−120°−60°−150°=30°， 故选：． 【点睛】本题考查了四边形内角和，熟记知识点是解题关键． 12．（2023·河北沧州·统考模拟预测）一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为2750°，则这一内 角为 度． 【答】130 【分析】设多边形的边数为x，根据多边形的内角一定大于0，并且小于180度，因而内角和除去一个内角 的值，这个值除以180度，所得数值比边数要小，小的值小于1，可以求出多边形的边数为18，再利用内 角和公式即可得出结果． 【详解】解：设多边形的边数为x，由题意有(x−2)⋅180°=2750°， 解得：x=17 5 18， 因而多边形的边数是18， 则这一内角为(18−2)×180°−2750°=130°． 故答为：130． 【点睛】本题考查多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 13．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻 两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边 形的勾股边，如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC． (1)求∠A+∠C的度数． (2)判断四边形ABCD是否是“勾股四边形”，并说明理由． 【答】(1)270° (2)四边形ABCD是“勾股四边形”，理由见解析 【分析】（1）在四边形ABCD中，由四边形内角和定理即可得出结果； （2）连接BD，以BD为边向下作等边三角形△BDQ，由等边三角形的性质得出∠DBQ=60°， BD=BQ，证出∠ABD=∠CBQ，证明△ABD≌△CBQ，得出AD=CQ，∠A=∠BCQ，证出 ∠DCQ=90°，再由勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）在四边形ABCD中， ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠B=60°，∠D=30°， ∴∠A+∠C=360°−30°−60°=270°； （2）四边形ABCD是“勾股四边形”， 理由：连接BD，以BD为边向下作等边三角形△BDQ，连接CQ， 则∠DBQ=60°，BD=BQ， ∵∠ABC=∠DBQ=60°， ∴∠ABD=∠CBQ， 在△ABD和△CBQ中， ¿， ∴△ABD≌△CBQ (SAS)， ∴AD=CQ，∠A=∠BCQ， ∴∠A+∠BCD=∠BCQ+∠BCD=270°， ∴ ∠DCQ=90°， ∴C D 2+C Q 2=DQ 2， ∵CQ=AD，DQ=BD， ∴C D 2+ A D 2=B D 2， ∴四边形ABCD是“勾股四边形”． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了四边形内角和定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质 和勾股定理以及逆定理，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型05 已知多边形内角和求边数 14．（2022·北京西城·北京师大附中校考模拟预测）一个多边形的内角和等于1260°，则它是（ ） ．五边形 B．七边形 ．九边形 D．十边形 【答】 【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(n−2)×180=1260，然后解方程即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， (n−2)×180=1260， 解得n=9， 故这个多边形为九边形． 故选：． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握n边形的内角和为(n−2)×180°． 15．（2022·陕西西安·校考模拟预测）一个正多边形的内角和是1440°，则此多边形的边数是 ，对角线 共有 条． 【答】 10 35 【分析】设此多边形的边数是，根据多边形内角和公式和对角线条数的公式，列出方程求解即可． 【详解】解：设此多边形的边数是， 180°× (n−2)=1440°， 解得：n=10， ∴对角线条数为：n (n−3) 2 =35， 故答为：10，35． 【点睛】本题主要考查了多边的内角和，多边形的对角线条数，解题的关键是掌握边形的内角和为 180°× (n−2)，对角线条数为n (n−3) 2 ． 题型06 多边形的割角问题 16．（2022·河北·模拟预测）若过多边形的一个顶点作一条直线，把这个多边形截掉两个角，它的内角和 变为1260°，则这个多边形原来的边数为（ ） ．12 B．10 ．11 D．10 或11 【答】D 【分析】分从顶点到顶点裁剪和从顶点到边裁剪两种情况求解． 【详解】多边形裁掉2 个角，有两种情况，从顶点到顶点裁剪，从顶点到边裁剪． ∵新多边形内角和为1260°， ∴根据多边形内角和公式180°×（-2）=1260°， 解得：=9， ∴新多边形的边数为9． ①从顶点到顶点裁剪，多边形会减少两个角，则原多边形的边数为11； ②从顶点到边裁剪，多边形会减少一个角，则原多边形的边数为10． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握截角的方法是解题的关键． 17．（2021·上海徐汇·统考二模）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（ ） ．180° B．270° ．360° D．540° 【答】B 【分析】分四边形剪去一个角，边数减少1，不变，增加1，三种情况讨论求出所得多边形的内角和，即可 得解． 【详解】解：剪去