第22讲 多边形与平行四边形（讲义）（解析版）

第22 讲 多边形与平行四边形 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 多边形的相关概念 题型01 多边形的概念及分类 题型02 计算格中不规则多边形面积 题型03 计算多边形对角线条数 题型04 对角线分三角形个数问题 题型05 多边形内角和问题 题型06 已知多边形内角和求边数 题型07 多边形的割角问题 题型08 多边形的外角问题 题型09 多边形内角和、外角和与平行线的合运用 题型10 多边形内角和、外角和与角平分线的综合运用 题型11 多边形内角和与外角和的综合应用 题型12 多边形外角和的实际应用 题型13 平面镶嵌 考点二 平行四边形的性质与判定 题型01 利用平行四边形的性质求解 题型02 利用平行四边形的性质证明 题型03 判断已知条件能否构成平行四边形 题型04 添加一个条件使四边形成为平行四边形 题型05 数平行四边形个数 题型06 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型07 证明四边形是平行四边形 题型08 与平行四边形有关的新定义问题 题型09 利用平行四边形的性质与判定求解 题型10 利用平行四边形的性质与判定证明 题型11 平行四边形性质与判定的应用 考点三 三角形中位线 题型01 三角形中位线有关的计算 题型02 三角形中位线与三角形面积计算问题 题型03 与三角形中位线有关的证明 题型04 三角形中位线的实际应用 题型05 与三角形中位线有关的规律探究 题型06 与三角形中位线有关的格点作图 题型07 构造三角形中位线的常用方法 类型一 连接两点构造三角形中位线 类型二 已知中点，取另一条线段的中点构造中位线 类型三 利用角平分线垂直构造三角形的中位线 考点要求 新课标要求 命题预测 多边形的相关 概念  了解多边形的概念及多边形的顶 点、边、内角、外角与对角线  探索并掌握多边形内角和与外角 和公式 本考点内容是考查重点，年年都会考查，分 值为10 分左右，预计2024 年各地中考还将出 现，并且在选择、填空题中考查多边形的内角 和、平行四边形性质和判定、与三角形中位线有 关计算的可能性比较大．中考数学中，对平行四 边形的单独考察难度一般不大，一般和三角形全 等、解直角三角形综合应用的可能性比较大，对 于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运 用． 平行四边形的 性质与判定  探索并证明平行四边形的性质定 理  探索并证明平行四边形的判定定 理 三角形中位线  探索并证明三角形中位线定理 考点一 多边形的相关概念 多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线 多边形对角线条数：从边形的一个顶点可以引（－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了( 2) – 个三角形，边形的对角线条数为n(n−3) 2 多边形内角和定理：边形的内角和为(−2)∙180°（≥3） 【解题技巧】 1）边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180° 2）任意多边形的内角和均为180°的整数倍 3）利用多边形内角和定理可解决三类问题：①已知多边形的边数求内角和； ②已知多边形的内角和求边数； ③已知足够的角度条件下求某一个内角的度数． 多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形 【解题技巧】 1）正边形的每个内角为（n−2）×180° n ，每一个外角为360° n ． 2）正边形有条对称轴． 3）对于正边形，当为奇数时，是轴对称图形；当为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 多边形的有关计算公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误： ①边形内角和＝（－2）×180°（≥3） ②从边形的一个顶点可以引出（-3）条对角线，个顶点可以引出（-3）条对角线，但是每条对角线计 算了两次，因此边形共有n(n−3) 2 条对角线 ③边形的边数＝（内角和÷180°）＋2 ④边形的外角和是360° ⑤边形的外角和加内角和＝×180° ⑥在边形内任取一点，连接与各个顶点，把边形分成个三角形；在边形的任意一边上任取一点，连接 点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把边形分成（－1）个三角形；连接边形的任一顶点与其不相邻 的各个顶点的线段，把边形分成（－2）个三角形． 题型01 多边形的概念及分类 【例1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）在等边三角形、正五边形、正六边形、正七边形中，既是轴对称 又是中心对称的图形是（ ） ．等边三角形 B．正五边形 ．正六边形 D．正七边形 【答】 【分析】根据正多边形的性质和轴对称图形、中心对称的图形的识别进行判断即可． 【详解】解：由正多边形的性质知，偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形； 奇数边的正多边形只是轴对称图形，不是中心对称图形， 所以正六边形既是轴对称又是中心对称的图形， 故选：． 【点睛】本题考查了正多边形的性质、轴对称图形、中心对称的图形的识别，熟知偶数边的正多边形既是 轴对称图形，又是中心对称图形；奇数边的正多边形只是轴对称图形，不是中心对称图形是解题的关键． 【变式1-1】（2023·江苏徐州·统考二模）下列长度的三条线段与长度为5 的线段能组成四边形的是（ ） ．1，1，1 B．1，1，8 ．1，2，2 D．2，2，2 【答】D 【分析】若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成． 【详解】、1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误； B、1+1+5<8，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误； 、1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误； D、2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了两点间线段最短，类比三条线段能组成三角形的条件，任两边的和大于第三边，因而 较短的两边的和大于最长边即可，四条线段能组成四边形，作三条线段的和大于第四条边，因而较短的三 条线段的和大于最长的线段即可． 【变式1-2】（2022·辽宁盘锦·校考一模）下列命题正确的是（ ） ．每个内角都相等的多边形是正多边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 ．过线段中点的直线是线段的垂直平分线 D．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2 两部分 【答】B 【分析】分别根据正多边形的判定、平行四边形的判定、线段垂直平分线的判定以及三角形中线的性质逐 项进行判断即可得到结论． 【详解】解：每个内角都相等，各边都相等的多边形是正多边形，故选项的说法错误，不符合题意； B 对角线互相平分的四边形是平行四边形,说法正确，故选项B 符合题意； 过线段中点且垂直这条线段的直线是线段的垂直平分线，故选项的说法错误，不符合题意； D 三角形的中位线将三角形的面积分成1∶3 两部分，故选项D 的说法错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了对正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断以及三角形中线性质的认识， 熟练掌握正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断是解答此题的关键． 题型02 计算格中不规则多边形面积 【例2】（2022·北京海淀·统考二模）如图所示的格是正方形格，，B，，D 是格线交点．若B=1，则四边 形BD 的面积为 ． 【答】9 2 【分析】由图可得S 四边形BD=S△D+S△B，利用格来计算两个三角形的面积相加即可． 【详解】解：S 四边形BD=S△D+S△B=1 2 ×3×2+ 1 2 ×1×3= 9 2 故答为：9 2 【点睛】本题是求三角形的面积问题，解题关键是熟练对不规则三角形进行分割． 【变式2-1】（2021·北京昌平·统考二模）如图所示的格是正方形格，点，B，，D 是格线交点，则△ABC 的面积与△ADB的面积大小关系为：S△ABC S ΔADB（填“＞”“＝”或“＜”）， 【答】= 【分析】分别求出△B 的面积和△BD 的面积，即可求解． 【详解】解：∵S ΔABD=1 2 ×2×2=2， SΔABC=2×3−1 2 ×3×1−1 2 ×1×1−1 2 ×2×2=2， ∴S ΔABC=S ΔABD， 故答为：=． 【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键． 【变式2-2】（2021·湖南娄底·统考一模）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称 为格点多边形，它的面积S 可用公式S=a+ 1 2 b−1（是多边形内的格点数，b 是多边形边界上的格点数） 计算，这个公式称为“皮克（Pk）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S=¿ ． 【答】6 【分析】根据题目要求，数出五边形内部格点的数量，五边形边上格点的数量，代入S=a+ 1 2 b−1计算即 可． 【详解】由图可知：五边形内部格点有4 个，故a=4 五边形边上格点有6 个，故b=6 ∴S=a+ 1 2 b−1＝4+ 1 2 ×6−1=6 故答为：6． 【点睛】本题考查了格中不规则多边形的计算，按题目要求尽心计算即可． 【变式2-3】（2021·山西临汾·统考三模）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 你知道“皮克定理”吗？ “皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上， 上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个 多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来 很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即S=a+ 1 2 b−1，其中 a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2 中的多边形可以 验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899 年发现的，被称为“皮克定理”． 任务： （1）如图2，是6×6的正方形格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的 面积是_______． （2）已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数b是内部点数a的3 倍，则a+b=¿______． （3）请你在图3 中设计一个格点多边形．要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形是一个轴对称图 形． 【答】（1）21；（2）32；（3）见解析 【分析】（1）观察图形，得到a=16，b=12，再代入计算即可得到答； （2）由题意b=3a，然后列出关于a的方程，求出a=8，再求出答即可； （3）由格点多边形的面积为8，然后根据轴对称的性质，即可画出图形． 【详解】解：（1）由题意，如图： 多边形内部的点数为：a=16， 多边形边界的点数为：b=12， ∴S=a+ 1 2 b−1=16+ 1 2 ×12−1=21； 故答为：21； （2）设内部点数是a，则b=3a， ∴S=a+ 1 2 b−1=a+ 1 2 ×3a−1=19， ∴a=8， ∴b=8×3=24， ∴a+b=8+24=32； 故答为：32． （3）答不唯一，只要符合题意要求即可． 例如： 【点睛】本题考查了多边形，解一元一次方程，轴对称的性质等知识，理解正方形格纸中多边形面积的公 式S=a+ 1 2 b−1是解决问题的关键． 题型03 计算多边形对角线条数 【例3】（2023·浙江丽水·统考一模）已知一个多边形内角和为1080°，则这个多边形可连对角线的条数是 （ ） ．10 B．16 ．20 D．40 【答】 【分析】先根据多边形内角和计算公式求出这个多边形是八边形，再根据多边形对角线计算公式求解即可． 【详解】解：设这个多边形为边形， 由题意得，180× (n−2)=1080， ∴n=8， ∴这个多边形为八边形， ∴这个多边形可连对角线的条数是8× (8−3) 2 =20， 故选． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线计算公式，熟知边形的对角线条数是n (n−3) 2 是解题的关键． 【变式3-1】（2022·河北保定·统考一模）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2 倍，那么从这个多边 形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ） ．3 B．6 ．9 D．18 【答】 【分析】先由多边形的内角和公式与外角和的关系可得(n−2)⋅180°=2×360°再解方程，从而可得答． 【详解】解：设这个多边形为n边形，则(n−2)⋅180°=2×360°， ∴n−2=4， 解得：n=6， 所以从这个多边形的一个顶点出发共有n−3=6−3=3条对角线， 故选． 【点睛】本题考查的是多边形的内角和定理与外角和定理，多边形的对角线问题，掌握“利用多边形的内 角和为(n−2)⋅180°,外角和为360°”是解题的关键． 【变式3-2】（2021·云南普洱·统考一模）如图，从一个四边形的同一个顶点出发可以引出1 条对角线，从 五边形的同一个顶点出发，可以引出2 条对角线，从六边形的同一个顶点出发，可以引出3 条对角线，… ，依此规律，从边形的同一个顶点出发，可以引出的对角线数量为（ … ） ． B．n−2 ．n−3 D．2n−3 【答】 【分析】根据题意可得从边型的同一个顶点出发，可以引n−3条对角线． 【详解】解：∵从一个四边形的同一个顶点出发可以引出4−3=1条对角线； 从五边形的同一个顶点出发，可以引出5−3=2条对角线， 从六边形的同一个顶点出发，可以引出6−3=3条对角线， ∴从边型的同一个顶点出发，可以引n−3条对角线， 故选：． 【点睛】本题主要考查了图形类的规律题，解题的关键在于能够根据题意得到规律求解． 【变式3-3】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）一个正多边形的中心角是72°，则过它的一个顶点 有 条对角线． 【答】2 【分析】根据正多边形的中心角是72°，可得该正多边形是正五边形，然后利用过n边形的一个顶点有 (n−3)对角线计算即可解答． 【详解】解：∵设正多边形的边数为n,且正多边形的中心角是72°， ∴72° n=360°， ∴n=5， ∴过n边形的一个顶点有(n−3)条对角线，即5−3=2条， 故答为：2． 【点睛】本题考查的是多边形的对角线、正多边形的中心角等知识点，要掌握过n多边形的一个顶点有 (n−3)条对角线、正多边形的中心角都相等是解答本题的关键． 【变式3-4】（2022·陕西西安·校考三模）一个正多边形的每个外角为45°，则这个正多边形的对角线共有 条． 【答】20 【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数=360°÷ 45°，进而求得多边形的对角线条数． 【详解】解：这个正多边形的边数：360°÷ 45°=8， 则对角线的条数是：1 2 ×8×(8−3)=20． 故答是：20． 【点睛】本题考查多边形内角与外角．解题的关键在于掌握正多边形的外角和为360°，并且正多边形的每 一个外角都相等． 题型04 对角线分三角形个数问题 【例4】（2019·广东深圳·校联考一模）如图，从多边形一个顶点出发作多边形的对角线，试根据下面几种 多边形的顶点数、线段数及三角形个数统计结果，推断f,e,v 三个量之间的数量关系是: 多边形： 顶点个数f1: 4 5 6 … 线段条数e: 5 7 9 … 三角形个数v1: 2 3 4 … 【答】f+v-e=1 【分析】三角形个数等于顶点数减2，线段条数等于对角线条数加边数，即可求解； 【详解】解：三角形个数v＝f−2， 线段条数e＝f−3＋f＝2f−3， ∴f+v-e=1， 故答为f+v-e=1； 【点睛】本题考查多边形的边，顶点，三角形个数，熟练掌握多边形对角线的求法，多边形分割三角形的 方法是解题的关键． 题型05 多边形内角和问题 【例5】（2021·河南周口·统考二模）如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E相互外离，它们的半径都是 2，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ） ．6 π B．5 π ．4 π D．3 π 【答】 【分析】求出五个扇形的圆心角之和，利用扇形面积公式求解即可． 【详解】∵(5−2)×180°=540° ∴ S=540 360 π ×2 2=6 π 故选． 【点睛】本题考查了多边形内角和，扇形面积公式，理解题意是解题的关键． 【变式5-1】（2022·江苏盐城·统考一模）下列多边形中，内角和最大的是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据多边形内角和公式可直接进行排除选项． 【详解】解：、是一个三角形，其内角和为180°； B、是一个四边形，其内角和为360°； 、是一个五边形，其内角和为540°； D、是一个六边形，其内角和为720°； ∴内角和最大的是六边形； 故选D． 【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键． 【变式5-2】（2022·河北石家庄·统考一模）如图，四边形BD 中，∠1=93°，∠2=107°，∠3=110°，则∠D 的度数为（ ） ．125° B．130° ．135° D．140° 【答】B 【分析】先根据平角的定义求出∠BAD=87° ,∠ABC=73° ,∠BCD=70°，再根据四边形的内角和即 可得到答． 【详解】∵∠1=93°，∠2=107°，∠3=110°，∠1+∠BAD=180°，∠2+∠ABC=180°， ∠3+∠BCD=180° ∴∠BAD=87° ,∠ABC=73° ,∠BCD=70° 在四边形BD 中， ∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠D=360° ∴∠D=130° 故选：B． 【点睛】本题考查了平角的定义及四边形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式5-3】（2020·辽宁葫芦岛·统考三模）如图，多边形BDEFG 中， ∠E=∠F=∠G=108° ,∠C=∠D=72°，则∠A+∠B的值为（ ） ．108° B．72° ．54° D．36° 【答】B 【分析】连接D，设D 与B 交于点，根据多边形的内角和公式即可求出∠E＋∠F＋∠G＋∠ED＋∠GD， 根据各角的关系即可求出∠D＋∠D，然后根据对顶角的相等和三角形的内角和定义即可求出结论． 【详解】解：连接D，设D 与B 交于点 ∵∠E＋∠F＋∠G＋∠ED＋∠GD=180°×（5－2）=540°，∠E=∠F=∠G=108°， ∠GCB=∠EDA=72°， ∴108°＋108°＋108°＋72°＋∠D＋72°＋∠D=540° ∴∠D＋∠D=72