第22讲 多边形与平行四边形（讲义）（原卷版）

第22 讲 多边形与平行四边形 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 多边形的相关概念 题型01 多边形的概念及分类 题型02 计算格中不规则多边形面积 题型03 计算多边形对角线条数 题型04 对角线分三角形个数问题 题型05 多边形内角和问题 题型06 已知多边形内角和求边数 题型07 多边形的割角问题 题型08 多边形的外角问题 题型09 多边形内角和、外角和与平行线的合运用 题型10 多边形内角和、外角和与角平分线的综合运用 题型11 多边形内角和与外角和的综合应用 题型12 多边形外角和的实际应用 题型13 平面镶嵌 考点二 平行四边形的性质与判定 题型01 利用平行四边形的性质求解 题型02 利用平行四边形的性质证明 题型03 判断已知条件能否构成平行四边形 题型04 添加一个条件使四边形成为平行四边形 题型05 数平行四边形个数 题型06 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型07 证明四边形是平行四边形 题型08 与平行四边形有关的新定义问题 题型09 利用平行四边形的性质与判定求解 题型10 利用平行四边形的性质与判定证明 题型11 平行四边形性质与判定的应用 考点三 三角形中位线 题型01 三角形中位线有关的计算 题型02 三角形中位线与三角形面积计算问题 题型03 与三角形中位线有关的证明 题型04 三角形中位线的实际应用 题型05 与三角形中位线有关的规律探究 题型06 与三角形中位线有关的格点作图 题型07 构造三角形中位线的常用方法 类型一 连接两点构造三角形中位线 类型二 已知中点，取另一条线段的中点构造中位线 类型三 利用角平分线垂直构造三角形的中位线 考点要求 新课标要求 命题预测 多边形的相关 概念  了解多边形的概念及多边形的顶 点、边、内角、外角与对角线  探索并掌握多边形内角和与外角 和公式 本考点内容是考查重点，年年都会考查，分 值为10 分左右，预计2024 年各地中考还将出 现，并且在选择、填空题中考查多边形的内角 和、平行四边形性质和判定、与三角形中位线有 关计算的可能性比较大．中考数学中，对平行四 边形的单独考察难度一般不大，一般和三角形全 等、解直角三角形综合应用的可能性比较大，对 于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运 用． 平行四边形的 性质与判定  探索并证明平行四边形的性质定 理  探索并证明平行四边形的判定定 理 三角形中位线  探索并证明三角形中位线定理 考点一 多边形的相关概念 多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线 多边形对角线条数：从边形的一个顶点可以引（－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了( 2) – 个三角形，边形的对角线条数为n(n−3) 2 多边形内角和定理：边形的内角和为(−2)∙180°（≥3） 【解题技巧】 1）边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180° 2）任意多边形的内角和均为180°的整数倍 3）利用多边形内角和定理可解决三类问题：①已知多边形的边数求内角和； ②已知多边形的内角和求边数； ③已知足够的角度条件下求某一个内角的度数． 多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形 【解题技巧】 1）正边形的每个内角为（n−2）×180° n ，每一个外角为360° n ． 2）正边形有条对称轴． 3）对于正边形，当为奇数时，是轴对称图形；当为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 多边形的有关计算公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误： ①边形内角和＝（－2）×180°（≥3） ②从边形的一个顶点可以引出（-3）条对角线，个顶点可以引出（-3）条对角线，但是每条对角线计 算了两次，因此边形共有n(n−3) 2 条对角线 ③边形的边数＝（内角和÷180°）＋2 ④边形的外角和是360° ⑤边形的外角和加内角和＝×180° ⑥在边形内任取一点，连接与各个顶点，把边形分成个三角形；在边形的任意一边上任取一点，连接 点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把边形分成（－1）个三角形；连接边形的任一顶点与其不相邻 的各个顶点的线段，把边形分成（－2）个三角形． 题型01 多边形的概念及分类 【例1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）在等边三角形、正五边形、正六边形、正七边形中，既是轴对称 又是中心对称的图形是（ ） ．等边三角形 B．正五边形 ．正六边形 D．正七边形 【变式1-1】（2023·江苏徐州·统考二模）下列长度的三条线段与长度为5 的线段能组成四边形的是（ ） ．1，1，1 B．1，1，8 ．1，2，2 D．2，2，2 【变式1-2】（2022·辽宁盘锦·校考一模）下列命题正确的是（ ） ．每个内角都相等的多边形是正多边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 ．过线段中点的直线是线段的垂直平分线 D．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2 两部分 题型02 计算格中不规则多边形面积 【例2】（2022·北京海淀·统考二模）如图所示的格是正方形格，，B，，D 是格线交点．若B=1，则四边 形BD 的面积为 ． 【变式2-1】（2021·北京昌平·统考二模）如图所示的格是正方形格，点，B，，D 是格线交点，则△ABC 的面积与△ADB的面积大小关系为：S△ABC S ΔADB（填“＞”“＝”或“＜”）， 【变式2-2】（2021·湖南娄底·统考一模）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称 为格点多边形，它的面积S 可用公式S=a+ 1 2 b−1（是多边形内的格点数，b 是多边形边界上的格点数） 计算，这个公式称为“皮克（Pk）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S=¿ ． 【变式2-3】（2021·山西临汾·统考三模）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 你知道“皮克定理”吗？ “皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上， 上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个 多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来 很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即S=a+ 1 2 b−1，其中 a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2 中的多边形可以 验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899 年发现的，被称为“皮克定理”． 任务： （1）如图2，是6×6的正方形格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的 面积是_______． （2）已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数b是内部点数a的3 倍，则a+b=¿______． （3）请你在图3 中设计一个格点多边形．要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形是一个轴对称图 形． 题型03 计算多边形对角线条数 【例3】（2023·浙江丽水·统考一模）已知一个多边形内角和为1080°，则这个多边形可连对角线的条数是 （ ） ．10 B．16 ．20 D．40 【变式3-1】（2022·河北保定·统考一模）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2 倍，那么从这个多边 形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ） ．3 B．6 ．9 D．18 【变式3-2】（2021·云南普洱·统考一模）如图，从一个四边形的同一个顶点出发可以引出1 条对角线，从 五边形的同一个顶点出发，可以引出2 条对角线，从六边形的同一个顶点出发，可以引出3 条对角线，… ，依此规律，从边形的同一个顶点出发，可以引出的对角线数量为（ … ） ． B．n−2 ．n−3 D．2n−3 【变式3-3】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）一个正多边形的中心角是72°，则过它的一个顶点 有 条对角线． 【变式3-4】（2022·陕西西安·校考三模）一个正多边形的每个外角为45°，则这个正多边形的对角线共有 条． 题型04 对角线分三角形个数问题 【例4】（2019·广东深圳·校联考一模）如图，从多边形一个顶点出发作多边形的对角线，试根据下面几种 多边形的顶点数、线段数及三角形个数统计结果，推断f,e,v 三个量之间的数量关系是: 多边形： 顶点个数f1: 4 5 6 … 线段条数e: 5 7 9 … 三角形个数v1: 2 3 4 … 题型05 多边形内角和问题 【例5】（2021·河南周口·统考二模）如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E相互外离，它们的半径都是 2，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ） ．6 π B．5 π ．4 π D．3 π 【变式5-1】（2022·江苏盐城·统考一模）下列多边形中，内角和最大的是（ ） ． B． ． D． 【变式5-2】（2022·河北石家庄·统考一模）如图，四边形BD 中，∠1=93°，∠2=107°，∠3=110°，则∠D 的度数为（ ） ．125° B．130° ．135° D．140° 【变式5-3】（2020·辽宁葫芦岛·统考三模）如图，多边形BDEFG 中， ∠E=∠F=∠G=108° ,∠C=∠D=72°，则∠A+∠B的值为（ ） ．108° B．72° ．54° D．36° 【变式5-4】（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形AMNP的边AM在正五边形ABCDE的边AB上， 则∠PAE=¿ °． 【变式5-5】（2021·陕西·三模）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC等 于 度． 题型06 已知多边形内角和求边数 【例6】（2022·湖南怀化·统考模拟预测）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ） ．七边形 B．八边形 ．九边形 D．十边形 【变式6-1】（2022·北京房山·统考一模）下列多边形中，内角和为720°的是（ ） ． B． ． D． 题型07 多边形的割角问题 【例7】（2020·浙江杭州·模拟预测）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°． 则原来多边形的边数是 ． 【变式7-1】（2018·山东聊城·统考模拟预测）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这 个多边形的内角和是 ． 【变式7-2】（2021·河北唐山·统考一模）如图，一张内角和为1800°的多边形纸片按图示的剪法剪去一个 内角后，得到的新多边形的边数为 ． 题型08 多边形的外角问题 【例8】（2022·湖南长沙·模拟预测）若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ） ．10 B．9 ．8 D．6 【变式8-1】（2020·江苏扬州·统考模拟预测）如图，小明从点出发沿直线前进10 米到达点B，向左转 45°后又沿直线前进10 米到达点，再向左转45°后沿直线前进10 米到达点D……照这样走下去，小明第一 次回到出发点时所走的路程为（ ） 一个变形剪去一个角后，若剪去的一个角只经过一个顶点和一边，则剩下的形状是边形，若剪去的 一个角经过两条邻边，则剩下的形状是（＋1）边形，若剪去的一个角经过两个相邻点，则剩下的形状 是（－1）边形．所以遇到相关题目时，要分类讨论． ．100 米 B．80 米 ．60 米 D．40 米 【变式8-2】（2020·山东济宁·济宁学院附属中学校考二模）正十边形的外角和为（ ） ．180° B．360° ．720° D．1440° 题型09 多边形内角和、外角和与平行线的综合运用 【例9】（2022·河南·统考模拟预测）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若 ∠1=19°，则∠2的度数为（ ） ．41° B．51° ．42° D．49° 【变式9-1】（2019·四川宜宾·校联考一模）如图，B D ∥，∠BED=61°，∠BE 的平分线与∠DE 的平分线交 于点F，则∠DFB=（ ） ．149° B．1495° ．150° D．1505° 【变式9-2】（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考模拟预测）如图，五边形ABCDE中， AB∥CD， ∠1、∠2、∠3是外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ） ．100° B．180° ．210° D．270° 【变式9-3】（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，一束太阳光平行照射在正边形A1 A2 A3…… An上，若 ∠1−∠2=60°，则n=¿ ． 【变式9-4】（2022·湖北武汉·统考模拟预测）如图，B∥D，AD平分∠BDC，E∥D，∠DCE=150° (1)求∠BAD的度数： (2)若∠F=40°，求∠E的度数 题型10 多边形内角和、外角和与角平分线的综合运用 【例10】（2022·贵州黔东南·模拟预测）如图，B∥D，∠BED=100°，BF、DF分别为∠ABE、 ∠CDE的角平分线，则∠BFD=¿（ ） ．100° B．120° ．130° D．135° 【变式10-1】（2022·江苏泰州·统考一模）如图，在四边形BD 中，∠＝150°，∠＝60°，∠B 与∠D 的平 分线交于点，则∠BD 的度数为（ ） ．120° B．125° ．130° D．135° 【变式10-2】（2022·山东济南·统考一模）如图，正五边形BDE 中，内角∠EB 的角平分线与其内角∠B 的角平分线相交于点P，则∠PB＝ 度． 【变式10-3】（2021·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）如图，在四边形BD 中，∠DAB的角平分线 与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=210°，则∠P=¿ ． 【变式10-4】（2020·河北·模拟预测）如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角 ∠EAB的角平分线相交于点P，且∠ABP=60°，则∠APB=¿ 度． 题型11 多边形内角和与外角和的综合应用 【例11】（2022·河北唐山·统考一模）如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1的度数应是 （ ） ．72° B．84° ．82° D．94° 【变式11-1】（2022·广西梧州·统考一模）一个正多边形的内角和是1260°，则这个正多边形的一个外角 等于（ ） ．60° B．45° ．72° D．40° 【变式11-2】（2022·安徽合肥·统考一模）如图，五边形BDE 是正五边形，AF ∥DG，若∠2=20°，则 ∠1=¿（ ） ．60° B．56° ．52° D．40° 【变式11-3】（2022·贵州贵阳·统考模拟预测）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ） ．1：3 B．1：2 ．2：1 D．3：1 【变式11-4】．（2023·山西大同·大同一中校联考模拟预测）等边三角形、正方形及正五边形各一个，按 下图放在同一平面内，则∠1+∠2+∠3=¿（ ） ．102° B．104° ．106° D．108° 【变式11-5】（2019·河北秦皇岛·统考一模）发现：如图1，在有一个“凹角∠A1A2A3”n边形 A1 A2 A3 A4… An中（n为大于3 的整数）， ∠A1 A2 A3=∠A1+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+……+∠An−(n−4)×180°． 验证： （1）如图2，在有一个“凹角∠ABC”的四边形ABCD中，证明：∠ABC=∠A+∠C+∠D． （2）如图3，有一个“凹角∠ABC”的六边形ABCDEF中，证明； ∠ABC=∠A+∠C+∠D+∠E+∠F−360°． 延伸： （3）如图4，在有两个连续“凹角A1 A2 A3和∠A2 A3 A ❑ 4 ❑ ”的四边形 A1 A2 A3 A4… … An中（n为大于 4 的整数），∠A1 A2 A3+∠A2 A3 A4=∠A1+∠A4+∠A5+∠A6…..+∠An−(n− ¿)×180°． 【变式11-6】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）定义：由条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫 做边形．相邻两边组成的角叫做它的内角，一边和它邻边的延长线组成的角叫做它的外角．为了探究边形 的外角和与内角和的度数，小华做了以下实验：取若干张纸片，分别在纸片上画出三角形、四边形、五边 形等，顺次延长各边得到各个外角，然后沿着多边形的边和延长线将它剪开，将外角拼在一起，观察图形， 并进行推理． （1）实验操作． （2）归纳猜想． 多边 形 三角形 四边形 五边形 … 边形 外角 和 ___________ ___________ ___________ … ___________ 内角 和 ___________ ___________ ___________ … ___________ （3）理解应用． 一个多边形的内角和是外角和的1008 倍，它是多少边形？ 题型12 多边形外角和的实际应用 【例12】（2023·江苏徐州·统考一模）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△B 与四边形BDE 的外 角和的度数分别为α，β，则正确的是（ ） ．α−β=0 B．α−β<0 ．α−β>0 D．无法比较α与β的大小 【变式12-1】（2022·北京顺义·统考一模）如图，小明从点出发，沿直线前进20 米后左转30°，再沿直线 前进20 米，又向左转30°， ，照这样走下去，他第一次回到出发地点时，一共走了（ … ） ．120 米 B．200 米 ．160 米 D．240 米 【变式12-2】（2023·河北保定·统考一模）如图，琪琪沿着一个四边形公小路跑步锻炼，从处出发，当她 跑完一圈时，她身体转过的角度之和为 ． 题型13 平面镶嵌 【例13】（2022·山西太原·一模）如图，若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是前3 个正五边 形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（ ） ．10 B．9 ．8 D．7 【变式13-1】（2023·北京平谷·统考二模）如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则 ∠BAD的度数为（ ） ．50° B．60° ．100° D．120° 【变式13-2】（2023·吉林长春·长春市第八十七中学校考三模）如图①是15 世纪艺术家阿尔布雷希特·