第22讲 多边形与平行四边形（练习）（原卷版）

第22 讲 多边形与平行四边形 目 录 题型01 多边形的概念及分类 题型02 计算格中不规则多边形面积 题型03 计算多边形对角线条数 题型04 多边形内角和问题 题型05 已知多边形内角和求边数 题型06 多边形的割角问题 题型07 多边形的外角问题 题型08 多边形外角和的实际应用 题型09 多边形内角和、外角和与平行线的合运用 题型10 多边形内角和与外角和的综合应用 题型11 平面镶嵌 题型12 利用平行四边形的性质求解 题型13 利用平行四边形的性质证明 题型14 判断已知条件能否构成平行四边形 题型15 数平行四边形个数 题型16 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型17 证明四边形是平行四边形 题型18 与平行四边形有关的新定义问题 题型19 利用平行四边形的性质与判定求解 题型20 利用平行四边形的性质与判定证明 题型21 平行四边形性质与判定的应用 题型22 三角形中位线有关的计算 题型23 三角形中位线与三角形面积计算问题 题型24 与三角形中位线有关的规律探究 题型25 与三角形中位线有关的格点作图 题型26 连接两点构造三角形中位线 题型27 已知中点，取另一条线段的中点构造中位线 题型28 利用角平分线垂直构造三角形的中位线 题型01 多边形的概念及分类 1．（2022·上海杨浦·统考二模）下列命题中，正确的是（ ） ．正多边形都是中心对称图形 B．正六边形的边长等于其外接圆的半径 ．边数大于3 的正多边形的对角线长都相等 D．各边相等的圆外切多边形是正多边形 2．（2020·全国·模拟预测）下列图形中，正多边形的个数有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 题型02 计算格中不规则多边形面积 3．（2021·北京平谷·统考一模）如图所示的格是正方形格，A ，B，C ，D是格线交点，则ΔABO的面 积与ΔCDO的面积的大小关系为：S△ABO S△CDO(填“>”，“=”或“<”) 4．（2021·湖北武汉·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标均为整数的点称为格点，若一 个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．例如：图中△ABC的与四边形DEFG均为格点 多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点记为L，已知格点多边形的面积 可表示为S=N +aL+b（a，b为常数），若某格点多边形对应的N=14，L=7，则S=¿（ ） ．16.5 B．17 ．17.5 D．18 5．（2021·北京顺义·统考一模）如图所示的格是正方形格，点，B，，D，E，F 是格线的交点，则△ABC 的面积与△≝¿的面积比为 ． 6．（2020·山西运城·统考模拟预测）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 任务： （1）如图2，是5×5 的正方形格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的 面积是 ； （2）已知：一个格点多边形的面积S 为15，且边界上的点数b 是内部点数的2 倍，则+b＝ ； （3）请你在图3 中设计一个格点多边形（要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形是一个轴对称图 形但不是中心对称图形） 题型03 计算多边形对角线条数 7．（2022·广东深圳·坪山中学校考模拟预测）多边形的对角线共有20 条，则下列方程可以求出多边形边 数的是（ ） ．n (n−2)=20 B．n (n−2)=40 ．n (n−3)=20 D．n (n−3)=40 8．（2022·陕西·校联考模拟预测）若一个多边形从一个顶点出发可以引7 条对角线，则这个多边形共有 条对角线． 9．（2021·山东青岛·统考二模）【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n−2个三角形，共有多少种 不同的分割方(n≥4 )？ 【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进 转化，最后猜想得出结论．不妨假设边形的分割方有f (n)种． 探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2 个三角形，共有多少种不同的分割方？如图①，图②，显然， 只有2 种不同的分割方．所以，f (4 )=2． 探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3 个三角形，共有多少种不同的分割方？不妨把分割方分成三 类： 第1 类：如图③，用点A，E与B连接，先把五边形分割转化成1 个三角形和1 个四边形，再把四边形分割 成2 个三角形，由探究一知，有f (4 )种不同的分割方，所以，此类共有f (4 )种不同的分割方． 第2 类：如图④，用点A，E与C连接，把五边形分割成3 个三角形，有1 种不同的分割方，可视为1 2 f (4 ) 种分割方． 第3 类：如图⑤，用点A，E与D连接，先把五边形分割转化成1 个三角形和1 个四边形，再把四边形分割 成2 个三角形，由探究一知，有f（4）种不同的分割方，所以，此类共有f（4）种不同的分割方． 所以，f (5)=f (4 )+ 1 2 f (4 )+f (4 )=5 2 ×f (4 )=10 4 ×f (4 )=5（种） 探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4 个三角形，共有多少种不同的分割方？不妨把分割方分成四 类： 第1 类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1 个三角形和1 个五边形，再把五边形分割成 3 个三角形，由探究二知，有f (5)种不同的分割方，所以，此类共有f (5)种不同的分割方． 第2 类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2 个三角形和1 个四边形．再把四边形分割成 2 个三角形，由探究一知，有f (4 )种不同的分割方．所以，此类共有f (4 )种分割方． 第3 类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2 个三角形和1 个四边形．再把四边形分割成 2 个三角形，由探究一知，有f (4 )种不同的分割方．所以，此类共有f (4 )种分割方． 第4 类：如图，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1 个三角形和1 个五边形，再把五边形分割成3 个三角形，由探究二知，有f (5)种不同的分割方．所以，此类共有f (5)种分割方． 所以，f (6)=f (5)+f (4 )+f (4 )+f (5) ¿ f (5)+ 2 5 f (5)+ 2 5 f (5)+f (5)=14 5 ×f (5)=14（种） 探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5 个三角形，则f (7)与f (6)的关系为f (7)= ( ) 6 ×f (6)，共有____ __种不同的分割方． …… 【结论】用n边形的对角线把n边形分割成(n−2)个三角形，共有多少种不同的分割方(n≥4 )？（直接写出 f (n)与f (n−1)之间的关系式，不写解答过程） 【应用】用九边形的对角线把九边形分割成7 个三角形，共有多少种不同的分割方？（应用上述结论中的 关系式求解） 题型04 多边形内角和问题 10．（2023·山东日照·校考三模）我们知道三角形的内角和为180°，而四边形可以分成两个三角形，故它 的内角和为2×180°=360°，五边形则可以分成3 个三角形，它的内角和为3×180°=540°（如图），依 此类推，则八边形的内角和为（ ） ．900° B．1080° ．1260° D．1440° 11．（2023·河北邯郸·校考模拟预测）一块四边形ABCD玻璃被打破，如图所示．小红想制做一模一样的 玻璃，经测量∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，则∠D的度数（ ） ．65° B．45° ．30° D．20° 12．（2023·河北沧州·统考模拟预测）一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为2750°，则这一内 角为 度． 13．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻 两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边 形的勾股边，如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC． (1)求∠A+∠C的度数． (2)判断四边形ABCD是否是“勾股四边形”，并说明理由． 题型05 已知多边形内角和求边数 14．（2022·北京西城·北京师大附中校考模拟预测）一个多边形的内角和等于1260°，则它是（ ） ．五边形 B．七边形 ．九边形 D．十边形 15．（2022·陕西西安·校考模拟预测）一个正多边形的内角和是1440°，则此多边形的边数是 ，对角线 共有 条． 题型06 多边形的割角问题 16．（2022·河北·模拟预测）若过多边形的一个顶点作一条直线，把这个多边形截掉两个角，它的内角和 变为1260°，则这个多边形原来的边数为（ ） ．12 B．10 ．11 D．10 或11 17．（2021·上海徐汇·统考二模）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（ ） ．180° B．270° ．360° D．540° 18．（2019·山东德州·统考一模）如图是将一多边形剪去一个角，则新多边形的内角和（ ） ．比原多边形少180° B．与原多边形一样 ．比原多边形多360° D．比原多边形多180° 题型07 多边形的外角问题 19．（2023·北京通州·统考一模）正七边形的外角和是（ ） ．900° B．700° ．360° D．180° 20．（2022·云南昆明·统考一模）小丽利用学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点出发，如 图所示，沿直线走6 米后向左转θ，接着沿直线前进6 米后，再向左转θ……如此走法，当她第一次走到点 时，发现自己走了72 米，θ的度数为（ ） ．30° B．32° ．35° D．36° 21．（2021·广东深圳·校联考模拟预测）已知一个多边形每一个外角都是60°，则它是 边形． 题型08 多边形外角和的实际应用 22．（2023·北京房山·统考一模）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值为（ ） ．180° B．360° ．540° D．720° 23．（2023·贵州遵义·统考三模）如图，小明沿一个五边形的广场小道按A →B→C →D→E的方向跑步 健身，他每跑完一圈时，身体转过的角度之和是（ ） ．180° B．360° ．540° D．720° 24．（2022·河北保定·统考二模）一机器人以3m/s的速度在平地上按如下要求行走，则该机器人从开始到 停止所行走的路程为 m，共需时间 s． 题型09 多边形内角和、外角和与平行线的合运用 25．（2020·河北·校联考二模）如图，一束平行太阳光线FA、GB照射到正五边形ABCDE上， ∠ABG=50°，则∠FAE的度数是（ ） ．22° B．32° ．50° D．130° 26．（2023·河北保定·校考模拟预测）如图，六边形ABCDEF为正六边形，l1∥l2，则∠2−∠1的值为 （ ） ．60° B．80° ．108° D．120° 27．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若 ∠1=44°，则∠2的度数为（ ） ．14° B．16° ．24° D．26° 题型10 多边形内角和与外角和的综合应用 28．（2021·河北邢台·校考二模）如图，正五边形ABCD，DG平分正五边形的外角∠EDF，连接BD， 则∠BDG=¿（ ） ．144° B．120° ．114° D．108° 29．（2022·河北石家庄·统考二模）如图，六边形ABCDEF中，∠A ，∠B，∠C ，∠D的外角都相 等，即∠1=∠2=∠3=∠4=62°，分别作∠≝¿和∠EFA的平分线交于点P，则∠P的度数是（ ） ．55° B．56° ．57° D．60° 30．（2021·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）如图，五边形BDE 中，∠B=80°，∠C=110°， ∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ） ．90° B．190° ．210° D．180° 31．（2022·福建·模拟预测）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，如果∠1＝41°， ∠2＝51°，那么∠3 等于（ ） ．5° B．10° ．15° D．20° 32．（2023·河北秦皇岛·统考二模）如图，将四边形ABCD剪掉一个角得到五边形．下列判断正确的是 （ ） 结论①：变成五边形后外角和不发生变化； 结论②：变成五边形后内角和增加了360°； 结论③：通过图中条件可以得到∠1+∠2=240°； ．只有①对 B．①和③对 ．①、②、③都对 D．①、②、③都不对 33．（2023·湖北孝感·统考一模）如图所示，已知∠MON=60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线 OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO=¿ 度． 题型11 平面镶嵌 34．（2023·浙江·模拟预测）用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点在一起，刚好能完全铺满地面， 已知正多边形的边数为x、y、z，则1 x + 1 y + 1 z 的值为 ． 35．（2023·河北沧州·统考二模）要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正 六边形，边长记作2a．下面我们来研究纸盒底面半径的最小值． （1）如果要装6 支彩铅，嘉淇画出了如图1，图2 所示的两种布局方． 方Ⅰ中纸盒底面半径的最小值为 ； 方Ⅱ中纸盒底面半径的最小值为 ； （2）如果要装12 色的彩铅，请你为厂家设计一种最佳的布局，使得底面圆的半径最小，最小值为 ． 36．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校联考模拟预测）20 世纪70 年代，数学家罗杰·彭罗斯使用两种不 同的菱形，完成了非周期性密铺，如下图，使用了A，B两种菱形进行了密铺，则菱形B的锐角的度数为 °． 37．（2022·河北·统考二模）如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条公共边， 围成一圈后中间形成一个正方形．设正方形的边长为1，则该图形外轮廓的周长为 ；若个全等的正多边 形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，设正三角形的边长为1，则该图形 外轮廓的周长是 ． 题型12 利用平行四边形的性质求解 38．（2023·湖南株洲·统考一模）如图，在▱ABCD中，一定正确的是（ ） ．AD=CD B．AC=BD ．AB=CD D．CD=BC 39．（2022·云南昆明·云南省昆明市第十中学校考一模）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于 点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB=3, AD=4，则EF的长是（ ） ．1 B．2 ．25 D．3 40．（2020·河北·模拟预测）如图，平行四边形BD 中，B=2，D=4，对角线，BD 相交于点，且E，F， G，分别是，B，，D 的中点，则下列说法正确的是（ ） ．E=G B．四边形EFG 是平行四边形 ．⊥BD D．ΔABO的面积是ΔEFO的面积的2 倍 41．（2021·四川乐山·统考三模）如图，在平行四边形BD 中，点F 是D 上一点，交于点E，交D 的延长 线于点G，若2F=3FD 则BE EG 的值为（ ） ．3 5 B．2 5 ．2 3 D．1 3 42．（2023·山东德州·统考一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B 的坐标为 ． 题型13 利用平行四边形的性质证明 43．（2020·江苏盐城·统考模拟预测）如图，在▱ABCD中，点E 为BC上一点，连接AE并延长交DC的 延长线于点F，AD=DF，连接DE． (1)求证：AE平分∠BAD； (2)若点E 为BC中点，∠B=60°，AD=4，求▱ABCD的面积． 44．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，在平行四边形BD 中，点E，F 分别在边B，D 上，且四边形 BEDF 为正方形． (1)求证AE=CF； (2)已知平行四边形BD 的面积为20，AB=5．求CF的长． 45．（2021·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）如图，在平行四边形BD 中，是对角线，且B＝，F 是 ∠B 的角平分线交B 于点F，在D 上取一点E，使B＝E，连接BE 交F 于点P． （1）求证：BP＝P； （2）若B＝4，∠B＝45°，求平行四边形BD 的面积． 46．（2022·重庆·重庆实验外国语学校校考三模）已知四边形BD 为平行四边形． (1)尺规作图：作线段D 的垂直平分线，垂足为点E，交D 于点F，交B 的延长线于点G，连接F．在线段 B 上取一点，使F＝F，连接F；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）问的条件下，若∠GF＝∠D，求证：GF＝E． 证明：∵EF 垂直平分D ∴∠FE＝90°，______① ∴∠FD＝∠D ∵∠GF＝∠D ______ ∴ ② ∵四边形BD 为平行四边形 ______ ∴ ③ ∴∠GF＋∠FE＝180° ∴∠GF＝∠FE＝90° 在△FGH和△CEF中 ¿ ∴△FGH ≌△CEF ( AAS ) ∴GF=CE． 题型14 判断已知条件能否构成平行四边形 47．（2019·安徽合肥·统考一模）□BD 中，E、F 是对角线BD 上不同的两点，下列条件中，不能得出四边 形EF 一定为平行四边形的是（ ） ．BE=DF B．E=F ．F//E D．∠BE=∠DF 48．（2022·上海·统考模拟预测）下列条件中，可以判断四边形BD 是平行四边形的是（ ） ．对角线互相垂直 B．两条对角线相等 ．一组对边平行，另一组对边相等 D．一组对边平行，另一组对角相等 题型15 数平行四边形个数 49．（2017·河南·模拟预测）数如图，D，BE，F 是正六边形BDEF 的对角线，图中平行四边形的个数有（ ） ．2 个 B．4 个 ．6 个 D．8 个 50．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，在3×3 的正方形格中，点、B、、D、E、F 都是格点． (1)从、D、E、F 四点中任取一点，以这点及点、B 为顶点画三角形，所画三角形是等腰三角形的概率是 ． (2)从、B、D、E 四点中任取两点，以这两点及点、F 为顶点画四边形，用画树状图或列表格法求所画四边 形是平行四边形的概率． 题型16 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 51．（2017·河北邢台·统考一模）平面直角坐标系中，已知□BD 的三个顶点坐标分别是（m，），B ( 2， －l )