第02讲 整式与因式分解（练习）（原卷版）

第02 讲 整式与因式分解 目 录 题型01 列代数式 题型02 判断单项式系数、次数 题型03 判断多项式项、项数、次数 题型04 判断同类项 题型05 合并同类项 题型06 添（去）括号 题型07 整式的加减 题型08 幂的基本运算 题型09 幂的混合运算 题型10 整式的乘法 题型11 整式的除法 题型12 利用乘法公式计算 题型13 整式的化简求值 题型14 判断因式分解 题型15 选用合适的方法因式分解 题型01 列代数式 1．（2023·浙江杭州·一模）苹果的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千克，买2 千克苹果和3 千克香蕉 共需（ ） ．(a+b)元 B．(3a+2b)元 ．5 (a+b)元 D．(2a+3b)元 2．（2023·河北唐山·二模）某两位数，十位数字为a，个位数字为b，将其十位上的数与个位上的数交换位 置，得到一个新的两位数，新两位数用代数式表示为（ ） ．ba B．a+b ．10a+b D．10b+a 3．（2023·安徽合肥·一模）随着国产芯片自主研发的突破，某种型号芯片的价格经过两次降价，由原来每 片元下降到每片b 元，已知第一次下降了10％，第二次下降了20％，则与b 满足的数量关系是（ ） ．b=a (1−10％−20％) B．b=a (1−10％) (1−20％) ．a=b (1+10％+20％) D．a=b (1+10％) (1+20％) 题型02 判断单项式系数、次数 1．（2022·江苏南京·模拟预测）下列说法正确的是（ ） ． 3 πxy的系数是3 B．3 πxy的次数是3 ． −2 3 x y 2的系数是−2 3 D．−2 3 x y 2的次数是2 2．（2023·河北承德·二模）下列各式中，运算结果为六次单项式的是（ ） ．m 2+m 4 B． (m 2) 4 ．m 3⋅m 3 D． (mn) 6 题型03 判断多项式项、项数、次数 1．（2022·安徽·模拟预测）下列说法正确的是（ ） ．3 x−2的项是3 x，2 B．2 x 2 y+x y 2−x是二次三项式 ．3 x 2 y与−4 y x 2是同类项 D．单项式−3 π x 2 y的系数是−3 2．（2022·河北·一模）下列关于4 a+2的叙述，错误的是（ ） ．4 a+2的次数是1 B．4 a+2表示的4 倍与2 的和 ．4 a+2是多项式 D．4 a+2可因式分解为4(a+1) 3．（2023·广东茂名·一模）多项式2 x 3+3 x 2−1的二次项系数是 ． 题型04 判断同类项 1．（2023·江苏南京·一模）下列各组代数式中是同类项的是（ ） ．5 和3a B．2a 2b和−ab 2 ．3ab 3和−3b 3a D．abc和a 2b 2c 2 2．（2023·广西柳州·二模）下列单项式中，与3ab 2是同类项的是（ ） ．3a 2b B．4 ab 2 ．3a 2b 2 D．3ab 题型05 合并同类项 1．（2023·江西上饶·一模）下列计算正确的是( ) ．3ab+2ab=5ab B．5 y 2−2 y 2=3 ．7a+a=7a 2 D．m 2n−2mn 2=−mn 2 2．（2023·内蒙古乌兰察布·校考二模）若等式2a 2⋅a+（ ）=3a 3成立，则括号中填写单项式可以是 （ ） ．a B．a 2 ．a 3 D．a 4 题型06 添（去）括号 1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）去括号：( y 2−x 2)−( x 2−y 2)=（ ） ．y 2−x 2−x 2−y 2 B．y 2+x 2+x 2−y 2 ．y 2−x 2+x 2−y 2 D．y 2−x 2−x 2+ y 2 2．（2023· 浙江宁波·一模）−[a−(b+c)]去括号后应为（ ） ．−a−b+c B．−a+b−c ．−a−b−c D．−a+b+c 3．（2023· 河北张家口·三模）与−1−1 2 结果相同的是（ ） ．+(−1+ 1 2) B．+(−1−1 2) ．−(−1+ 1 2) D．−(−1−1 2) 4．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）在多项式a−b−c−x−y−z中任意加括号，加括号后仍只有减法运 算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”，例如 (a−b)−(c−x−y−z )=a−b−c+x+ y+z，a−b−(c−x−y )−z=a−b−c+x+ y−z，…．在所有可能 的“加算操作”中，不同的运算结果共有（ ） ．8 种 B．16 种 ．24 种 D．32 种 题型07 整式的加减 1．（2023·河北保定·校考模拟预测）化简2a−b−2 (a+b)的结果为（ ） ．−2b B．−3b ．b D．4 a+b 2．（2023·江苏盐城·校考一模）墨迹覆盖了等式“ −( x 2+1)=3 x”中的多项式，则覆盖的多项式 为（ ） ．x+2 B．−x 2−1+3 x ．3 x−x 2+1 D．3 x+x 2+1 3．（2023·安徽合肥·二模）化简：3(a 2+2ab)−2(ab−a 2) 题型08 幂的基本运算 1．（2023·湖南湘西·校考二模）下列运算正确的是（ ） ．a 2⋅a 3=a 5 B． (a 3) 2=a 5 ．(ab) 2=ab 2 D．a 6 a 2=a 3(a≠0) 2．（2023·湖北襄阳·一模）电子文件的大小常用B , KB , MB ,GB等作为单位，其中 1GB=2 10 MB ,1 MB=2 10 KB ,1 KB=2 10 B，某视频文件的大小约为1GB ,1GB等于( ) ．2 30 B B．8 30 B ．8×10 10 B D．2×10 30 B 3．（2023·福建厦门·厦门市湖里中学校考模拟预测）计算 (2a 4) 3的结果是（ ） ．2a 12 B．8a 12 ．6a 7 D．8a 7 4．（2023·吉林松原·校联考三模）6 6是6 3的（ ） ．2 倍 B．36 倍 ．3 倍 D．216 倍 5．（2023·吉林四平·校联考三模）计算： (a−b) 3⋅(b−a) 4=¿ ．（结果用幂的形式表示） 题型09 幂的混合运算 1．（2023·江苏徐州·模拟预测）计算−a 2⋅(a 2) 3的结果是（ ） ．a 8 B．－a 8 ．a 7 D．－a 7 2．（2022·广东广州·二模）已知3 m=4，3 2m−4n=2．若9 n=x，则x的值为（ ） ．8 B．4 ．2❑ √2 D．❑ √2 题型10 整式的乘法 1．（2022·天津·模拟预测）计算：1 2 x y 2⋅(−4 x 2 y)=¿ ． 2．（2022·江苏无锡·校考一模）已知ab 2=−3，则−ab (a 2b 5−ab 3−b)=¿ ． 3．（2023·浙江舟山·校联考一模）如果(x+m) (x−5)=x 2−3 x+k，那么k、m的值分别是（ ）． ．k=10，m=2 B．k=10，m=−2 ．k=−10，m=2 D．k=−10，m=−2 题型11 整式的除法 1．（2023·天津·模拟预测）计算：12 x 2 y ÷ (−6 xy )=¿ ． 2．（2023·陕西西安·模拟预测）计算： （1）（x2y3）4+（﹣x）8（y6）2； （2）（9x2y3 27 ﹣ x3y2）÷（3xy）2． 3．（2023·甘肃陇南·校考一模）计算 (ab 2) 4÷ (ab) 2的结果是（ ） ．a 2b 2 B．a 2b 3 ．a 2b 6 D．a 3b 3 4（2023·陕西西安·校考模拟预测）计算 (12 x 3−18 x 2−6 x)÷ (−6 x )的结果为（ ） ．−2 x 2+3 x B．−2 x 2−3 x ．−2 x 2−3 x−1 D．−2 x 2+3 x+1 题型12 利用乘法公式计算 1．（2023·湖北荆门·一模）将952变形正确的是（ ） ．952=92+052 B．952=（10+05）（10 05 ﹣ ） ．952=102 2×10×05+05 ﹣ 2 D．952=92+9×05+052 2．（2023·天津河北·三模）计算(❑ √19+1)(❑ √19−1)的结果等于 ． 3．（2023·陕西西安·校考二模）化简： (2 x+1) 2−(4 x+1) (x+1) 4．（2023·甘肃兰州·二模）化简：（2x 3 ﹣）（2x＋3）﹣（2x 1 ﹣）2 题型13 整式的化简求值 1．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考二模）已知m、是一元二次方程x 2+2 x−5=0的两个根，则 m 2+mn+2m的值为（ ） ．0 B．－10 ．3 D．10 2．（2023·广东深圳·深圳市福田区北环中学校考二模）已知x 2−y 2=69，x+ y=3，则x−y=¿ ． 3．（2023·陕西·模拟预测）已知m 2+n 2+10=6m−2n，则m−n=¿ ． 4．（2023·内蒙古呼伦贝尔·三模）如果❑ √x−4+( y+6) 2=0 ，那么2 x−y的平方根为 ． 5．（2023·河北秦皇岛·校联考三模）已知A=x 2−2 xy，B= y 2+3 xy，当x=−2，y=−3时，求2 A−B 的值． 6．（2023·湖南岳阳·一模）已知x 2+2 x−2=0 ，求代数式x( x+2)+( x+1) 2的值． 7．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知x2 3x+1 ﹣ ＝0，求x2+1 x 2 的值． 8．（2023·河北衡水·校联考一模）已知多项A=3 x 2−x+1，B=k x 2−(2 x 2+x−2)． (1)当x =−1时，求的值； (2)小华认为无论k取何值，A−B的值都无法确定．小明认为k可以找到适当的数，使代数式A−B的值是 常数．你认为谁的说法正确？请说明理由． 9．（2023·吉林松原·校联考三模）先化简，再求值：( x+2)(3 x−2)−2 x( x+2)，其中x=❑ √3−1． 题型14 判断因式分解 1．（2023·江苏徐州·模拟预测）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） ．x (2 x+1)=2 x 2+x B．1−a 2=(1+a) (1−a) ． (x+1) (x−1)=x 2−1 D．a 2−2a+3=(a−1) 2+2 2．（2023·甘肃平凉·校考三模）下列因式分解错误的是( ) ．x 2－y 2＝( x+ y)( x－y) B．x 2+6 x+9＝( x+3) 2 ．x 2+xy ＝x( x+ y) D．x 2+ y 2＝( x+ y) 2 3．（2023·河北·模拟预测）对于下列两个自左向右的变形：甲：6 x 2 y=2 x⋅3 xy，乙： x 2−2 x+1=x( x−2)+1其中说法正确的是（ ） ．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 ．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 题型15 选用合适的方法因式分解 1．（2023·辽宁沈阳·三模）分解因式：x y 2−x=¿ ． 2．（2023·广东清远·二模）因式分解：a 2+4 a+4=¿ ． 3．（2023·江苏徐州·一模）把下面各式分解因式： (1)3 x 2−27 y 2 (2)(a+b)−2a (a+b)+a 2 (a+b) 4．（2022·山东淄博·一模）分解因式：2 x 2−4 x−6． 1．（2022·四川攀枝花·中考真题）下列各式不是单项式的为（ ） ．3 B． ．b a D．1 2 x 2 y 2．（2022·安徽·中考真题）下列各式中，计算结果等于a 9的是（ ） ．a 3+a 6 B．a 3⋅a 6 ．a 10−a D．a 18÷ a 2 3．（2023·湖北宜昌·中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8 月份的日历，任意选择 其中所示的含4 个数字的方框部分，设右上角的数字为，则下列叙述中正确的是（ ）． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 11 12 1 3 14 1 5 16 1 7 18 19 2 0 21 2 2 23 2 4 25 26 2 7 28 2 9 30 3 1 ．左上角的数字为a+1 B．左下角的数字为a+7 ．右下角的数字为a+8 D．方框中4 个位置的数相加，结果是4 的倍数 4．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）下列运算正确的是（ ） ． (a 2b 3) 2=a 4b 6B．3ab−2ab=1 ．(−a) 3⋅a=a 4 D．(a+b) 2=a 2+b 2 5．（2023·新疆·中考真题）计算4 a⋅3a 2b÷2ab的结果是（ ） ．6a B．6ab ．6a 2 D．6a 2b 2 6．（2023·山东日照·中考真题）已知直角三角形的三边a,b,c满足c>a>b，分别以a,b,c为边作三个正方 形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分 的面积为S2，则（ ） ．S1>S2 B．S1<S2 ．S1=S2 D．S1,S2大小无法确定 7．（2023·湖北随州·中考真题）设有边长分别为和b(a>b)的类和B 类正方形纸片、长为宽为b 的类矩形 纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1 张类纸片、1 张B 类纸片和2 张类纸片．若 要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要类纸片的张数为( ) ．6 B．7 ．8 D．9 8．（2022·湖北荆门·中考真题）对于任意实数，b，3+b3＝（+b）（2﹣b+b2）恒成立，则下列关系式正确 的是( ) ．3﹣b3＝（﹣b）（2+b+b2） B．3﹣b3＝（+b）（2+b+b2） ．3﹣b3＝（﹣b）（2﹣b+b2） D．3﹣b3＝（+b）（2+b﹣b2） 9．（2023·四川内江·中考真题）已知、b 是方程x 2+3 x−4=0的两根，则a 2+4 a+b−3=¿ ． 10．（2023·四川乐山·中考真题）若m、满足3m−n−4=0，则8 m÷2 n=¿ ． 11．（2023·四川凉山·中考真题）已知y 2−my+1是完全平方式，则m的值是 ． 12．（2023·江苏苏州·中考真题）已知一次函数y=kx+b的图象经过点(1,3)和(−1,2)，则k 2−b 2=¿ ． 13．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式m x 2−16m分解因式的结果是 ． 14．（2022·广西·中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a−b=2，求代数式 6a−2b−1的值．”可以这样解：6a−2b−1=2 (3a−b)−1=2×2−1=3．根据阅读材料，解决问题： 若x=2是关于x 的一元一次方程ax+b=3的解，则代数式4 a 2+4 ab+b 2+4 a+2b−1的值是 ． 15．（2023·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：(2 x+ y) 2−(2 x+ y ) (2 x−y )−2 y (x+ y )，其中 x=( 1 2) 2023 ，y=2 2022． 16．（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1 所示(a>1)．某 同学分别用6 张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2 和图3，其面积分别为S1,S2． (1)请用含的式子分别表示S1,S2；当a=2时，求S1+S2的值； (2)比较S1与S2的大小，并说明理由． 1．（2023·重庆·中考真题）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数 字多2，则称M 为“天真数”．如：四位数7311，∵7−1=6，3−1=2，∴7311 是“天真数”；四位数 8421，∵8−1≠6，∴8421 不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数”M 的千位数字为， 百位数字为b，十位数字为，个位数字为d，记P (M )=3 (a+b)+c+d，Q (M )=a−5，若P (M ) Q (M )能被10 整 除，则满足条件的M 的最大值为 ． 2．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN，已知① 和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5AE=a, DE=b，且a>b． （1）若，b 是整数，则PQ的长是 ； （2）若代数式a 2−2ab−b 2的值为零，则S四边形ABCD S 矩形PQMN 的值是 ． 3．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料： 材料1：若关于x 的一元二次方程x2＋bx＋＝0（≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝−b a ，x1x2＝c a 材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0 的两个实数根分别为m，，求m2＋m2的值． 解：∵一元二次方程x2－x－1＝0 的两个实数根分别为m，， ∴m＋＝1，m＝－1， 则m2＋m2＝m（m＋）＝－1×1＝－1 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0 的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ． (2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0 的两根分别为m、，求n m + m n 的值． (3)思维拓展：已知实数s、t 满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求1 s −1 t 的值． 4．（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将2a−3ab−4+6b因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式¿ (2a−3ab)−(4−6b)=a (2−3b)−2 (2−3b)=(2−3b) (a−2) 解法二：原式¿ (2a−4 )−(3ab−6b)=2 (a−2)−3b (a−2)=(a−2) (2−3b) 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式