专题2.2 同类项与合并同类项【八大题型】（解析版）

专题22 同类项与合并同类项【八大题型】 【人版】 【题型1 判断两单项式是否是同类项】................................................................................................................. 1 【题型2 根据同类项概念求参】.............................................................................................................................2 【题型3 判断合并同类项的正误】.........................................................................................................................4 【题型4 根据两单项式的和差是同类项求参】.....................................................................................................5 【题型5 不含某项问题】.........................................................................................................................................6 【题型6 与字母取值无关问题】.............................................................................................................................8 【题型7 合并同类项的计算】.................................................................................................................................9 【题型8 合并同类项的化简求值】....................................................................................................................... 11 【知识点1 同类项的概念】 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等． （2）注意事项： ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；②同类项与系数的大 小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关；④所有常数项都是同类项． 【题型1 判断两单项式是否是同类项】 【例1】（2022 秋•金寨县期末）下列各式不是同类项的是（ ） ．﹣2 和0 B．4x2y 与﹣2xy2 ．−1 2 xy 与﹣yx D．5m2与﹣3m2 【分析】根据同类项的定义即可求出答．定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也 相同，这样的项叫做同类项． 【解答】解：．数字都是单项式，且是同类项，故本选项不合题意； B4x2y 与﹣2xy2，所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项符合 题意； ．−1 2 xy 与﹣yx，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项不 合题意； D5m2与﹣3m2，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项不合 1 题意； 故选：B． 【变式1-1】（2022•湘潭）下列整式与b2为同类项的是（ ） ．2b B．﹣2b2 ．b D．b2 【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，即可判断． 【解答】解：在2b，﹣2b2，b，b2四个整式中，与b2为同类项的是：﹣2b2， 故选：B． 【变式1-2】（2022•义乌市模拟）下列各组式子中，是同类项的为（ ） ．2 与2b B．2b 与2b2 ．2b 与﹣3b D．32b 与2b 【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可 得答．注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关． 【解答】解：．所含字母不相同，不是同类项，故不符合题意； B．所含字母相同，但相同字母指数不相同，不是同类项，故B 不符合题意； ．所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故符合题意； D．所含字母不尽相同，不是同类项，故D 不符合题意； 故选：． 【变式1-3】（2022 秋•曲阳县期末）下列各组中的两个单项式，属于同类项的是（ ） ．6xy 和6xyz B．x3与53 ．22b 与−1 2 b2 D．085xy4与﹣y4x 【分析】根据同类项的定义对四个选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、6xy 和6xyz 中所含字母不同，不是同类项，故本选项不符合题意； B、x3与53中所含字母不同，不是同类项，故本选项不符合题意； 、22b 与−1 2 b2中所含字母相同，但相同含字母的指数不同，不是同类项，故本选项不符 合题意； D、085xy4与﹣y4x 中所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故本选项符合题 意． 故选：D． 【题型2 根据同类项概念求参】 【例2】（2022 秋•惠城区期末）已知单项式2 5 m 2 x+7n 6和−1 2 mn 3 y是同类项，则代数式xy 的值是（ ） ．9 B．﹣9 ．6 D．﹣6 1 【分析】根据同类项的概念列式求出x、y，计算即可． 【解答】解：由题意可得，2x+7＝1，3y＝6， 解得x＝﹣3，y＝2， ∴xy＝（﹣3）2＝9， 故选：． 【变式2-1】（2022•东莞市校级一模）若﹣2xm+7y4与3x4y2是同类项，则m 的值为（ ） ．1 B．5 ．6 D．﹣6 【分析】根据同类项的概念即可求出答． 【解答】解：由同类项的概念可知：m+7＝4，2＝4， 解得：m＝﹣3，＝2， ∴m＝（﹣3）×2＝﹣6， 故选：D． 【变式2-2】（2022 秋•潍坊期末）若3 2 ﹣m 1 ﹣b2与9b2是同类项，则﹣m2022等于（ ） ．0 B．2 ．﹣1 D．1 【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，求出m 的值，然 后代入式子中进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 2 ﹣m 1 ﹣＝1， ∴m＝﹣1， ∴﹣m2022＝﹣（﹣1）2022＝﹣1， 故选：． 【变式2-3】（2022 秋•韩城市期中）已知单项式﹣2x2my7与单项式﹣5x6y+8是同类项，求﹣ m2﹣2021的值． 【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出m、的值， 代入计算即可得出答． 【解答】解：因为单项式﹣2x2my7与单项式﹣5x6y+8是同类项， 所以2m＝6，+8＝7， 所以m＝3，＝﹣1， 所以﹣m2﹣2021＝﹣32﹣（﹣1）2021＝﹣8． 【知识点2 合并同类项】 （1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项． （2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不 1 变． （3）合并同类项时要注意以下三点： ①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同 系数的代数项；字母和字母指数； ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数 会减少，达到化简多项式的目的； “ ③合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母 和字母的指数不变． 【题型3 判断合并同类项的正误】 【例3】（2022 秋•姚安县校级月考）下面是小玲同学做的合并同类项的题，正确的是（ ） ．7+＝72 B．5y 3 ﹣y＝2 ．3x2y 2 ﹣x2y＝x2y D．3+2b＝5b 【分析】根据合并同类项法则即可求出答． 【解答】解：、原式＝8，故不符合题意． B、原式＝2y，故B 不符合题意． 、原式＝x2y，故符合题意． D、3 与2b 不是同类项，故不能合并，故D 不符合题意． 故选：． 【变式3-1】（2022 春•香坊区期末）下面运算正确的是（ ） ．3+2b＝5b B．3x2+2x3＝5x5 ．3y2 2 ﹣y2＝1 D．32b 3 ﹣b2＝0 【分析】直接利用合并同类项法则分别计算，然后进行判断即可． 【解答】解：、3 与2b 不是同类项，无法计算，故此选项不符合题意； B、3x2与2x3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； 、3y2 2 ﹣y2＝y2，故此选项不符合题意； D、32b 3 ﹣b2＝0，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式3-2】（2022 秋•卢龙县期末）下列各式中，合并同类项错误的是（ ） ．x+x+x＝x3 B．3b 3 ﹣b＝0 ．5+2＝7 D．4x2y 5 ﹣x2y＝﹣x2y 【分析】利用合并同类项法则分别求出判断即可． 【解答】解：、x+x+x＝3x，故此选项错误，符合题意； 1 B、3b 3 ﹣b＝0，正确，不合题意； 、5+2＝7，正确，不合题意； D、4x2y 5 ﹣x2y＝﹣x2y，正确，不合题意． 故选：． 【变式3-3】（2022 秋•盱眙县期中）下列合并同类项错误的个数是（ ） 5 ①x6+8x6＝13x12；②3+2b＝5b；③8y2 3 ﹣y2＝5；④6b2 6 ﹣ 2b＝0． ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【分析】本题是对同类项和合并同类项的综合考查，只有是同类项，才能按同类项的合 并法则合并． 【解答】解：由同类项的定义与合并的法则可知， 5 ①x6+8x6＝13x12，只要合并系数，字母和字母的指数不变，所以不对， 3+2 ② b＝5b 根本就不是同类项，所以不能合并的， 8 ③y2 3 ﹣y2＝5，只要合并系数，字母和字母的指数不变，所以不对， 6 ④b2 6 ﹣ 2b＝0 根本就不是同类项，所以不能合并的． 所以错误的个数是4 个． 故选：D． 【题型4 根据两单项式的和差是同类项求参】 【例4】（2022 秋•洪江市期末）若单项式2m+6b2+1与5b7的和仍是单项式，则m+的值为（ ） ．﹣4 B．4 ．﹣2 D．2 【分析】根据差是单项式，可得它们是同类项，在根据同类项，可得m、的值，根据有 理数的加法，可得答． 【解答】解：∵单项式2m+6b2+1与5b7的和仍是单项式， ∴单项式2m+6b2+1与5b7是同类项， ∴m+6＝5，2+1＝7， 解得m＝﹣1，＝3， ∴m+＝﹣1+3＝2， 故选：D． 【变式4-1】（2022•定西二模）已知3x2y+xmy＝4x2y，则m 的值为（ ） ．0 B．1 ．2 D．3 【分析】根据同类项的定义及合并同类项法则，即可求出m 的值． 【解答】解：∵3x2y+xmy＝4x2y， 3 ∴x2y 与xmy 是同类项， 1 ∴m＝2， 故选：． 【变式4-2】（2022 秋•射阳县校级期末）若3xm+5y2与23x8y+4的差是一个单项式，则代数式 m的值为（ ） ．﹣8 B．6 ．﹣6 D．8 【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，求出m，的值， 然后代入式子中进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： m+5＝8，+4＝2， ∴m＝3，＝﹣2， ∴m＝（﹣2）3＝﹣8， 故选：． 【变式4-3】（2022 秋•丹东期末）若﹣4x+5y3+x3yb＝﹣3x3y3，则b 的值是 ﹣ 6 ． 【分析】根据合并同类项得出+5＝3，b＝3，求出、b 的值，再代入求出即可． 【解答】解：﹣4x+5y3+x3yb＝﹣3x3y3， +5＝3，b＝3， ＝﹣2， b＝﹣2×3＝﹣6， 故答为：﹣6． 【题型5 不含某项问题】 【例5】（2022 秋•勃利县期末）当k＝ 1 25 时，代数式x6 5 ﹣kx4y3 4 ﹣x6+1 5 x4y3+10 中不 含x4y3项． 【分析】根据合并同类项的法则，合并同类项时把系数相加减，字母与字母的指数不变． 【解答】解：代数式x6 5 ﹣kx4y3 4 ﹣x6+1 5 x4y3+10 中不含x4y3项， 即﹣5kx4y3和1 5x4y3合并以后是0， 则得到﹣5k+1 5 =¿0， ∴k¿ 1 25． 答：当k¿ 1 25时，代数式x6 5 ﹣kx4y3 4 ﹣x6+1 5 x4y3+10 中不含x4y3项． 【变式5-1】（2022 秋•高要区校级月考）如果关于x 的代数式3x4 2 ﹣x3+5x2+kx3+mx2+4x+5 1 7 ﹣x，合并同类项后不含x3和x2项，求mk的值． 【分析】根据多项式不含有的项的系数为零，负数的偶数次幂是正数，可得答． 【解答】解：3x4 2 ﹣x3+5x2+kx3+mx2+4x+5 7 ﹣x＝3x4+（k 2 ﹣）x3+（m+5）x2 3 ﹣x+5， 由合并同类项后不含x3和x2项，得 k 2 ﹣＝0，m+5＝0， 解得k＝2，m＝﹣5． mk＝（﹣5）2＝25． 【变式5-2】（2022 秋•石狮市校级月考）已知x 和y 的多项式x2+2bxy﹣x2 2 ﹣x+2xy+y 合并 后不含二次项，求3 4 ﹣b 的值． 【分析】根据题意关于x，y 的x2+2bxy﹣x2 2 ﹣x+2xy+y 不含二次项，由此可解出，b 的值， 将其代入3 4 ﹣b 即可求解． 【解答】解：x2+2bxy﹣x2 2 ﹣x+2xy+y＝（﹣1）x2+（2b+2）xy 2 ﹣x+y， 又知合并后不含二次项， 故＝1，b＝1， 即3 4 ﹣b＝3 4 ﹣＝﹣1． 【变式5-3】（2022 秋•东台市期中）已知代数式2x2+x﹣y+6 2 ﹣bx2+3x 5 ﹣y 1 ﹣的值与字母 x 的取值无关，求b的值． 【分析】根据题意可得2 2 ﹣b＝0，+3＝0，解出、b 的值，进而可得b的值． 【解答】解：2x2+x﹣y+6 2 ﹣bx2+3x 5 ﹣y 1 ﹣ ＝（2 2 ﹣b）x2+（+3）x 6 ﹣y+5， ∵代数式2x2+x﹣y+6 2 ﹣bx2+3x 5 ﹣y 1 ﹣的值与字母x 的取值无关， 2 2 ∴﹣b＝0，+3＝0， 解得：b＝1，＝﹣3， 则b＝﹣3． 【题型6 与字母取值无关问题】 【例6】（2022 秋•南城县校级月考）若代数式（m 2 ﹣）x2+5y2+3 的值与字母x 的取值无关， 则m2 1 ﹣＝ 3 ． 【分析】根据代数式的值与字母x 的取值无关，得到x2前面的系数m 2 ﹣＝0，求出m 的 值，代入代数式求值即可． 【解答】解：∵代数式的值与字母x 的取值无关， ∴m 2 ﹣＝0， ∴m＝2， ∴m2 1 ﹣＝4 1 ﹣＝3， 1 故答为：3． 【变式6-1】（2018 秋•成都期末）已知多项式6x2+（1 2 ﹣m）x+7m 的值与m 的取值无关， 则x＝ 7 2 ． 【分析】将已知代数式进行整理，令含m 项是系数为零即可求得x 的值． 【解答】解：6x2+（1 2 ﹣m）x+7m＝6x2+x+（7 2 ﹣x）m． 因为 多项式6x2+（1 2 ﹣m）x+7m 的值与m 的取值无关， 所以 7 2 ﹣x＝0． 解得 x¿ 7 2． 故答是：7 2． 【变式6-2】（2022 秋•兰州期末）多项式72 6 ﹣ 3b+32b+32+63b 3 ﹣ 2b 10 ﹣ 2的值（ ） ．与字母，b 都有关 B．只与字母有关 ．只与字母b 有关 D．与字母，b 都无关 【分析】根据合并同类项的运算法则将原式进行化简，从而作出判断． 【解答】解：原式＝72+32 10 ﹣ 2 6 ﹣ 3b+63b+32b 3 ﹣ 2b ＝0， ∴原多项式的值为常数0， ∴原多项式的值与字母，b 都无关， 故选：D． 【变式6-3】（2022 秋•海淀区校级期中）我们知道整式的值与其所含字母的取值有关，若 关于x 的多项式（|| 1 ﹣）x3 2 ﹣x2+6+| 1| ﹣x2 7 ﹣的值与x 无关，请求出的值． 【分析】先把整式合并同类项化简，再根据题意得出关于的等式，进而求出的值． 【解答】解：（|| 1 ﹣）x3 2 ﹣x2+6+| 1| ﹣x2 7 ﹣ ＝（|| 1 ﹣）x3+（| 1| 2 ﹣﹣）x2 1 ﹣， ∵多项式的值与x 无关， || 1 ∴﹣＝0 且| 1| 2 ﹣﹣＝0， 解得：＝1 或﹣1 且＝3 或﹣1， ∴＝﹣1． 【题型7 合并同类项的计算】 【例7】（2022 春•道县期末）合并下列多项式中的同类项． （1）15x+4x 10 ﹣ x； （2）62b+5b2 4 ﹣b2 7 ﹣ 2b； 1 （3）﹣3x2y+2x2y+3xy2 2 ﹣xy2； （4）9﹣m2+22 6 ﹣ 2+3m2+5． 【分析】（1）直接找出同类项，进而合并同类项得出答； （2）直接找出同类项，进而合并同类项得出答； （3）直接找出同类项，进而合并同类项得出答； （4）直接找出同类项，进而合并同类项得出答． 【解答】解：（1）15x+4x 10 ﹣ x＝（15+4 10 ﹣ ）x＝9x； （2）62b+5b2 4 ﹣b2 7 ﹣ 2b ＝62b 7 ﹣ 2b+（5b2 4 ﹣b2） ＝﹣2b+b2； （3）﹣3x2y+2x2y+3xy2 2 ﹣xy2＝﹣x2y+xy2； （4）9﹣m2+22 6 ﹣ 2+3m2+5＝14+2m2 4 ﹣ 2． 【变式7-1】（2022 秋•斗门区期末）化简：4（m+）﹣5（m+）+2（m+）． 【分析】根据合并同类项法则化简即可． 【解答】解：4（m+）﹣5（m+）+2（m+） ＝（4+2 5 ﹣）（m+） ＝m+． 【变式7-2】（2022 秋•萧山区期中）合并同类项： （1）﹣p2﹣p2﹣p2； （2）4x 5 ﹣y+2y 3 ﹣x； （3）3x2 3 ﹣x3 5 ﹣x 4+2 ﹣ x+x2； （4）4（﹣b）2 2 ﹣（﹣b）+5（﹣b）+3（﹣b）2． 【分析】直接合并同类项即可得答． 【解答】解：（1）原式＝（﹣1 1 1 ﹣﹣）p2 ＝﹣3p2； （2）原式＝（4 3 ﹣）x+（﹣5+2）y ＝x 3 ﹣y； （3）原式＝﹣3x3+（3x2+x2）+（﹣5x+2x）﹣4 ＝﹣3x3+4x2 3 ﹣x 4 ﹣； （4）原式＝（4+3）（﹣b）2+（﹣2+5）（﹣b） ＝7（﹣b）2+3（﹣b）． 【变式7-3】（2022 秋•大武口区期中）合并下列各式的同类项： （1）+2b+3 2 ﹣b； 1 （2）