精品解析：湖北省襄阳市第一中学2022-2023学年高一上学期10月月考数学试题（解析版）

第1 页/共20 页 （北京）股份有限公司 襄阳市一中高一年级10 月月考数学试题 考试时长: 120 分钟 试卷满分: 150 分 一、单选题:本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ， .则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据补集与交集的定义进行运算即可. 【详解】 ， ， ， 故选：A. 2. 以下各组两个函数是相同函数的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定函数的定义域是否相同，再确定对应法则是否相同. 【详解】A. 定义域： ， 定义域不同，故不是 同一函数； B. 定义域： ， 定义域：R，定义域不同，故不是同一函数； 第2 页/共20 页 （北京）股份有限公司 定义域相同，对应法则不同，故不是同一函数； D. 定义域：R = 定义域：R，定义域相同，对应法则相同，故是 同一函数. 故选D 【点睛】本题考查函数相同的条件：有相同的定义域、对应法则和值域，在判断两个函数是否相同，只需 要判断有相同的定义域和对应法则，前两条相同的话，值域也就相同了. 3. 对于实数a，b，c，下列命题中正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】B 【解析】 【分析】 代入特殊值再结合不等式的基本性质即可选出正确答案. 【详解】解：当 时， ，则A 不正确；由 知， ，所以 ，B 正确； 若 ，则 ，则C 不正确；若 ，则 ， 故选:B. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法，在 实际操作中，可结合不等式结构合理选择相应的方法进行判断，考查推理能力，属于基础题. 4. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 第3 页/共20 页 （北京）股份有限公司 由函数 的定义域为 ，知 ，可得 ，解不等式即可求解. 【详解】由函数 的定义域为 ，知 ， 所以在函数 中， ，解得： 所以函数 的定义域为 故选：C 【点睛】方法点睛：本题考查求抽象函数的定义域，求抽象函数的定义域的方法： （1）已知 的定义域为 ，求 的定义域：求不等式 的解x 的范围，即为 的定义域； （2）已知 的定义域为 ，求 的定义域：由 确定 的取值范围，即为 的 定义域. （3）已知 的定义域，求 的定义域：先由 的定义域，求得 的定义域，再由 的定义域，求得 的定义域. 5. 若正实数a，b 满足 ，则 的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用“1”的代换，将 转化为 ，利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】由题意得： ， 第4 页/共20 页 （北京）股份有限公司 当且仅当 ，即 时等号成立， 故选：D 6. 函数 的单调递减区间是（ ） A. B. C. [0，2] D. [2，4] 【答案】D 【解析】 【 分析】 先求得 的定义域，根据复合函数同增异减原则，即可求得 的单调递减区间. 【详解】 的定义域为 ，即 ， 设函数 ，为开口向下，对称轴为 的抛物线，且 ， 所以 的单调递减区间为 ， 又函数 在 为单调递增函数， 根据复合函数同增异减原则，可得 的 单调递减区间为 ， 故选：D 7. 已知函数 是定义在R 上的偶函数，且在 上单调递减， ，则不等式 的解 集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 为偶函数，可得 在 上的单调性，将所求 整理为 或 ， 根据 的性质，即可求得答案. 第5 页/共20 页 （北京）股份有限公司 【详解】因为 在R 上的偶函数，且 上单调递减， 所以 在 上单调递增，且 ， 则 等价于 或 ， 根据 的单调性和奇偶性，解得 或 ， 故选：A 8. 将 中的最小数记为min{ }.最大数记为max{ }，则min{max{ }}( )的值为（ ） A. 1 B. 5 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】 在同一坐标系中作出 ， 以及 的图像，利用数形结合即可求解. 【详解】在同一坐标系中作出 ， 以及 的图像， 根据题意可得max{ }（如图实线部分）， 第6 页/共20 页 （北京）股份有限公司 联立 ，解得 ， ， 所以min{max{ }}( )的值为5. 故选：B 二.多选题:本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分. 9. 已知集合 ， ，若 ，则 （ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】 先求出集合 ，根据 可得 ，即可讨论求出 的值. 【详解】可知 ， 第7 页/共20 页 （北京）股份有限公司 ， ， 当 时， 无解， ，满足题意； 当 时， ，又 ，可得 或 ，解得 或 ； 综上， 的可能值为 . 故选：ABC. 【点睛】易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意： 是任何集合的子集， 所以要分集合 和集合 两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题. 10. 下列结论正确的有（ ） A. 函数 的定义城为 B. 函数 的图像与y 轴有且只有一个交点 C. “ ”是“函数 为增函数”的充要条件 D. 若奇函数 在 处有定义，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数 有意义，列出不等式组，可判定A 错误的；根据函数的定义，可 判定B 正确；由一次函数的性质，可判定C 错误；由奇函数的性质，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，函数 有意义，则满足 ， 解得 且 ，所以函数的定义域为 ，所以A 错误； 对于B 中，根据函数的定义，可得函数 的图像与y 轴有且只有一个交点，所以B 正确； 第8 页/共20 页 （北京）股份有限公司 对于C 中，由函数 为增函数，则满足 ，解得 ， 当 时，函数 为增函数，所以C 是错误的； 对于D 中，根据奇函数的性质，可得奇函数 在 处有定义，则 ，所以是正确的. 故选：BD. 11. 下列各结论中正确的是（ ） A. “ ”是“ ” 的 充要条件 B. 函数 的最小值为2 C. 命题“ ， ”的否定是“ ， ” D. 若函数 有负值，则实数a 的取值范围是 或 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据不等式的性质，基本不等式是成立条件，含有一个量词的命题的否定，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A：因为 ，可得 同号，且 ，所以 ，故A 正确； 对于B：由基本不等式得 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立，无解，故B 错误； 对于C：命题“ ， ”的否定是“ ， ”，故C 错误； 对于D： 为开口向上的抛物线，有负值说明判别式 ，所以 ，解得 或 ，故D 正确. 故选：AD 第9 页/共20 页 （北京）股份有限公司 12. 设定义域为 的函数 ，若关于x 的方程 有且仅有三个不同 的实数解 ，且 ，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 画出 的图像，由图像结合条件可得 ，然后可得 ，即可选出答案. 【详解】 的图像如下： 若关于x 的方程 有且仅有三个不同的实数解 ，则 所以 ，由 可解得： 所以 ， 第10 页/共20 页 （北京）股份有限公司 故选：ABD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是准确的画出 的图像，结合图像得到 . 三．填空题:本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 已知 为正实数，且 ，则 的最小值是_____． 【答案】8 【解析】 【分析】由 得 ，则 ，利用基本不等式即可得出答案. 【详解】解：由题意，正实数 且 ，可得 ， 则 ，当且仅当 时，即 时等号成立， 所以 的最小值是8． 故答案为：8． 14. 已知函数 是幂函数，且在x (0 ∈ ，＋∞)上递减，则实数m＝________． 【答案】2 【解析】 【分析】由幂函数的定义可得m2－m－1＝1，得出m＝2 或m＝－1，代入验证即可. 【详解】 是幂函数， 根据幂函数的定义和性质，得m2－m－1＝1． 解得m＝2 或m＝－1， 当m＝2 时，f（x）＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，符合题意； 当m＝－1 时，f（x）＝x0＝1 在(0，＋∞)上不是减函数， 所以m＝2． 故答案为：2 【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查了理解辨析能力和计算能力，属于基础题目. 第11 页/共20 页 （北京）股份有限公司 15. 两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品 的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.则第______种购物方式 比较经济. 【答案】二 【解析】 【分析】 设第一次和第二次购物时价格分别为 ，每次购n ，根据条件，求得按第一种策略购买的平均价格 x，若按第二种策略，设每次花钱m 元钱，则可求得按第二种策略购买的平均价格y，利用作差法，即可比 较x，y 的大小，进而可求得答案. 【详解】设第一次和第二次购物时价格分别为 ， 按第一种策略，每次购n ，按这种策略购物时，两次的平均价格 ， 若按第二种策略，第一次花m 元钱，能购物 物品，第二次仍花m 元钱，能购物 物品， 两次购物的平均价格 ， 比较两次购物的平均价格 ， 因为第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格，所以用第二种购物方式比较经济， 故答案为：二 【点睛】本题考查函数在生产中的 实际应用，解题的关键是读懂题意，求得每种购物策略的平均价格， 再利用作差法比较大小，需要较强的分析能力，属中档题. 16. 函数 ，在定义域 上满足对任意实数 都有 ，则 的取值范围是 ． 第12 页/共20 页 （北京）股份有限公司 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：对任意实数 都有 ，可知函数函数 在R 上单调递 减，所以有 ,解得 ． 考点：由函数单调性求参数范围． 【方法点睛】对于分段函数在全体实数上具有单调性求参数范围的题目（常常是分两段），如 ,解法如下：当函数在全体实数上单调递增（或递减）时，需有Z由 单 调递增（或递减）列出关于参数的不等式；]由 单调递增（或递减）列出关于参数的不等式；^由 （ ）得到参数的不等式；将以上关于参数的三个不等式联立求解即 可． 四.解答题:本题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数 满足 ，且 . （1）求a 和函数 的解析式； （2）判断函数 在 上的单调性（不需证明），并求出函数的最大值与最小值． 【答案】（1） ， ； （2）在 上单调递减，在 上单调递增，最大值为 ，最小值为0. 第13 页/共20 页 （北京）股份有限公司 【解析】 【分析】（1）由 求出 ，得到 ，进而得到 ； （2）先得到 ，从而得到函数的单调性，求出最值. 【小问1 详解】 由题意得： ，解得： ， 所以 ， ； 【小问2 详解】 ， 当 时， ，单调递减， 当 时， ，单调递增， 故函数在 上单调递减，在 上单调递增， 所以函数在 处取得最小值，为0， 又 ， 所以函数在 处取得最大值，为2. 18. 已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a＋5}，B＝{x|x≤－2 或x 5}. （1）若 ，求 ； （2） ；求实数a 的取值范围． 【答案】（1） ， ；（2） 或 . 【解析】 【分析】 （1）直接求 和 ； 第14 页/共20 页 （北京）股份有限公司 （2）对集合 进行分类讨论，分为 和 两种情况讨论分析得解. 【详解】解：（1） ， 所以 ， ， ； （2）若A∩B＝A，得 ； 当 Ø 时， ，得 ； 当 Ø 时， 或 得 或 ，. 综上所述， 或 ， 【点睛】关键点睛：解题的关键在于对集合 进行分类讨论，分为 和 ，然后，列出相应的 不等式方程组，难度属于基础题 19. （1）已知 满足 求 解析式； （2）已知函数 ，当 时，求 的解析式. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 第15 页/共20 页 （北京）股份有限公司 （1）首先用 换 ，构造出 ，再利用解方程组的方法求解函数 的 解析式；（2）先求 时，函数 的值域，再代入求值. 【详解】（1）用 换 ，则 ， 所以 ，解得： ； （2）当 时， ，所以 . 【点睛】本题考查函数解析式的求法，复合函数，属于基础题型. 20. 已知二次函数 ， . （1）求 解析式； （2）若函数 在 上的最小值为 求实数 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题目条件列方程组求函数解析式中的系数. (2)由二次函数图像及性质分类讨论最小值点，求实数 的值. 【小问1 详解】 ，依题意有 ，解得 ， 所以函数的解析式为 . 【小问2 详解】 ，二次函数图像抛物线开口向上，对称轴为 ， 第16 页/共20 页 （北京）股份有限公司 当 时， 在 上单调递增， ，解得 ，不合题意， 舍去， 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， ， 解得 ，由 ， ， ∴实数 的值为 21. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 （1）求m，n 的值；判断函数 的单调性（不需证明）； （2）求使 成立的实数a 的取值范围． 【答案】（1） ， ， 在 上为增函数， （2） ． 【解析】 【分析】（1）根据题意得 ，从而可求出m，n 的值，再判断其单调性， （2）由于 为奇函数，所以将不等式 转化为 ，再由其在 上是增函数，可得 ，从而可求出实数a 的取值范围． 【小问1 详解】 因为函数 是定义在 上的奇函数， 第17 页/共20 页 （北京）股份有限公司 则 ，得 ，解得 ， 经检验 ， 时， 是定义在 上的奇函数， 所以 ， ， 任取 ，且 ，则 ， 因为 ，且 ， 所以 ， ， ， 所以 ， 所以 ， 即 ，所以 在 上为增函数， 【小问2 详解】 由（1）知 在 上是增函数， 又因为 是定义在 上的奇函数， 第18 页/共20 页 （北京）股份有限公司 由 ，得 ， ，即 ，解得 ． 故实数 的取值范围是 ． 22. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”规则如下： 3 ①小时内（含3 小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值E（单位： ）与游玩时间 t（单位：小时）满足关系式： ； 3 ②到5 小时（含5 小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）； ③超过5 小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系 数为50． （1）当 时，写出累积经验值E 与游玩时间t 的函数关系式 ，求出游玩6 小时的累积经验值； （2）该游戏厂商把累积经验值E 与游玩时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记为 ，若 ，且该 游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）分三段求函数的解析式，并根据解析式求 ；（2）由条件写出 时， ，转化为函数 的最小值大于等于0，求 的取值范围. 【详解】（1）当 时， ， ，当 时， , 当 时， 第19 页/共20 页 （北京）股份有限公司 当 时， 所以 ， 当 时， . （2）当 时， ， 整理得： 恒成立， 令 函数的对称轴是 ， 当 时， 取得最小值 ，即 ， 【点睛】关键点点睛：本题属于分段函数应用问题，题干较长，所以第一个关键就是读懂题意，尤其是 时，能正确转化为一次函数，第二个关键就是第二问转化为 的最小值大于等于 0. 第20 页/共20 页 （北京）股份有限公司