2024年高考数学试卷（新课标Ⅱ卷）（空白卷）

1/4 2024 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷） 数学 本试卷共10 页，19 小题，满分150 分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考 证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知 ，则 （ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 2. 已知命题p： ， ；命题q： ， ，则（ ） A. p 和q 都是真命题 B. 和q 都是真命题 1/4 C. p 和 都是真命题 D. 和 都是真命题 3. 已知向量 满足 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 1 4. 某农业研究部门在面积相等的100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并 部分整理下表 亩产量 [900， 950） [950， 1000） [1000， 1050） [1100， 1150） [1150， 1200） 频数 6 12 18 24 10 据表中数据，结论中正确的是（ ） A. 100 块稻田亩产量的中位数小于1050kgB. 100 块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80% 2/4 C. 100 块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间 D. 100 块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间 5. 已知曲线C： （ ），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段 ， 为垂足，则线段 的中点M 的轨迹方程为（ ） A. （ ） B. （ ） C . （ ） D. （ ） 6. 设函数 ， ，当 时，曲线 与 恰有一个 交点，则 （ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 已知正三棱台 的体积为 ， ， ，则 与平面ABC 所成角的正切值为 （ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 设函数 ，若 ，则 的 最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0 分. 9. 对于函数 和 ，下列正确的有（ ） A. 与 有相同零点 B. 与 有相同最大值 2/4 C. 与 有相同的 最小正周期 D. 与 的图像有相同的对称轴 10. 抛物线C： 的准线为l，P 为C 上的动点，过P 作 的一条切线，Q 为切点， 过P 作l 的垂线，垂足为B，则（ ） A. l 与 相切 B. 当P，A，B 三点共线时， C. 当 时， D. 满足 的点 有且仅有2 个 11. 设函数 ，则（ ） 3/4 A . 当 时， 有三个零点 B. 当 时， 是 的极大值点 C. 存在a，b，使得 为曲线 的对称轴 D. 存在a，使得点 为曲线 的对称中心 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 记 为等差数列 的前n 项和，若 ， ，则 ________. 13. 已知 为第一象限角， 为第三象限角， ， ，则 _ ______. 14. 在如图的4×4 方格表中选4 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法， 在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4 个数之和的最大值是________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 15. 记 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 ． （1）求A． （2）若 ， ，求 的周长． 16. 已知函数 ． （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）若 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围． 3/4 17. 如图，平面四边形ABCD 中， ， ， ， ， ，点 E，F 满足 ， ，将 沿EF 对折至 ，使得 4/4 ． （1）证明： ； （2）求面PCD 与面PBF 所成的二面角的正弦值． 18. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名 队员投篮3 次，若3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0 分；若至少投中一次，则该队进入第二阶 段，由该队的另一名队员投篮3 次，每次投中得5 分，未投中得0 分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总 和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相 互独立． （1）若 ， ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的 比赛成绩不少于5 分的概率． （2）假设 ， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 19. 已知双曲线 ，点 在 上， 为常数， ．按照如下方式依次构 造点 ，过 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令 为 关于 轴的对称点， 记 的坐标为 . （1）若 ，求 ； （2）证明：数列 是公比为 的等比数列； （3）设 为 的面积，证明：对任意的正整数 ， .