P-PB 最大值模型 一、方法突破： 1．口诀：同侧差最大 2．图形：如图 1 所示，、B 为定点，P 为 l 上一动点，试求 的最大值与最小值． 解析 1：“最大值” ① 两边只差小于第三边， ≤B，当 、B、P 三点共线时，取等号 ② 所以连接 B 并延长与 l 的交点即为所求点 解析 2：“最小值” ① 绝对值具有非负性 ≥0，当 P＝PB 时成立 的坐标； （2）若点P 是x 轴上任意一点，求证：P﹣PB≤B； （3）当P﹣PB 最大时，求点P 的坐标． 【分析】（1）把抛物线解析式的一般式写成顶点式，可求顶点坐标，令x＝0，y＝2， 可得B 点坐标； （2）当、B、P 三点共线时，P﹣PB＝B，当三点不共线时，根据“三角形的两边之差 小于第三边”可证结论； （3）通过分析可知，P﹣PB 最大时，、B、P 三点共线，求直线B 解析式，令y＝0， （x+2）2+3 ∴（﹣2，3） （2）证明：当点P 是B 的延长线与x 轴交点时， P﹣PB＝B． 当点P 在x 轴上又异于B 的延长线与x 轴的交点时， 在点P、、B 构成的三角形中，P﹣PB＜B． 综合上述：P﹣PB≤B （3）解：作直线B 交x 轴于点P，由（2）可知：当P﹣PB 最大时，点P 是所求的点 作⊥P 于． ∵B⊥P， ∴△BP∽△P ∴ 由（1）可知：＝3、＝2、B＝2，

因为像奔驰车标 ，所以叫奔驰模型 R【结论】如图 ,等边△B，P=3，PB=4，P=5， 则①∠PB=150º， ②S△B＝ ❑ √3 4 B2＝25 ❑ √3+36 4 R 关键：旋转可以让线段动起来 各种旋法： 模型介绍 R 超酷炫又实用：S= 内的一点，且P＝1，PB＝PD＝ ，则∠PB 的度 数为 105° ． 解：如图，将△PB 绕点逆时针旋转90°得到△DE，连接EP， ∴△PB≌△ED， ∴E＝P＝1，PB＝DE＝ ，∠PE＝90°，∠ED＝∠PB， ∴PE＝ E＝ ，∠EP＝∠PE＝45°， ∴DE＝DP＝PE＝ ， ∴△DEP 是等边三角形， ∴∠DEP＝60°， ∴∠ED＝105°＝∠PB， 故答为：105°． 绕点顺时针旋转60°得到线段Q，连接BQ． 若P＝6，PB＝8，P＝10，则四边形PBQ 的面积为（ ） ．24+9 B．48+9 ．24+18 D．48+18 解：连接PQ，如图， ∵△B 为等边三角形， ∴B＝，∠B＝60°， ∵线段P 绕点顺时针旋转60°得到线段Q， ∴Q＝P，∠PQ＝60°， ∴△PQ 为等边三角形， ∴PQ＝P＝6， ∵∠PQ﹣∠PB＝∠B﹣∠PB， ∴∠P＝∠BQ， 在△P

因为像奔驰车标 ，所以叫奔驰模型 R【结论】如图 ,等边△B，P=3，PB=4，P=5， 则①∠PB=150º， ②S△B＝ ❑ √3 4 B2＝25 ❑ √3+36 4 R 关键：旋转可以让线段动起来 各种旋法： 模型介绍 R 超酷炫又实用：S= 内的一点，且P＝1，PB＝PD＝ ，则∠PB 的度 数为 105° ． 解：如图，将△PB 绕点逆时针旋转90°得到△DE，连接EP， ∴△PB≌△ED， ∴E＝P＝1，PB＝DE＝ ，∠PE＝90°，∠ED＝∠PB， ∴PE＝ E＝ ，∠EP＝∠PE＝45°， ∴DE＝DP＝PE＝ ， ∴△DEP 是等边三角形， ∴∠DEP＝60°， ∴∠ED＝105°＝∠PB， 故答为：105°． 绕点顺时针旋转60°得到线段Q，连接BQ． 若P＝6，PB＝8，P＝10，则四边形PBQ 的面积为（ ） ．24+9 B．48+9 ．24+18 D．48+18 解：连接PQ，如图， ∵△B 为等边三角形， ∴B＝，∠B＝60°， ∵线段P 绕点顺时针旋转60°得到线段Q， ∴Q＝P，∠PQ＝60°， ∴△PQ 为等边三角形， ∴PQ＝P＝6， ∵∠PQ﹣∠PB＝∠B﹣∠PB， ∴∠P＝∠BQ， 在△P

因为像奔驰车标 ，所以叫奔驰模型 【结论】如图 ,等边△B，P=3，PB=4，P=5， 则①∠PB=150º， ②S△B＝ ❑ √3 4 B2＝25 ❑ √3+36 4 关键：旋转可以让线段动起来 各种旋法： 模型介绍 超酷炫又实用：S= 是正方形BD 内的一点，且P＝1，PB＝PD＝ ，则∠PB 的度 数为 ． 例题精讲 1．如图，点是等边三角形B 内一点，＝2，B＝1，＝ ，则△B 与△B 的面积之和为（ ） ． B． ． D． 2．如图，P 是等边三角形B 内一点，将线段P 绕点顺时针旋转60°得到线段Q，连接BQ． 若P＝6，PB＝8，P＝10，则四边形PBQ P 是△B 内一点，连接 P，PB，P 若 P=6，PB=8，P=10，则菱形 BD 的面积等于 5．如图，点P 是正方形BD 内一点，若 ， ，P＝1，则∠BP＝ ． 6．已知P 是等边△B 内一点，若P＝3，PB＝5，P＝4，则△B 的面积＝ ． 7．如图，P 是等边三角形B 内一点，将线段P 绕点顺时针旋转60°得到线段Q，连接BQ． 若P＝6，PB＝8，P＝10，则四边形PBQ

因为像奔驰车标 ，所以叫奔驰模型 【结论】如图 ,等边△B，P=3，PB=4，P=5， 则①∠PB=150º， ②S△B＝ ❑ √3 4 B2＝25 ❑ √3+36 4 关键：旋转可以让线段动起来 各种旋法： 模型介绍 超酷炫又实用：S= 是正方形BD 内的一点，且P＝1，PB＝PD＝ ，则∠PB 的度 数为 ． 例题精讲 1．如图，点是等边三角形B 内一点，＝2，B＝1，＝ ，则△B 与△B 的面积之和为（ ） ． B． ． D． 2．如图，P 是等边三角形B 内一点，将线段P 绕点顺时针旋转60°得到线段Q，连接BQ． 若P＝6，PB＝8，P＝10，则四边形PBQ P 是△B 内一点，连接 P，PB，P 若 P=6，PB=8，P=10，则菱形 BD 的面积等于 5．如图，点P 是正方形BD 内一点，若 ， ，P＝1，则∠BP＝ ． 6．已知P 是等边△B 内一点，若P＝3，PB＝5，P＝4，则△B 的面积＝ ． 7．如图，P 是等边三角形B 内一点，将线段P 绕点顺时针旋转60°得到线段Q，连接BQ． 若P＝6，PB＝8，P＝10，则四边形PBQ

【变式1-1】．如图，P 是边长为2 的等边△B 内的一点，求 P+PB+ P 的最小值． 解：如图， 将△BP 扩大 倍，并绕点B 逆时针旋转90°至△EBD，连接PD，E，作EF⊥B 于F， ∵△EBD∽△BP， ∴ ， ∴BE＝ B＝2 ，BD＝ PB，DE＝ P， ∴PD＝ ＝2PB， ∴当、P、D、E 共线时，P+PD+DE 最小，即：P+2PB+ P 最小为E， 在Rt△BEF 中，BE＝2 90° 60° ﹣ ﹣ ＝30°， ∴EF＝ ，BF＝2 •s30°＝2 ＝3， 在Rt△EF 中，EF＝ ，F＝BF+B＝3+2＝5， ∴E＝ ＝ ＝2 ， ∵ P+PB+ P＝ （ +2PB+P）， ∴（ P+PB+ P）最小＝ E＝ ． 【变式1-2】．已知：＝4，B＝6，∠B＝60°，P 为△B 内一点，求BP+2P+ P 的最小值． 解：如图 将△P 绕点逆时针旋转90°，并使各边扩大 是正方形内部一点，求P+2PB+ P 的最小值． 解：延长D 到，使得＝2B＝8，则B＝4 ，在∠B 的内部作射线B，使得∠PB＝∠B，使得B＝ BP， 连接P，，． ∵∠PB＝∠B， ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴△BP∽△B， ∴∠BP＝∠B＝90°， ∴P＝ ＝ ＝2PB， ∵∠PB＝∠B， ＝ ， ∴△PB∽△B， ∴ ＝ ＝ ， ∴＝ P ∴P+2PB+ P＝P+P+， ∵P+P+≥，

【变式1-1】．如图，P 是边长为2 的等边△B 内的一点，求 P+PB+ P 的最小值． 解：如图， 将△BP 扩大 倍，并绕点B 逆时针旋转90°至△EBD，连接PD，E，作EF⊥B 于F， ∵△EBD∽△BP， ∴ ， ∴BE＝ B＝2 ，BD＝ PB，DE＝ P， ∴PD＝ ＝2PB， ∴当、P、D、E 共线时，P+PD+DE 最小，即：P+2PB+ P 最小为E， 在Rt△BEF 中，BE＝2 90° 60° ﹣ ﹣ ＝30°， ∴EF＝ ，BF＝2 •s30°＝2 ＝3， 在Rt△EF 中，EF＝ ，F＝BF+B＝3+2＝5， ∴E＝ ＝ ＝2 ， ∵ P+PB+ P＝ （ +2PB+P）， ∴（ P+PB+ P）最小＝ E＝ ． 【变式1-2】．已知：＝4，B＝6，∠B＝60°，P 为△B 内一点，求BP+2P+ P 的最小值． 解：如图 将△P 绕点逆时针旋转90°，并使各边扩大 是正方形内部一点，求P+2PB+ P 的最小值． 解：延长D 到，使得＝2B＝8，则B＝4 ，在∠B 的内部作射线B，使得∠PB＝∠B，使得B＝ BP， 连接P，，． ∵∠PB＝∠B， ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴△BP∽△B， ∴∠BP＝∠B＝90°， ∴P＝ ＝ ＝2PB， ∵∠PB＝∠B， ＝ ， ∴△PB∽△B， ∴ ＝ ＝ ， ∴＝ P ∴P+2PB+ P＝P+P+， ∵P+P+≥，

背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知、B 两点，点P 满足P： PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊 数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆” A B P O 模型建立：当点P 在一个以为圆心，r 为半径的圆上运动时，如图所示： 易证：△BP∽△P， ，∴对于圆上任意一点P 都有 对于任意一个圆，任意一个k 的值，我 分别是边B、的中点，点P 是以为圆心、以E 为半径的圆弧上的动点， ∴ ， ∵P＝2，Q＝1， ∴ ， ∵∠PQ＝∠BP， ∴△PQ∽△BP， ∴PQ＝ PB， ∴ PB+P＝P+PQ≥Q， 在Rt△Q 中，＝4，Q＝1， ∴Q＝ ＝ ＝ ．， ∴ PB+P 的最小值 ．， 故答为： ． 【变式1-3】．如图，在直角坐标系中，以原点为圆心作半径为4 的圆交x 轴正半轴于点， 点M 的坐标为（6，3），点的坐标为（8，0），点P 【变式2-3】．如图，等边△B 的边长6，内切圆记为⊙，P 是⊙上一动点，则2PB+P 的最 小值为 3 ． 解：如图，连接交⊙于点D，取D 的中点F，作E⊥B 于E，FG⊥B 于G， ∴ ＝ ＝ ， ∵∠FP＝∠P， ∴△PF∽△P， ∴P＝2PF， 2 ∴PB+P＝2（ P+PB）＝2（PB+PF）， ∵PB+PF≥BF， ∴PB+PF 的最小值为BF， ∵B＝6，∠E＝30°，

背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知、B 两点，点P 满足P： PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊 数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆” A B P O 模型建立：当点P 在一个以为圆心，r 为半径的圆上运动时，如图所示： 易证：△BP∽△P， ，∴对于圆上任意一点P 都有 对于任意一个圆，任意一个k 的值，我 分别是边B、的中点，点P 是以为圆心、以E 为半径的圆弧上的动点， ∴ ， ∵P＝2，Q＝1， ∴ ， ∵∠PQ＝∠BP， ∴△PQ∽△BP， ∴PQ＝ PB， ∴ PB+P＝P+PQ≥Q， 在Rt△Q 中，＝4，Q＝1， ∴Q＝ ＝ ＝ ．， ∴ PB+P 的最小值 ．， 故答为： ． 【变式1-3】．如图，在直角坐标系中，以原点为圆心作半径为4 的圆交x 轴正半轴于点， 点M 的坐标为（6，3），点的坐标为（8，0），点P 【变式2-3】．如图，等边△B 的边长6，内切圆记为⊙，P 是⊙上一动点，则2PB+P 的最 小值为 3 ． 解：如图，连接交⊙于点D，取D 的中点F，作E⊥B 于E，FG⊥B 于G， ∴ ＝ ＝ ， ∵∠FP＝∠P， ∴△PF∽△P， ∴P＝2PF， 2 ∴PB+P＝2（ P+PB）＝2（PB+PF）， ∵PB+PF≥BF， ∴PB+PF 的最小值为BF， ∵B＝6，∠E＝30°，

切圆于点，B、为圆的弦，则有∠P＝∠PB（∠P 为弦切角）． 2、相交弦定理 【结论1】如图 ，⊙中，弦B、D 相交于点P，半径为r,则 ①P·BP＝P·DP, ②P·BP＝P·DP＝r2－P2 3、切割线定理 【结论2】如图 ，PB 是⊙的一条割线，P 是⊙的一条切线，切点为， 半径为r,则①P2＝PB·P，②P2＝PB·P＝P2－r2 4、割线定理 【结论3】如图 ，PB、PD 是⊙的两条割线，半径为r,则 ①P·PB＝P·PD ②P·PB＝P·PD＝P2－r2 R 口诀：从两线交点处引出的共线线段的乘积相等 考点一：相交弦定理 【例1】．已知：如图弦B 经过⊙的半径的中点P，且P＝2，PB＝3，则是⊙的半径等于（ ） ∵⊥BD，E⊥，BG⊥E， ∴四边形FBG 为矩形， ∴BG＝F＝2k，G＝BF＝4k， ∴EG＝E+G＝ k， ∴BE＝ ＝ k， ∴ ＝ ， 故答为： ． 考点二：弦切角定理 【例2】．如图，割线PB 过圆心，PD 切⊙于D，是 上一点，∠PD＝20°，则∠的度数是 110 度． 解：连接BD，则∠BD＝90°， ∵PD 切⊙于点D， ∴∠BD＝∠PD＝20°， ∴∠DB＝90°﹣∠BD＝90°