2025 年江苏省宿迁市沭阳县马厂镇苏教版小学二年级英语下学期期 末考试卷含答案 一、单项选择题（共10 题，每题2 分） 1. What color is a banana? A. red B. yellow C. green D. blue 2. What animal can meow? A. dog B. cat C. bird D. fish 3. — How

费马点求最小值 内容导航 方法点拨 P Q E A B C Q P A B C E △P≌△QE，且△PQ 为等边三角形， ∴P=QE，P=PQ ∴P+BP+P=BP+PQ+QE 当B、P、Q、E 共线时，P+BP+P 和最小 例题演练 题组 1 ：费马点在三角形中运用 例1．如图，在△B 中，P ∵R∥′T∥M，′＝R′， ∴TM＝T， ∴′T＝ ＝ ， ∴BT＝ ＝3， ∴′＝ ＝ ， ∴′﹣E′＝ ﹣ ＝ ． ∴QP+QB+Q 的最小值为 ． 题组 2 ：费马点在四边形中运用 例2．如图，P 为正方形BD 内的动点，若B＝2，则P+PB+P 的最小值为 ． 【解答】解：将△BP 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BP''， 连接′、BB′、E，它们的交点即为m 最小时，P 点的位置（即费马点）； ∵＝B′，∠B′B＝∠E＝150°，B＝E， ∴△E≌△B′B； ∴∠B′B＝∠E； ∵∠BP＝∠EP′，而∠BE＝60°， ∴∠PP'＝60°， ∴△PP′为等边三角形， ∴P＝PP′， ∴P+PB+P＝P+P′+P′E＝E； 即m 最小＝E＝ ； 如图；作正△BE 的外接圆⊙Q， 根据费马点的性质知∠BP＝120°，则∠PB+

对于费马点问题，大家已经见得比较多了，相信都能熟练解决，如果所求最值中三条线 段 的系数有不为1 的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，费马点问题属于权为1 的特 殊 情况 加权费马点问题解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择 不 同的旋转或放缩方法 【类型一 单系数类】 当只有一条线段带有不为1 的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，一种是旋转特 特 殊 角度，一种是旋转放缩 【类型二 多系数类】 其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的 经过尝试，我们会发现，以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的， 对 于给定的系数，我们该如何选取旋转中心呢？ 我们总结了以下方法： 1 将最小系数提到括号外； 2 中间大小的系数确定放缩比例； 模型介绍 3 最大系数确定旋转中心（例如最大系数在P 则对于点T（x，x），（0，1）， ， ， ， ， 可知y＝T+TB+T．容易验证△B 是中心为（0，0）、边长为 的等边三角形． 根据费马点原理，当T 在点处时、T+TB+T 有最小值，ym＝3． 3．已知：等腰Rt△B 中，∠B＝90°，＝B＝1，D 是△B 的费马点（∠D＝∠BD＝∠DB＝120°），求D+BD+D 的值． 解：如图 以B 为边作等边△BE，连接DE， ∴E＝B，∠EB＝∠BE＝BE＝60°，

旋转 模型（三十四）——费马点模型 费马点：到一个三角形三个顶点距离之和最小的点，称为三角形的费马点 当P+PB+P 取最小值时，点P 叫三角形的费马点 ◎结论：如图,△B 的三个内角均不大于120°，点P 在形内， 当∠BP＝∠P＝∠P＝120 时，P+PB+P 的值最小 【证明】如图，将△BP 绕点B 逆时针旋转 60°，得到△1BP1， 连接 ＝120º， ∠PB ∵ ＝∠1P1B，∠BP1P＝60º， ∠PB ∴ ＝180º－60º＝120º 则∠P＝360º－120º－120º＝120º， 故∠BP＝∠P＝∠P＝120º 费马点作法： 分别以、B、B 为边作等边△D、△BE、△BF,连接F,BD,E, 由手拉手可得△E △DB ≌ ，△BE △FB, ≌ E ∴＝BD，E＝F， E ∴＝BD＝F ∴当B、P、F、D 四点共线时， 的值最小，最小值为BD 的长； ∵ ，∠D= ， ∴∠ED= ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的值最小值为 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将△P 绕点顺时针旋转 得△DF，将三条线段的长转化到一条直 线上． 2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，四边形 是菱形， B=6，且∠B=60° ，M 是菱形内任一点，连接

费马点问题思考： 如何找一点P 使它到△B 三个顶点的距离之和P+PB+P 最小？ ，当B、P、Q、E 四点共线时取 得最小值 费马点的定义：数学上称，到三角形3 个顶点距离之和最小的点为费马点。 它是这样确定的： 1 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点； 2 如果3 个内角均小于120°，则在三角形内部对3 边张角均为120°的点，是三角形的费马 边张角均为120°的点，是三角形的费马 点。 费马点的性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120° 费马点最小值快速求解： 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题 的方法是运用旋转变换． R 秘诀：以△ B 任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值 模型探究 【例1】．已知，在△B 中，∠B＝30° 的取值范围为 【变式1-2】．已知点P 是△B 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫 △B 的费马点（Fermtpt）．已经证明：在三个内角均小于120°的△B 中，当∠PB＝∠P＝ ∠BP＝120°时，P 就是△B 的费马点．若点P 是腰长为 的等腰直角三角形DEF 的费马 点，则PD+PE+PF＝ +1 ． 解：如图：等腰Rt△DEF 中，DE＝DF＝ ， 过点D

对于费马点问题，大家已经见得比较多了，相信都能熟练解决，如果所求最值中三条线 段 的系数有不为1 的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，费马点问题属于权为1 的特 殊 情况 加权费马点问题解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择 不 同的旋转或放缩方法 【类型一 单系数类】 当只有一条线段带有不为1 的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，一种是旋转特 特 殊 角度，一种是旋转放缩 【类型二 多系数类】 其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的 经过尝试，我们会发现，以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的， 对 于给定的系数，我们该如何选取旋转中心呢？ 我们总结了以下方法： 1 将最小系数提到括号外； 2 中间大小的系数确定放缩比例； 模型介绍 3 最大系数确定旋转中心（例如最大系数在P 则对于点T（x，x），（0，1）， ， ， ， ， 可知y＝T+TB+T．容易验证△B 是中心为（0，0）、边长为 的等边三角形． 根据费马点原理，当T 在点处时、T+TB+T 有最小值，ym＝3． 3．已知：等腰Rt△B 中，∠B＝90°，＝B＝1，D 是△B 的费马点（∠D＝∠BD＝∠DB＝120°），求D+BD+D 的值． 解：如图 以B 为边作等边△BE，连接DE， ∴E＝B，∠EB＝∠BE＝BE＝60°，

旋转 模型（三十四）——费马点模型 费马点：到一个三角形三个顶点距离之和最小的点，称为三角形的费马点 当P+PB+P 取最小值时，点P 叫三角形的费马点 ◎结论：如图,△B 的三个内角均不大于120°，点P 在形内， 当∠BP＝∠P＝∠P＝120 时，P+PB+P 的值最小 【证明】如图，将△BP 绕点B 逆时针旋转 60°，得到△1BP1， 连接 ＝120º， ∠PB ∵ ＝∠1P1B，∠BP1P＝60º， ∠PB ∴ ＝180º－60º＝120º 则∠P＝360º－120º－120º＝120º， 故∠BP＝∠P＝∠P＝120º 费马点作法： 分别以、B、B 为边作等边△D、△BE、△BF,连接F,BD,E, 由手拉手可得△E △DB ≌ ，△BE △FB, ≌ E ∴＝BD，E＝F， E ∴＝BD＝F 世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马， 提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”． 如图，点 是 内的一点，将 绕点 逆时针旋转60°到 ，则可以构造出等边 ，得 ， ，所以 的值转化为 的值，当 ， ， ， 四点共线时，线段 的长为所求的最小值，即点 为 的“费马点”． (1)【拓展应用】 如图1，点 是等边 内的一点，连接

费马点中的对称模型与最值问题 【专题说明】 利用轴对称的性质，把三线段问题通过做对称转化为两点之间线段最短的问题进而解题。 【精典例题】 1、如图，在△B 中，∠B=90°，B==1，P 是△B 内一点，求P+PB+P 的最小值． A B C P 【分析】如图，以D 为边构造等边△D，连接BD，BD 的长即为P+PB+P 的最小值． 至于点P 的位置？这不重要！ A B C

费马点问题思考： 如何找一点P 使它到△B 三个顶点的距离之和P+PB+P 最小？ ，当B、P、Q、E 四点共线时取 得最小值 费马点的定义：数学上称，到三角形3 个顶点距离之和最小的点为费马点。 它是这样确定的： 1 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点； 2 如果3 个内角均小于120°，则在三角形内部对3 边张角均为120°的点，是三角形的费马 边张角均为120°的点，是三角形的费马 点。 费马点的性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120° 费马点最小值快速求解： 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题 的方法是运用旋转变换． R 秘诀：以△ B 任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值 模型探究 【例1】．已知，在△B 中，∠B＝30° 的取值范围为 【变式1-2】．已知点P 是△B 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫 △B 的费马点（Fermtpt）．已经证明：在三个内角均小于120°的△B 中，当∠PB＝∠P＝ ∠BP＝120°时，P 就是△B 的费马点．若点P 是腰长为 的等腰直角三角形DEF 的费马 点，则PD+PE+PF＝ +1 ． 解：如图：等腰Rt△DEF 中，DE＝DF＝ ， 过点D

费马点问题思考： 如何找一点P 使它到△B 三个顶点的距离之和P+PB+P 最小？ ，当B、P、Q、E 四点共线时取 得最小值 费马点的定义：数学上称，到三角形3 个顶点距离之和最小的点为费马点。 它是这样确定的： 1 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点； 2 如果3 个内角均小于120°，则在三角形内部对3 边张角均为120°的点，是三角形的费马 边张角均为120°的点，是三角形的费马 点。 费马点的性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120° 费马点最小值快速求解： 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题 的方法是运用旋转变换． R 秘诀：以△ B 任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值 模型探究 【例1】．已知，在△B 中，∠B＝30° 【变式1-2】．已知点P 是△B 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫 △B 的费马点（Fermtpt）．已经证明：在三个内角均小于120°的△B 中，当∠PB＝∠P＝ ∠BP＝120°时，P 就是△B 的费马点．若点P 是腰长为 的等腰直角三角形DEF 的费马 点，则PD+PE+PF＝ ． 例题精讲 【变式1-3】．如图，P 为正方形BD 对角线BD 上一动点，若B＝2，则P+BP+P