铅垂法求三角形面积最值问题 知识导航 求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、 等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面 积的方法——铅垂法． 【问题描述】在平面直角坐标系中，已知 、 、 ，求△B 的面积． A B C x y O 【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比 轴的垂线与B 交点为D，线段D 即为B 边的“铅垂高”． 如图可得： 铅 垂 高 水平宽 D A B C x y O E 【解题步骤】 （1）求、B 两点水平距离，即水平宽； （2）过点作x 轴垂线与B 交于点D，可得点D 横坐标同点； （3）求直线B 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； （4）根据、D 坐标求得铅垂高； （5）利用公式求得三角形面积． 【思考】如果第3 个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？ 铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对 应的铅垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似： 【铅垂法大全】 （1）取B 作水平宽，过点作铅垂高D． 水平宽 铅 垂 高D O y x C B A （2）取作水平宽，过点B 作BD⊥x 轴交直线于点D，BD 即对应的铅垂高， D 铅 垂 高 水平宽 A B

相交线与平行线 模型（四）——铅笔头模型 ◎结论1：如图所示，B∥D，则∠B+∠B+∠=360° 【证明】如图，过点 作 E//B B∥D, E//B//D ∵ ∠B+∠1=180°,∠+∠2=180°, ∴ ∠B+∠1+∠2+∠=360° ∴ ，∴∠B＋∠B+∠=360° ◎结论2：如图所示，∠B+∠B+∠=360°，则B∥D D 【证明】如图，过点 作EF//B， 则∠B＋∠1=180°，∵∠B+∠B+∠=360°, ∴∠+∠2=180°,∴EF∥D，又∵EF//B，∴B//D “异形”铅笔头：拐点数,∠++∠=180°×（+1） 拐点数：1 拐点数：2 拐点数： 1．（2022·全国·七年级）如图，已知 ， ， ，则 的度数是（ ） ．80° B．120°

相交线与平行线 模型（四）——铅笔头模型 ◎结论1：如图所示，B∥D，则∠B+∠B+∠=360° 【证明】如图，过点 作 E//B B∥D, E//B//D ∵ ∠B+∠1=180°,∠+∠2=180°, ∴ ∠B+∠1+∠2+∠=360° ∴ ，∴∠B＋∠B+∠=360° ◎结论2：如图所示，∠B+∠B+∠=360°，则B∥D D 【证明】如图，过点 作EF//B， 则∠B＋∠1=180°，∵∠B+∠B+∠=360°, ∴∠+∠2=180°,∴EF∥D，又∵EF//B，∴B//D “异形”铅笔头：拐点数,∠++∠=180°×（+1） 拐点数：1 拐点数：2 拐点数： 1．（2022·全国·七年级）如图，已知 ， ， ，则 的度数是（ ） ．80°

重难点突破06 相交线与平行线的5 种模型 （三线八角、铅笔头、锯齿型、翘脚、三角板拼接模型） 目 录 题型01 三线八角模型 题型02 铅笔头模型 题型03 锯齿型模型 题型04 翘脚模型 题型05 三角板拼接模型 题型01 三线八角模型 模型介绍：三条直线相交组成八个角，去讨论它们之间的关系 已知 图示 结论（性质） 直线B、D 被直线EF 所截，且B 与D 30° ﹣ ＝60°， ∵m∥， 2 ∴∠＝180°﹣∠B＝120°． 故选：． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质等知识，解题的关键是求出∠B 的度数． 题型02 铅笔头模型 已知 图示 结论（性质） 证明方法 B∥DE ∠B+∠+∠E = 360° 遇拐点做平行 线（方法不唯 一） B∥DE ∠B+∠M+∠+∠E= 540° ∥b ∠1+∠2++∠-1+∠=180°×

重难点突破06 相交线与平行线的5 种模型 （三线八角、铅笔头、锯齿型、翘脚、三角板拼接模型） 目 录 题型01 三线八角模型 题型02 铅笔头模型 题型03 锯齿型模型 题型04 翘脚模型 题型05 三角板拼接模型 题型01 三线八角模型 模型介绍：三条直线相交组成八个角，去讨论它们之间的关系 已知 图示 结论（性质） 直线B、D 被直线EF 所截，且B 与D ．130° D．150° 变式3（2022·辽宁·统考中考真题）如图，直线m∥，⊥B 于点，∠1＝30°，则∠2 的度数为（ ） ．140° B．130° ．120° D．110° 题型02 铅笔头模型 已知 图示 结论（性质） 证明方法 B∥DE ∠B+∠+∠E = 360° 遇拐点做平行 线（方法不唯 一） B∥DE ∠B+∠M+∠+∠E= 540° ∥b ∠1+∠2++∠-1+∠=180°×

4. 老师在上课时，为了演示平抛运动将一粉笔头（视为质点）水平抛出，粉笔头正好垂直击中一倾斜木板， 已知木板与水平方向的夹角为 ，粉笔头的抛出点到落点的水平距离为1.2m，取重力加速度大小 ， ， 。下列说法正确的是（ ） A. 粉笔头的初速度大小为3m/s B. 粉笔头下落的高度为1m C. 粉笔头击中木板时的速度大小为7m/s D. 粉笔头下落过程中的位移大小为2.08m 5. 解析：由 ，可知相同的角速度下，半径越大线速度越大，选项C 正确。 4. A 解析：由平抛运动规律可知 ，由粉笔头击中木板的方向可知 ，解得 ， ， 选项A 正确；粉笔头下落的高度 ，选项B 错误；粉笔头在竖直方向上的分速度大小 ，粉笔头击中木板时的速度大小 ，选项C 错误；粉笔头下落过程中的 位移大小 ，选项D 错误。 5. C 解析：由水平方向分速度相等，可知 ， ， ， ，解得

发生氧化还原反应的是 A. 竹管、动物尾毫→湖笔 B. 松木→油烟→徽墨 C. 楮树皮→纸浆纤维→宣纸 D. 端石→端砚 【答案】B 【解析】 【详解】A．湖笔，以竹管为笔杆，以动物尾毫为笔头制成，不涉及氧化还原反应，A 不符合题意； B．松木中的C 元素主要以有机物的形式存在，徽墨主要为C 单质，存在元素化合价的变化，属于氧化还 原反应，B 符合题意； C．宣纸，以楮树皮为原料， 发生氧化反应生成CH3COOH，应在有氧条件下进行，D 项错误； 答案选D。 8/22 12. 由下列事实或现象能得出相应结论的是 事实或现象 结论 A 向酸性 溶液中加入草酸，紫色褪去 草酸具有还原性 B 铅蓄电池使用过程中两电极的 质量均增加 电池发生了放电反应 C 向等物质的量浓度的 ， 混合溶液中滴加 溶液，先生成 白色沉淀 D 为基元反应，将盛有 的密闭烧瓶浸入冷 水，红棕色变浅 正反应活化能大于逆反应活化能 A B. B C. C D. D 【答案】AB 【解析】 【详解】A．向酸性KMnO4溶液中加入草酸，紫色褪去说明KMnO4被还原成无色Mn2+，则草酸具有还原 性，A 项符合题意； B．铅蓄电池放电时正极反应为PbO2+2e-+ +4H+=PbSO4+2H2O、负极反应为Pb-2e-+ =PbSO4，正 负极质量都增加，充电时阳极反应为PbSO4+2H2O-2e-= PbO2+ +4H+、阴极反应为PbSO4+2e-=

的速度竖直向上扔出一粉笔头，若粉笔头运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比， 粉笔头运动的速率随时间变化的规律如图所示，t1 时刻到达最高点，再落回地面，落地速率为 v1，下 列说法中正确的是( ) A．粉笔头上升过程中的平均速度大于 𝑣0 2 B．粉笔头下降过程中的平均速度小于 𝑣1 2 C．粉笔头扔时的加速度值最大，到达最高点的加速度值为 0 D．粉笔头的加速度在上

1、如图所示，一张百元新钞票好像被一支笔“戳通”了．实际上这张新钞票依然完好无损，这里应用了 磁现象的有关知识．原来，这支笔的笔杆（纸币的下方）与笔头（纸币的上方）可以互相分离，笔杆与笔 头相连的一端内部装有小磁铁，则笔头内的材料可能含有_____（选填“铜”、“铁”或“塑料”）．若 想探究笔头内材料是否有磁性，现提供下列器材：①小磁针、②大头针、③碎纸屑，其中可用来完成探究 任务的有____（填序号）． 2、最 所示，其依据是( ) 磁体的吸铁性 B 带电体能够吸引轻小物体 电荷间的相互作用规律 D 磁极间的相互作用规律 参考答 1、答：铁；①② 解析：磁铁能够吸引铁，不能吸引铜和塑料，所以说笔头内的材料可能含有铁； 如果有磁性，那么小磁针靠近时会发生转动；大头针是铁材料做成的，能够被磁体吸引；而磁性物质对碎 纸屑不起作用，故应选①②． 2、答：S； 解析：人们规定磁体静止时指北的一

端缓慢移动的过程中（ ） A．电流表A1 示数减小 B．电流表A2 示数增大 C．原线圈输入功率先增大后减小 D．定值电阻R 消耗的功率逐渐减小 13．如图甲所示，条形码扫描笔的原理是扫描笔头在条形码上匀速移动时，遇到黑色线条，发光 二极管发出的光线将被吸收，光敏三极管接收不到反射光，呈高阻抗；遇到白色间隔，光线被反 射到光敏三极管，三极管呈低阻抗。光敏三极管将条形码变成一个个电脉冲信号，信号经信号处 其中R 为光敏三极管的等效 电阻， 0 R 为定值电阻，下列判断正确的是（ ） A．扫描速度对信号处理系统接收到的电压信号有影响 B．扫描笔头外壳出现破损时仍然能正常工作 C．当扫描笔头在黑色线条上移动时，信号处理系统获得高电压 D．当扫描笔头在白色间隔上移动时，信号处理系统获得高电压 A1 A2 第4 页共6 页 14．如图所示，固定在水平面上的半径为r 的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为