费马点求最小值 内容导航 方法点拨 P Q E A B C Q P A B C E △P≌△QE，且△PQ 为等边三角形， ∴P=QE，P=PQ ∴P+BP+P=BP+PQ+QE 当B、P、Q、E 共线时，P+BP+P 和最小 例题演练 题组 1 ：费马点在三角形中运用 例1．如图，在△B 中，P 中，P 为平面内一点，连结P，PB，P，分别以P 和为一边向右作等边三角形 △PM 和△D． 【探究】求证：PM＝P，MD＝P 【应用】若B＝，＝b，∠B＝60°，则P+PB+P 的最小值是 （用，b 表示） 【解答】【探究】证明：∵以P 和为一边向右作等边三角形△PM 和△D， ∴PM＝P，＝D，P＝M，∠PM＝∠D＝60°， ∴∠P＝∠MD， 在△P 和△DM 中，B＝2，将△B 绕点B 顺时针旋转60°得到△′B′′，则′＝ ； 问题探究 （2）如图②，在△B 中，B＝B＝3，∠B＝30°，点P 为△B 内一点，连接P、PB、P，求P+PB+P 的最小值，并说明理由； 问题解决 （3）如图③，在四边形BD 中，D∥B，B＝6，D＝4，∠B＝∠BD＝60°．在四边形BD 内部有一点， 满足∠PD＝120°，连接BP、P，点Q 为△BP

对于费马点问题，大家已经见得比较多了，相信都能熟练解决，如果所求最值中三条线 段 的系数有不为1 的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，费马点问题属于权为1 的特 殊 情况 加权费马点问题解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择 不 同的旋转或放缩方法 【类型一 单系数类】 当只有一条线段带有不为1 的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，一种是旋转特 特 殊 角度，一种是旋转放缩 【类型二 多系数类】 其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的 经过尝试，我们会发现，以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的， 对 于给定的系数，我们该如何选取旋转中心呢？ 我们总结了以下方法： 1 将最小系数提到括号外； 2 中间大小的系数确定放缩比例； 模型介绍 3 最大系数确定旋转中心（例如最大系数在P 内部有一点D，连接D、DB、D，则D+DB+ D 的最小值是 ． 解：如图，过点作E⊥D，且E＝D，连接DE，将△D 绕点逆时针旋转90°得到△FE，连接FB，过点F 作 F⊥B，交B 的延长线于， ∵E⊥D，E＝D， ∴DE＝ D， ∵将△D 绕点逆时针旋转90°得到△FE， ∴EF＝D，∠F＝90°，F＝＝6， ∴D+DB+ D＝DB+EF+DE， ∴当点F，点E，点D，点B

旋转 模型（三十四）——费马点模型 费马点：到一个三角形三个顶点距离之和最小的点，称为三角形的费马点 当P+PB+P 取最小值时，点P 叫三角形的费马点 ◎结论：如图,△B 的三个内角均不大于120°，点P 在形内， 当∠BP＝∠P＝∠P＝120 时，P+PB+P 的值最小 【证明】如图，将△BP 绕点B 逆时针旋转 60°，得到△1BP1， 连接 P11+PP1+P≥1, ∴当1、P1、P、四点共线时，P+PB+P 的值最小， △BPP ∵ 1是等边三角形，∠BPP1＝60º， ∠BP ∴ ＝120º， ∠PB ∵ ＝∠1P1B，∠BP1P＝60º， ∠PB ∴ ＝180º－60º＝120º 则∠P＝360º－120º－120º＝120º， 故∠BP＝∠P＝∠P＝120º 费马点作法： 分别以、B、B 中， ，P 是 内一点， 求 的最小值为______． 有等边，求长度，不好求，作等边 【答】 【分析】将△P 绕点顺时针旋转 得△DF，可得P=PF，DF=P，将 转化为 ，此时当 B、P、F、D 四点共线时， 的值最小，最小值为BD 的长；根据勾股定理求解即可． 【详解】解：将△P 绕点顺时针旋转 得△DF，连接PF、D、DB，过点D 作DE⊥B，交B 的延长线于点E； ∴P=DF，∠PF=∠D=

费马点问题思考： 如何找一点P 使它到△B 三个顶点的距离之和P+PB+P 最小？ ，当B、P、Q、E 四点共线时取 得最小值 费马点的定义：数学上称，到三角形3 个顶点距离之和最小的点为费马点。 它是这样确定的： 1 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点； 2 如果3 个内角均小于120°，则在三角形内部对3 边张角均为120°的点，是三角形的费马 边张角均为120°的点，是三角形的费马 点。 费马点的性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120° 费马点最小值快速求解： 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题 的方法是运用旋转变换． R 秘诀：以△ B 任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值 模型探究 【例1】．已知，在△B 中，∠B＝30° 中，∠B＝30° （1）如图1，当B＝＝2，求B 的值； （2）如图2，当B＝，点P 是△B 内一点，且P＝2，PB＝ ，P＝3，求∠P 的度数； （3）如图3，当＝4，B＝ （B＞），点P 是△B 内一动点，则P+PB+P 的最小值为 ． 解：（1）如图1 中，作P⊥B 于P． ∵B＝，P⊥B， ∴BP＝P， 在Rt△P 中，∵＝2，∠＝30°， ∴P＝•s30°＝ ， ∴B＝2P＝2

对于费马点问题，大家已经见得比较多了，相信都能熟练解决，如果所求最值中三条线 段 的系数有不为1 的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，费马点问题属于权为1 的特 殊 情况 加权费马点问题解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择 不 同的旋转或放缩方法 【类型一 单系数类】 当只有一条线段带有不为1 的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，一种是旋转特 特 殊 角度，一种是旋转放缩 【类型二 多系数类】 其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的 经过尝试，我们会发现，以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的， 对 于给定的系数，我们该如何选取旋转中心呢？ 我们总结了以下方法： 1 将最小系数提到括号外； 2 中间大小的系数确定放缩比例； 模型介绍 3 最大系数确定旋转中心（例如最大系数在P 内部有一点D，连接D、DB、D，则D+DB+ D 的最小值是 ． 解：如图，过点作E⊥D，且E＝D，连接DE，将△D 绕点逆时针旋转90°得到△FE，连接FB，过点F 作 F⊥B，交B 的延长线于， ∵E⊥D，E＝D， ∴DE＝ D， ∵将△D 绕点逆时针旋转90°得到△FE， ∴EF＝D，∠F＝90°，F＝＝6， ∴D+DB+ D＝DB+EF+DE， ∴当点F，点E，点D，点B

旋转 模型（三十四）——费马点模型 费马点：到一个三角形三个顶点距离之和最小的点，称为三角形的费马点 当P+PB+P 取最小值时，点P 叫三角形的费马点 ◎结论：如图,△B 的三个内角均不大于120°，点P 在形内， 当∠BP＝∠P＝∠P＝120 时，P+PB+P 的值最小 【证明】如图，将△BP 绕点B 逆时针旋转 60°，得到△1BP1， 连接 P11+PP1+P≥1, ∴当1、P1、P、四点共线时，P+PB+P 的值最小， △BPP ∵ 1是等边三角形，∠BPP1＝60º， ∠BP ∴ ＝120º， ∠PB ∵ ＝∠1P1B，∠BP1P＝60º， ∠PB ∴ ＝180º－60º＝120º 则∠P＝360º－120º－120º＝120º， 故∠BP＝∠P＝∠P＝120º 费马点作法： 分别以、B、B 是 内一点， 求 的最小值为______． 有等边，求长度，不好求，作等边 2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，四边形 是菱形， B=6，且∠B=60° ，M 是菱形内任一点，连接 M，BM，M，则M+BM+M 的最小值为________． 1．（2022·福建三明·八年级期中）【问题背景】17 世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马， 提出一个问题：求作三角

费马点问题思考： 如何找一点P 使它到△B 三个顶点的距离之和P+PB+P 最小？ ，当B、P、Q、E 四点共线时取 得最小值 费马点的定义：数学上称，到三角形3 个顶点距离之和最小的点为费马点。 它是这样确定的： 1 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点； 2 如果3 个内角均小于120°，则在三角形内部对3 边张角均为120°的点，是三角形的费马 边张角均为120°的点，是三角形的费马 点。 费马点的性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120° 费马点最小值快速求解： 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题 的方法是运用旋转变换． R 秘诀：以△ B 任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值 模型探究 【例1】．已知，在△B 中，∠B＝30° 中，∠B＝30° （1）如图1，当B＝＝2，求B 的值； （2）如图2，当B＝，点P 是△B 内一点，且P＝2，PB＝ ，P＝3，求∠P 的度数； （3）如图3，当＝4，B＝ （B＞），点P 是△B 内一动点，则P+PB+P 的最小值为 ． 解：（1）如图1 中，作P⊥B 于P． ∵B＝，P⊥B， ∴BP＝P， 在Rt△P 中，∵＝2，∠＝30°， ∴P＝•s30°＝ ， ∴B＝2P＝2

费马点问题思考： 如何找一点P 使它到△B 三个顶点的距离之和P+PB+P 最小？ ，当B、P、Q、E 四点共线时取 得最小值 费马点的定义：数学上称，到三角形3 个顶点距离之和最小的点为费马点。 它是这样确定的： 1 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点； 2 如果3 个内角均小于120°，则在三角形内部对3 边张角均为120°的点，是三角形的费马 边张角均为120°的点，是三角形的费马 点。 费马点的性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120° 费马点最小值快速求解： 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题 的方法是运用旋转变换． R 秘诀：以△ B 任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值 模型探究 【例1】．已知，在△B 中，∠B＝30° （1）如图1，当B＝＝2，求B 的值； （2）如图2，当B＝，点P 是△B 内一点，且P＝2，PB＝ ，P＝3，求∠P 的度数； （3）如图3，当＝4，B＝ （B＞），点P 是△B 内一动点，则P+PB+P 的最小值为 ． 变式训练 【变式1-1】如图， 是边长为1 的等边 内的任意一点，求 的取 值范围 【变式1-2】．已知点P 是△B 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P

对于费马点问题，大家已经见得比较多了，相信都能熟练解决，如果所求最值中三条线 段 的系数有不为1 的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，费马点问题属于权为1 的特 殊 情况 加权费马点问题解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择 不 同的旋转或放缩方法 【类型一 单系数类】 当只有一条线段带有不为1 的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，一种是旋转特 特 殊 角度，一种是旋转放缩 【类型二 多系数类】 其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的 经过尝试，我们会发现，以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的， 对 于给定的系数，我们该如何选取旋转中心呢？ 我们总结了以下方法： R1 将最小系数提到括号外； R2 中间大小的系数确定放缩比例； 模型介绍 R3 最大系数确定旋转中心（例如最大系数在P 中，∠B＝30°，B＝5，＝6，在△B 内部有一点D，连接D、DB、D，则D+DB+ D 的最小值是 ． 变式训练 【变式1-1】．如图，P 是边长为2 的等边△B 内的一点，求 P+PB+ P 的最小值． 例题精讲 【变式1-2】．已知：＝4，B＝6，∠B＝60°，P 为△B 内一点，求BP+2P+ P 的最小值． 【变式1-3】．如图，正方形BD 的边长为4，点P 是正方形内部一点，求P+2PB+ P 的最小值．

专题26 最值模型之费马点模型 费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考 试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型背景】皮耶·德·费马，17 世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位 不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之 献，除此之 外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三 个顶点距离之和最小的点。 【模型解读】 结论1：如图，点M 为△B 内任意一点，连接M、BM、M，当M 与三个顶点连线的夹角为120°时， M+MB+M 的值最小。 注意：上述结论成立的条件是△B 的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是 最大角的顶 为一边向外作等边三角形△BE，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到B，连接E． ∵△BE 为等边三角形，∴B＝BE，∠BE＝60°．而∠MB＝60°，∴∠BM＝∠EB． 在△MB 与△EB 中，∵ ，∴△MB≌△EB（SS）． 连接M．由△MB≌△EB 知，M＝E．∵∠MB＝60°，BM＝B，∴△BM 为等边三角形． ∴BM＝M．∴M+BM+M＝E+M+M．∴当E、、M、四点共线时，M+BM+M 的值最小．