勾股定理 模型（二十七）——蚂蚁爬行模型 ◎结论1：蚂蚁沿着长方体的表面爬行，从M 到的最短路径： MN min＝❑ √最长边 2+( 最短边＋较短边) 2 长方体表面走最短路径：化曲为平：展平面、两点连、用勾股 示意图 展平面 用勾股 M²=（＋b）²＋²＝²＋ b²＋²＋2b M²＝（＋）²＋b²＝²＋b² ＋²＋2 M²＝（＋b）²＋²＝²＋b² ◎结论2：蚂蚁沿着圆柱体的表面爬行，从到B 的最短路径： ①同侧全周长＝ ❑ √(2πr ) 2+h 2 ②异侧半周长＝ ❑ √(πr ) 2+h 2 圆柱表面积最短路径：化曲为平：展平面、两点连、用勾股 同侧全周长 底面圆的周长2πR 异侧半周长 底面圆的周长πR ◎结论3：蚂蚁吃蜂蜜问题∶求蚂蚁从沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到B 【作法】如图，首先找到 关于杯子上沿的对称点′点，设′到B 的垂直距离为，则问题 转化为异侧半周长的问题 由图可知蚂蚁爬行的最短路径长为 ´B＝ ❑ √(πr ) 2+h 2 1．（2022·广东·湛江市雷阳实验学校八年级阶段练习）如图，长方形的长为15，宽为10，高为20，点 离点 的 距离为5，蚂蚁如果要沿着长方形的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短距离是（ ） ．35 B． ．25 D．

勾股定理 模型（二十七）——蚂蚁爬行模型 ◎结论1：蚂蚁沿着长方体的表面爬行，从M 到的最短路径： MN min＝❑ √最长边 2+( 最短边＋较短边) 2 长方体表面走最短路径：化曲为平：展平面、两点连、用勾股 示意图 展平面 用勾股 M²=（＋b）²＋²＝²＋ b²＋²＋2b M²＝（＋）²＋b²＝²＋b² ＋²＋2 M²＝（＋b）²＋²＝²＋b² ◎结论2：蚂蚁沿着圆柱体的表面爬行，从到B 的最短路径： ①同侧全周长＝ ❑ √(2πr ) 2+h 2 ②异侧半周长＝ ❑ √(πr ) 2+h 2 圆柱表面积最短路径：化曲为平：展平面、两点连、用勾股 同侧全周长 底面圆的周长2πR 异侧半周长 底面圆的周长πR ◎结论3：蚂蚁吃蜂蜜问题∶求蚂蚁从沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到B 【作法】如图，首先找到 关于杯子上沿的对称点′点，设′到B 的垂直距离为，则问题 转化为异侧半周长的问题 由图可知蚂蚁爬行的最短路径长为 ´B＝ ❑ √(πr ) 2+h 2 1．（2022·广东·湛江市雷阳实验学校八年级阶段练习）如图，长方形的长为15，宽为10，高为20，点 离点 的 距离为5，蚂蚁如果要沿着长方形的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短距离是（ ） ．35 B． ．25 D．

的点有 一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是 20 m．（π 取3） 解：将圆柱体展开，连接、B，根据两点之间线段最短， 根据题意可得：是圆周的一半， ∴＝ ×2×4π＝12， ∴B＝ ＝20m． 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．如图，圆锥的底面圆的半径为10m，母线长为40m，为母线P 的中点，一 只蚂蚁欲从点B 处沿 ，解得＝90° ∴展开图中扇形圆心角＝90°， 作E⊥PB 于E，则E＝PE＝10 ，BE＝40 10 ﹣ ， ∵根据勾股定理求得它爬行的最短距离是 ＝20 m ∴蚂蚁爬行的最短距离为20 m 【变式1-2】．如图，一只蚂蚁从长为7m、宽为5m，高是9m 的长方体纸箱的点沿纸箱爬 到B 点，那么它所走的最短路线的长是 15 m． 解：由题意可得， 当展开前面和右面时，最短路线长是： ＝ （m）； 15 ∵ ＜7 ＜ ， ∴一只蚂蚁从长为7m、宽为5m，高是9m 的长方体纸箱的点沿纸箱爬到B 点，那么它 所走的最短路线的长是15m， 故答为：15． 【变式1-3】．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2 米、03 米、02 米，， B 是这个台阶上两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿 台阶面爬行到B 点最短路程是 25

的点有 一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是 20 m．（π 取3） 解：将圆柱体展开，连接、B，根据两点之间线段最短， 根据题意可得：是圆周的一半， ∴＝ ×2×4π＝12， ∴B＝ ＝20m． 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．如图，圆锥的底面圆的半径为10m，母线长为40m，为母线P 的中点，一 只蚂蚁欲从点B 处沿 ，解得＝90° ∴展开图中扇形圆心角＝90°， 作E⊥PB 于E，则E＝PE＝10 ，BE＝40 10 ﹣ ， ∵根据勾股定理求得它爬行的最短距离是 ＝20 m ∴蚂蚁爬行的最短距离为20 m 【变式1-2】．如图，一只蚂蚁从长为7m、宽为5m，高是9m 的长方体纸箱的点沿纸箱爬 到B 点，那么它所走的最短路线的长是 15 m． 解：由题意可得， 当展开前面和右面时，最短路线长是： ＝ （m）； 15 ∵ ＜7 ＜ ， ∴一只蚂蚁从长为7m、宽为5m，高是9m 的长方体纸箱的点沿纸箱爬到B 点，那么它 所走的最短路线的长是15m， 故答为：15． 【变式1-3】．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2 米、03 米、02 米，， B 是这个台阶上两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿 台阶面爬行到B 点最短路程是 25

半径等于4m，在圆柱下底面的点有 一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是 m．（π 取3） 变式训练 【变式1-1】．如图，圆锥的底面圆的半径为10m，母线长为40m，为母线P 的中点，一 只蚂蚁欲从点B 处沿圆锥的侧面爬到点处，则它爬行的最短距离是 m． 例题精讲 【变式1-2】．如图，一只蚂蚁从长为7m、宽为5m，高是9m 的长方体纸箱的点沿纸箱爬 到B 点，那么它所走的最短路线的长是 m． 【变式1-3】．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2 米、03 米、02 米，， B 是这个台阶上两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿 台阶面爬行到B 点最短路程是 米． 考点二：弦图模型的应用 【例2】．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFG 拼 成的大正方形BD．若E＝5，B＝13，则中间小正方形EFG 于G，两点，记△GK 面积为S1，△面积为S2，若E＝12，D＝4 ，则S1+S2的值为 ． 1．如图所示，一只小蚂蚁从棱长为1 的正方体的顶点出发，经过每个面的中心点后，又回 到点，蚂蚁爬行最短程S 满足（ ） ．5＜S≤6 B．6＜S≤7 ．7＜S≤8 D．8＜S≤9 2．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直

半径等于4m，在圆柱下底面的点有 一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是 m．（π 取3） 变式训练 【变式1-1】．如图，圆锥的底面圆的半径为10m，母线长为40m，为母线P 的中点，一 只蚂蚁欲从点B 处沿圆锥的侧面爬到点处，则它爬行的最短距离是 m． 例题精讲 【变式1-2】．如图，一只蚂蚁从长为7m、宽为5m，高是9m 的长方体纸箱的点沿纸箱爬 到B 点，那么它所走的最短路线的长是 m． 【变式1-3】．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2 米、03 米、02 米，， B 是这个台阶上两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿 台阶面爬行到B 点最短路程是 米． 考点二：弦图模型的应用 【例2】．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFG 拼 成的大正方形BD．若E＝5，B＝13，则中间小正方形EFG 于G，两点，记△GK 面积为S1，△面积为S2，若E＝12，D＝4 ，则S1+S2的值为 ． 1．如图所示，一只小蚂蚁从棱长为1 的正方体的顶点出发，经过每个面的中心点后，又回 到点，蚂蚁爬行最短程S 满足（ ） ．5＜S≤6 B．6＜S≤7 ．7＜S≤8 D．8＜S≤9 2．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直

重难点13 几何最值问题2 种题型 （将军饮马与蚂蚁爬行，16 种模型） 目 录 题型01 将军饮马 题型02 蚂蚁爬行 题型01 将军饮马 模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中 隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿 营问如何行走才能使总的路程最短 模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短 判定和性质，直角三角形30 度角的性质，勾股定理， 综合掌握各图形的判定和性质是解题的关键． 题型02 蚂蚁爬行 蚂蚁爬行模型的概述：蚂蚁在某几何体的一个顶点，爬行到另外一个相对的顶点去吃食物，求所走的最短 路径是多少。 蚂蚁爬行模型的实质：两点之间，线段最短。 模型一：蚂蚁沿着长方体表面爬行，从点到点B 的最短距离： 解题方法：在长方体问题中，我们需要将长方体展开，然后利用 两点之间线 √a 2+b 2+c 2+2ac 前+右 B= ❑ √c 2+（a+b） 2= ❑ √a 2+b 2+c 2+2ab 【蚂蚁爬行之模型一 专项训练】 1．（2023·江苏常州·校考一模）如图，是一个棱长为1 的正方体纸盒，若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表 面，从顶点爬到顶点B 去觅食，则需要爬行的最短路程是（ ） ．❑ √3 B．2 ．❑ √5 D．3 【答】

重难点13 几何最值问题2 种题型 （将军饮马与蚂蚁爬行，16 种模型） 目 录 题型01 将军饮马 题型02 蚂蚁爬行 题型01 将军饮马 模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中 隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿 营问如何行走才能使总的路程最短 模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短 ，∠DAC=30°，AB=❑ √3，AC=BE=2 PQ=3，BC=4 BR．求线段CQ+PQ+PR的和的 最小值． 题型02 蚂蚁爬行 蚂蚁爬行模型的概述：蚂蚁在某几何体的一个顶点，爬行到另外一个相对的顶点去吃食物，求所走的最短 路径是多少。 蚂蚁爬行模型的实质：两点之间，线段最短。 模型一：蚂蚁沿着长方体表面爬行，从点到点B 的最短距离： 解题方法：在长方体问题中，我们需要将长方体展开，然后利用 两点之间线 2+2ab 【蚂蚁爬行之模型一 专项训练】 1．（2023·江苏常州·校考一模）如图，是一个棱长为1 的正方体纸盒，若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表 面，从顶点爬到顶点B 去觅食，则需要爬行的最短路程是（ ） ．❑ √3 B．2 ．❑ √5 D．3 2．（2020·陕西西安·校考模拟预测）如图，长方体的长EF为3cm，宽AE为2cm，高CE为4cm，B 是GF 的中点，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点D

小学语文阅读理解细节把握训练2025 年试卷及答案 阅读下面的短文，回答问题。 小蚂蚁安安是蚁群中的一名工蚁。一天，它在草地上觅食时，感到空 气变得潮湿，抬头看到天空乌云滚滚。它想起长老曾经说过，这种天 气意味着大雨即将来临。由于蚁穴位于地势低洼的地方，容易积水， 必须尽快搬家到更高处。 “ 安安迅速跑回蚁穴，气喘吁吁地向蚁后报告：陛下，天气变了，很快 ” “ 要下雨，我们得赶紧搬家！蚁后立即下令：全体注意！启动搬家计 安安带领五只蚂蚁出发了。它们爬过草地，越过一条小溪，终于在一 个小山坡上找到了一个理想的洞穴：那里干燥、宽敞、安全。它们留 下气味标记，然后返回报告。与此同时，其他蚂蚁在蚁穴里忙碌地打 包。它们用树叶当作包裹，搬运粮食和蚁卵。虽然工作辛苦，但没有 一只蚂蚁抱怨。 雨点开始落下时，蚂蚁们加快步伐，互相搀扶。有些小蚂蚁走不动 了，大蚂蚁就背着它们前进。最终，在雨势变大之前，所有蚂蚁都安 全进入了新 全进入了新家。在新洞穴里，蚂蚁们整理物品，分享食物。雨过天晴 后，彩虹出现，蚂蚁们唱歌跳舞，庆祝成功搬家。安安被表扬为英 “ ” 雄，它谦虚地说：这是大家的功劳。我们团结一心，才能成功。 一、单项选择题（共10 题，每题2 分） 1. 安安是什么类型的蚂蚁？ A. 工蚁 B. 兵蚁 C. 蚁后 D. 幼蚁 2. 安安发现天气变化时正在做什么？ A. 睡觉 B. 觅食 C. 玩耍 D

一、单项选择题（共10 题，每题2 分） 1. “ 阅读短文：夏季，蚂蚁在田野里辛勤劳作，储存粮食。蚱蜢却整天 ” 嬉戏玩耍。蚂蚁在夏天的主要活动是什么？ A. 玩耍 B. 收集食物 C. 睡觉 D. 唱歌 2. 根据同一短文，蚱蜢在夏天的行为是什么？ A. 工作 B. 玩耍 C. 学习 D. 吃饭 3. 短文中，蚂蚁为什么储存粮食？ A. 为了夏天享用 B. 为了冬天准备 当冬天来临，蚱蜢的状态如何？ A. 快乐满足 B. 饥寒交迫 C. 继续玩耍 D. 帮助蚂蚁 5. 蚂蚁对蚱蜢的求助反应是什么？ A. 立即帮助 B. 批评并拒绝 C. 一起玩耍 D. 给予食物 6. 这个故事的主要教训是什么？ A. 夏天应该玩耍 B. 劳动和准备的重要性 C. 冬天很寒冷 D. 蚂蚁很善良 7. “ ” 短文中，辛勤劳作的意思最接近什么？ A. 懒惰 D. 唱歌跳舞 9. 蚂蚁在冬天的状态如何？ A. 饥饿 B. 准备充分 C. 后悔 D. 玩耍 10. 这个故事是哪种类型？ A. 童话 B. 寓言 C. 科幻 D. 历史 二、多项选择题（共10 题，每题2 分） 11. “ 阅读短文：夏季，蚂蚁在田野里辛勤劳作，储存粮食。蚱蜢却整 ” 天嬉戏玩耍。哪些描述是正确的？ A. 蚂蚁在夏天工作 B. 蚱蜢在夏天工作