轴对称 模型（二十）——婆罗摩笈多模型 一、垂直 中点 【结论1】如图，△B 和△DBE 是等腰直角三角形，M 经过点B， 若M⊥E，则①点是D 的中点，②SΔCBE＝SΔ ABD，③E＝2B 【证明】如图，（知垂直得中点，一线三垂直） 过作P⊥M，垂足为P，过D 作DQ⊥M 交M 的延长线于Q， 易证：△BP △BM,P ≌ ＝BM ＋∠3＝90° ∠DQP ∴ ＝90° ②如图，由①知SΔCBE＝SΔCBP＋SΔ EBP＝SΔ EMP＋SΔ EBP＝SΔ MEB＝SΔ ABD,得证 ③如图，由①知D＝MB＝2BP，得证。 婆罗摩笈多定理： 若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。这个定理有 另一个名称，叫做“布拉美古塔定理 ” （又译《卜拉美古塔定理”）。

轴对称 模型（二十）——婆罗摩笈多模型 一、垂直 中点 【结论1】如图，△B 和△DBE 是等腰直角三角形，M 经过点B， 若M⊥E，则①点是D 的中点，②SΔCBE＝SΔ ABD，③E＝2B 【证明】如图，（知垂直得中点，一线三垂直） 过作P⊥M，垂足为P，过D 作DQ⊥M 交M 的延长线于Q， 易证：△BP △BM,P ≌ ＝BM ＋∠3＝90° ∠DQP ∴ ＝90° ②如图，由①知SΔCBE＝SΔCBP＋SΔ EBP＝SΔ EMP＋SΔ EBP＝SΔ MEB＝SΔ ABD,得证 ③如图，由①知D＝MB＝2BP，得证。 婆罗摩笈多定理： 若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。这个 定理有另一个名称，叫做“布拉美古塔定理 ” （又译“卜拉美古塔定理”）。

专题34 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、 婆罗摩笈多（定理）模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模 型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析， 方便掌握。 模型1 阿基米德折弦模型 【模型解读】折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。 中， ， 在 中， ，由（1）可知， ， ∴ ； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 模型2 婆罗摩笈多（定理）模型 【模型解读】婆罗摩笈多（Brmgupt）是七世纪时的印度数学家。 婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形的对角线互相垂直相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延 长线必经过这条边对边的中点。 图1 BE △；（2）若F 为 D 中点，则G⊥BE。 例1．（2023·浙江·九年级专题练习）阅读下列相关材料，并完成相应的任务． 布拉美古塔定理 婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈 多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边 且过对角线交点的直线平分对边． 某数学兴趣小组的同学写出了这个定理的已知和求证．

专题34 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、 婆罗摩笈多（定理）模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模 型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析， 方便掌握。 模型1 阿基米德折弦模型 【模型解读】折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。 小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M 作 于点，连接 任务：(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程， (2)就图3 证明： ． 模型2 婆罗摩笈多（定理）模型 【模型解读】婆罗摩笈多（Brmgupt）是七世纪时的印度数学家。 婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形的对角线互相垂直相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延 长线必经过这条边对边的中点。 图1 BE △；（2）若F 为 D 中点，则G⊥BE。 例1．（2023·浙江·九年级专题练习）阅读下列相关材料，并完成相应的任务． 布拉美古塔定理 婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈 多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边 且过对角线交点的直线平分对边． 某数学兴趣小组的同学写出了这个定理的已知和求证．

专题16 全等三角形模型之婆罗摩笈多模型 婆罗摩笈多（Brmgupt）是七世纪时的印度数学家，在世时间约是公元 598 年 ~ 660 年。他编著了 《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》。《婆罗摩修正体系》中有关数学的部分涉及到有关三角形、四 边形、零、负数、一阶和二阶方程的研究，《肯达克迪迦》则是天文方面的著作，研究了关于月食、 日食、行星的合等问题。他提出的一些概念在世界数学史上也有很高的地位，比如负数。以他命名的 地位，比如负数。以他命名的 婆罗摩笈多定理又称“布拉美古塔”定理。本专题我们讲的就是由婆罗摩笈多定理演化而来的“婆罗摩笈 多”模型。 .................................................................................................................................. ...............2 模型1“婆罗摩笈多”模型..............................................................................................................................2 .........................................

专题16 全等三角形模型之婆罗摩笈多模型 婆罗摩笈多（Brmgupt）是七世纪时的印度数学家，在世时间约是公元 598 年 ~ 660 年。他编著了 《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》。《婆罗摩修正体系》中有关数学的部分涉及到有关三角形、四 边形、零、负数、一阶和二阶方程的研究，《肯达克迪迦》则是天文方面的著作，研究了关于月食、 日食、行星的合等问题。他提出的一些概念在世界数学史上也有很高的地位，比如负数。以他命名的 地位，比如负数。以他命名的 婆罗摩笈多定理又称“布拉美古塔”定理。本专题我们讲的就是由婆罗摩笈多定理演化而来的“婆罗摩笈 多”模型。 .................................................................................................................................. ...............2 模型1“婆罗摩笈多”模型..............................................................................................................................2 .........................................

全等三角形8 种模型 （一线三等角、手拉手模型、倍长中线、截长补短、婆罗摩笈多、半角模型、 平行线中点模型与雨伞模型） 目 录 题型01 一线三等角模型（含一线三垂直模型） 题型02 手拉手模型 题型03 倍长中线模型 题型04 平行线中点模型与雨伞模型 题型05 截长补短模型 题型06 婆罗摩笈多模型 题型07 半角模型 题型01 一线三等角模型（含一线三垂直模型） 题．隐圆问题， 了解直径所对的圆周角等于90°是隐圆问题的常用思路，了解瓜豆原理对本题的理解有很大的帮助．了解 截长补短法添加辅助线是关键。转换思想是重要的数学思想． 题型06 婆罗摩笈多模型 婆罗摩笈多模型条件：1）公共顶点：顶点 2）等线段：B=D E=G 3）顶角相等：∠DB= GE=90° ∠ 已知 图示 结论（性质） 四边形BD 、EFG 为正方 形，连接BE、DG，、、三

全等三角形8 种模型 （一线三等角、手拉手模型、倍长中线、截长补短、婆罗摩笈多、半角模型、 平行线中点模型与雨伞模型） 目 录 题型01 一线三等角模型（含一线三垂直模型） 题型02 手拉手模型 题型03 倍长中线模型 题型04 平行线中点模型与雨伞模型 题型05 截长补短模型 题型06 婆罗摩笈多模型 题型07 半角模型 题型01 一线三等角模型（含一线三垂直模型） 为四边形BD 内一点，且∠PD＝90°，连接BP，取BP 的中点Q， 连接Q．当B＝6❑ √2，D＝4❑ √2，t∠B＝2 时，求Q＋ ❑ √10 10 BQ 的最小值． 题型06 婆罗摩笈多模型 婆罗摩笈多模型条件：1）公共顶点：顶点 2）等线段：B=D E=G 3）顶角相等：∠DB= GE=90° ∠ 已知 图示 结论（性质） 四边形BD 、EFG 为正方 形，连接BE、DG，、、三

第1 页/ 共12 页 （1）木板受物块摩擦力的大小和方向； （2）木板受地面摩擦力的大小和方向． （3）如果物块相对木板向右滑动时，木板被物块带动也向右滑动，求木板受到地面摩 擦力的大小和方向． 第1 页/ 共12 页 第1 页/ 共12 页

形变而产生的，故错 误； D、滑动摩擦力的大小与正压力、摩擦因数有关f＝μF，与速度无关，故D 错误。 故选：B。 【点评】本题考查了力的相关知识，解决本题的关键是理解力的概念，重力、弹力和摩 擦力的产生条件以及影响大小的因素。 12 ．下列叙述正确的是（ ） ．重心不一定在物体上，任何形状规则的物体，它们的重心都在几何中心处 B．书放在水平桌面上受到的支持力，是由于书发生了微小形变而产生的 始终处于静止状态，受重力、推力、墙壁的弹力和摩擦力处于平衡，根 据平衡判断摩擦力的变化。 第1 页/ 共26 页 【解答】解：物体在竖直方向上受重力和静摩擦力，两个力平衡，增大或减小F，静摩 擦力始终等于重力，保持不变；而增大的质量时，受到的重力增大，由平衡条件可知， 它所受摩擦力将增大。 故答为：（1）增大；（2）不变。 【点评】解决本题的关键能够正确地进行受力分析，运用共点力平衡进行求解即可，同 32．小明利用木块做了几个跟摩擦力相关的实验，木块的质量为05kg，g 取10/kg。 第1 页/ 共26 页 （1）如图1 所示，小明同学用垂直于墙的力F 将木块压在竖直墙上，墙和木块之间的动摩 擦因数为02，已知力F＝15，求： ①若木块下滑，木块受到的墙面的摩擦力的大小； ②若将压木块的力增大到2F，木块静止，求木块受到的摩擦力的大小。 （2）如图2 所示，小明同学将木块夹在两长