等积变换法 【规律总结】 在平面几何图形中，我们往往可以根据同底等高、等底同高、等底等高等等发现面积 相等的图形，这些图形有的形状相同，有的形状不同，但既然面积与面积之间具有相等关 系，我们就可以相应地进行一些转化，从而使问题解决起来更加简便。 【典例分析】 例1、如图，在△ABC中，E 是B 上的一点，EC=2BE， 点D 是的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为 S 2，则△BEF的面积为______c m 2． 【答】(1)S△ABC=S△ACD； (2)S△CDE=2S△ABC； (3)S△EFD=7 S△ABC； (4)4.5． 【解析】 【分析】 本题是考查了三角形的面积及等积变换，本题有一定难度，关键是需要通过作辅助线，运 用三角形中线等分三角形的面积才能得出结果． (1)由△ABC与△ACD中BC=CD，由三角形中线等分三角形的面积即可结果; (2)连接D，由C 三角形的面积，同理可得△AED与△ADC 面积相等，而△CDE面积等于两三角形面积之和，即可得出结果; (3)连接D，EB，F，根据第二问的思路，同理可得阴影部分的面积等于6 倍的△ABC面 积，即可得出结果; (4)拓展应用：点E 是线段D 的中点，由三角形中线等分三角形的面积，求得 S△BCE=1 2 S△ABC，由点F 是线段E 的中点，根据三角形中线等分三角形的面积，求得 S△BEF=S△BCF=1

专题07 三角形中的重要模型-等积模型 三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的 思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三 角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应 试题分析，方便掌握。 模型1 等积变换基础模型 1）等底等高的两个三角形面积相等； 底之比可得答． 【详解】解： ， 的面积为2， 的面积为4， 的面积为 ， 点 为 的中点， 的面积 的面积， 的面积为 ，故答为：12． 【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比 等于底之比是解题的关键． 例4．（浙江省杭州市2023-2024 学年八年级上学期10 月月考数学试题）如图， 是 的一条中线， E 为 边上一点且 ， 边上中线， ∵ ， ， ， 即 解得: ，故答为: 144 【点睛】本题考查了三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面 积比为底之比来表示出三角形面积，进而使用方程思想解决问题 例5．（2023 春·江西萍乡·八年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积． 如图1， 是 边 上的中线，则 ． 理由：因为 是

三角形中的重要模型-等积模型 三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的 思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三 角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应 试题分析，方便掌握。 模型1 等积变换基础模型 1）等底等高的两个三角形面积相等； 模型3 燕尾（定理）模型 条件：如图，在 中，E 分别是 上的点， 在 上一点，结论：S1 S2 S3 S4 S1+S3 S2+S4 BE E。 例1、如图，△B 中，M、分别是B、边上的三等分点，M、B 相交于点，已知△BM 的面积为2，则四边形M 的面积为 。 例2．（2023·山东·八年级专题练习）如图，在△B 中，已知点P、Q 分别在边、B 上，BP 与Q 相交于点，若 ， 由题意得： ， ，可列方程组为： ，解得_____ _，则可得四边形 的面积为______．(3)如图3， ， ，则四边形 的 面积为______．(4)如图4，D，F 是 的三等分点，E，G 是 的三等分点， 与 交于，且 ，则四边形 的面积为______． 模型4 鸟头定理（共角定理）模型 图1 图2 共角三角形：两个三角形中有

1 做人积这八德让你福报越来越多 1、口德 得饶人处且饶人 2、掌德 赞美别人，学会鼓掌 3、面德 看破别说破，面子上好过 4、信任德 经典疑人不交，交人不疑国 5、礼节德 礼多人不怪送礼送到位 6、谦让德 锋芒毕露者处处树暗敌 7、理解德 换位思考，替别人着想 8、尊重德 学会尊重他人的想法和意愿

剧本： 热恋时，情侣们常感叹上辈子积了什么德；结婚后，夫妻们常怀 疑上辈子造了什么孽。 拍摄建议： 1.最后加上搞笑的笑声 2.仅供参考，可以根据自己的实际情况加减音乐，台词，道具，服 装等！

专题11 三角形中的重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型 等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三 角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比 ”、“45°辅助线”、“半个正方 形”等角度拓展延伸，常在选填题中以压轴的形式出现。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三 角形为背景的几何题，有些难度，同时获得一连串等腰直角 .....................2 模型1 等直内接等直模型............................................................................................................................... 2 模型2 等直+高分线模型..................... ....................................................................................15 模型1 等直内接等直模型 等直内接等直模型是指在等腰直角三角形斜边中点作出一个新的等腰直角三角形（该三角形的直角顶点为 原等腰直角三角形的斜边中点，其他两顶点落在其直角边上）。该模型也常以正方形为背景命题。 条件：已知

专题11 三角形中的重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型 等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三 角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比 ”、“45°辅助线”、“半个正方 形”等角度拓展延伸，常在选填题中以压轴的形式出现。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三 角形为背景的几何题，有些难度，同时获得一连串等腰直角 .....................2 模型1 等直内接等直模型............................................................................................................................... 2 模型2 等直+高分线模型..................... ....................................................................................15 模型1 等直内接等直模型 等直内接等直模型是指在等腰直角三角形斜边中点作出一个新的等腰直角三角形（该三角形的直角顶点为 原等腰直角三角形的斜边中点，其他两顶点落在其直角边上）。该模型也常以正方形为背景命题。 条件：已知

2025 届甘肃省天水市麦积区新梦想高考复读学校高三下学期模拟预 测语文试题 一、单项选择题（共10 题，每题2 分） 1. 下列词语中，加点字的读音全部正确的一项是（） A. 酝酿(niàng) 绽放(zhàn) 忍俊不禁(jīn) B. 炽热(chì) 畸形(jī) 相形见绌(chù) C. 慰藉(jiè) 攫取(jué) 锲而不舍(qì) D. 讪笑(shàn) 吞噬(shì) 苦心孤诣(yì)

几何模型3—一线三等角模型 【模型介绍】 一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的角与这 两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角” 如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角 【解题关键】 构造相似或是全等三角形 【典型例题】 【题型一：一线三直角模型】 如图，若∠1、∠2、∠3 都为直角，则有△P∽△BPD． 中，∠B＝45°，B＝2❑ √2， D＝E，∠DE＝90°，E＝❑ √5，求D 的长； 小胖经过思考后，在D 上取点F 使得∠DEF＝∠DB（如图2），进而得到∠EFD＝45°，试图 构建“一线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现△EF∽△DE． （1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程． （2）参考小胖的解题思路解决下面的问题： 如图3，在△B 中，∠B＝∠D＝∠B，D＝E，1 ∴RE＝RB＝DT， ∵B＝，∠B＝∠B，∠RB＝∠T， △ ∴BR △ ≌T（S） ∴BR＝T， ∴DT＝T， ∴D＝2DT， ∴BE DE = DT CD ＝1 2 【练3】数学模型（“一线三等角”模型） (1)如图1，∠B＝90°，B＝，BD⊥D 于点D，E⊥D 于点E．求证：△BD △ ≌E． (2)如图2，在△B 中，B＝，点D，，E 都在直线l 上，并且∠BD＝∠E＝∠B＝α．若E＝，

即要求的两条线段有公共 端点,或者平移后有公共端点 除了将军饮马问题外，还有一类两线段和的最值问题，两个动点的运动过程中, 两条动线 段始终保持着相等, 我们可以在等线段处构造全等, 从而将要求的两条线段拼接到一起，这就是 今天咱们要说的逆等线最值问题 讲逆等线模型之前我们先来一波回忆： 下图大家应该很熟： D 为动点！特殊化证明：DE+DF 的和为定值 一般化证明：DE+DF 的和为定值 只要保证DE，DF 另证易得：△DE∽△DFB ∵D＋BD 为定值∴DE＋DF 为定值 引申：D 在线段B 外时差为定值（证明同理） 然后将这个角一路的改变也相当于做腰的平行线！ 此图即产生了逆等线，所谓逆等线，逆向也相等！ 模型介绍 大 招 逆等线最值模型 考点一:等腰三角形中的逆等线模型 【例1】．如图，在等腰△B 中，B＝＝5，B＝6，点D、E 分别是B、上两动点，且D＝ E，连接D、BE，D+BE 最小值为 ． 的长， ∴当B，E，F 共线时，BD+BE 的值最小， ∵直线BF 的解析式为：y＝ x+4， ∴（0，4），∴当BD+BE 的值最小时，则点的坐标为（0，4），故选：． 考点二:等边三角形中的逆等线模型 【例2】如图，D 为等边△B 的高，E、F 分别为线段D、上的动点，且E＝F，当BF+E 取 得最小值时，∠FB＝ °． 解：如图1，作⊥B，且＝B，连接B，连接F，