112 等积变换法

等积变换法 【规律总结】 在平面几何图形中，我们往往可以根据同底等高、等底同高、等底等高等等发现面积 相等的图形，这些图形有的形状相同，有的形状不同，但既然面积与面积之间具有相等关 系，我们就可以相应地进行一些转化，从而使问题解决起来更加简便。 【典例分析】 例1、如图，在△ABC中，E 是B 上的一点，EC=2BE， 点D 是的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为 S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF−S△BEF=( ) 1 B 2 3 D 4 【答】B 【解析】 【分析】 本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三角形 的面积，然后求出差． S❑△ADF−S❑△BEF=S❑△ABD−S❑△ABE，所以求出三角形BD 的面积和三角形BE 的面积 即可，因为EC=2BE，点D 是的中点，且S △ABC=12，就可以求出三角形BD 的面积 和三角形BE 的面积． 【解答】 解：∵点D 是的中点， ∴AD=1 2 AC， ∵S△ABC=12， ∴S△ABD=1 2 S△ABC=1 2 ×12=6． ∵EC=2BE，S△ABC=12， ∴S△ABE=1 3 S△ABC=1 3 ×12=4， ∵S△ABD−S△ABE=(S△ADF+S△ABF)−(S△ABF+S△BEF)=S△ADF−S△BEF， 即S△ADF−S△BEF=S△ABD−S△ABE=6−4=2． 故选B． 例2、阅读理解 基本性质：三角形中线等分三角形的面积．如图，D 是△ABC边B 上的中线，则 S△ABD=S△ACD=1 2 S△B 理由：∵AD是△ABC边B 上的中线 ∴BD=CD 又∵S △ABD=¿ 1 2 BD× AH ¿；S △ACD=¿ 1 2 CD× AH ¿ ∴S△ABD=S△ACD=1 2 S△ABC ∴三角形中线等分三角形的面积 基本应用： (1)如图1，延长△ABC的边B 到点D，使CD=BC，连接DA .则S△ACD与S△ABC的数 量关系为：______； (2)如图2，延长△ABC的边B 到点D，使CD=BC，延长△ABC的边到点E，使 AE=AC，连接DE .则S△ECD与S△ABC的数量关系为：______ ；(写出你的理由)； (3)在图2 的基础上延长B 到点F，使FB=AB，连接FD，FE，得到△≝(如图3).则 S△EFD与S△ABC的数量关系为：______； (4)拓展应用：如图4，点D 是△ABC的边B 上任意一点，点E，F 分别是线段D，E 的中点，且△ABC的面积为18c m 2，则△BEF的面积为______c m 2． 【答】(1)S△ABC=S△ACD； (2)S△CDE=2S△ABC； (3)S△EFD=7 S△ABC； (4)4.5． 【解析】 【分析】 本题是考查了三角形的面积及等积变换，本题有一定难度，关键是需要通过作辅助线，运 用三角形中线等分三角形的面积才能得出结果． (1)由△ABC与△ACD中BC=CD，由三角形中线等分三角形的面积即可结果; (2)连接D，由CD=BC，由三角形中线等分三角形的面积，同理可得△AED与△ADC 面积相等，而△CDE面积等于两三角形面积之和，即可得出结果; (3)连接D，EB，F，根据第二问的思路，同理可得阴影部分的面积等于6 倍的△ABC面 积，即可得出结果; (4)拓展应用：点E 是线段D 的中点，由三角形中线等分三角形的面积，求得 S△BCE=1 2 S△ABC，由点F 是线段E 的中点，根据三角形中线等分三角形的面积，求得 S△BEF=S△BCF=1 2 S△BCE，即可求出△BEF的面积． 【解答】 解：(1)∵BC=CD，三角形中线等分三角形的面积， ∴S△ABC=S△ACD； 故答为S△ABC=S△ACD； (2)连接D，如图1 所示： ∵BC=CD，三角形中线等分三角形的面积， ∴S△ABC=S△ADC， 同理S△ADE=S△ADC， ∴S△CDE=2S△ABC； 故答为S△CDE=2S△ABC； (3)连接D，EB，F，如图2 所示： 由(2)得：S△CDE=2S△ABC， 同理可得：S△AEF=2S△ABC，S△BFD=2S△ABC， ∴S△EFD=¿ S△CDE+S△AEF+S△BFD+S△ABC=2S△ABC+2S△ABC+2S△ABC+S△ABC=7 S△ABC ¿； 故答为S△EFD=7 S△ABC； (4)拓展应用： ∵点E 是线段D 的中点，由三角形中线等分三角形的面积， ∴S△ABE=S△BDE，S△ACE=S△CDE， ∴S△BCE=1 2 S△ABC， ∵点F 分别是线段E 的中点，由三角形中线等分三角形的面积， ∴S△BEF=S△BCF=1 2 S△BCE， ∴S△BEF= 1 4 S△ABC= 1 4 ×18=4.5(c m 2)； 故答为4.5． 例3、如图，每个小正方形的边长为1 个单位． (1)描出可利用的一个格点，仅用直尺画出△ABC的B 边上的高D； (2)计算△ABC的面积为______________； (3)画出△ABC向右平移4 个单位后得到的△A1B1C1； (4)图中与A1C1的关系是：______________； (5)在的右侧找出图中能使S△ABC=S△ABQ的所有格点Q．(分别用Q1、Q2、……分别 表示) 【答】解：(1)高线D 如图所示； (2)8； (3)如图，△A1B1C1为所作； (4)平行且相等； (5)如图所示： 【解析】 【分析】 本题考查了作图−¿平移变换，高线的作法，格中三角形的面积计算方法，涉及了割补法计 算面积，属于中档题． (1)根据作高线的方法，作出高即可； (2)根据割补法，算出△ABC的面积即可； (3)根据图形平移的性质，画出△A1B1C1即可； (4)根据平移的性质，可得出与A1C1的关系； (5)首先根据△ABC的面积，根据同底等高进而得出Q 点的个数． 【解答】 解：(1)见答； (2)△ABC的面积¿5×7−1 2 ×2×6−1 2 ×1×3−1 2 ×5×7−2×1 ¿35−6−1.5−17.5−2 ¿35−27 ¿8； 故答为8； (3)见答； (4)由平移的性质可得，与A1C1的关系为平行且相等， 故答为：平行且相等； (5)见答． 【好题演练】 一、选择题 1. 如图所示，在△ABC中，点D 是B 上的一点，已知 AC=CD=5，AD=6，BD=5 2，则△ABC的面积是( ) 18 B 36 72 D 125 【答】 【解析】 【分析】 本题考查的是勾股定理，三角形的面积，面积法有关知识，先作辅助线，AE⊥CD于点 E，CF ⊥AD于点F，然后根据勾股定理，可以得到F 的长，再根据等积法可以得到E 的 长，然后即可计算出△ABC的面积． 【解答】 解：作AE⊥CD于点E，作CF ⊥AD于点F， ∵AC=CD=5，AD=6，CF ⊥AD， ∴AF=3，∠AFC=90°， ∴CF= ❑ √A C 2−A F 2=4， ∵CD· AE 2 = AD·CF 2 ， ∴5 AE 2 =6×4 2 ， 解得．AE=24 5 ， ∵BD=5 2，CD=5， ∴BC=15 2 ， ∴△ABC的面积是：BC · AE 2 = 15 2 × 24 5 2 =18． 故选． 2. 如图，点P 是矩形BD 的边D 上的一动点，矩形的 两条边B，B 的长分别是6 和8，则点P 到矩形的 两条对角线和BD 的距离之和是( ) 4.8 B 5 6 D 7.2 【答】 【解析】略 3. 如图，P，PB 分别与⊙O相切于点，B，P 交⊙O于点 E，过点B 作弦 ，若PA=2 PE=4，则B 的长 为( ) 12 5 B 18 5 24 5 D 4 【答】B 【解析】 【分析】 本题主要考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理等知识点.根据切线的性质和勾股定理先 求得圆的半径，再利用面积相等和平行线的性质求得D 的长，最后利用勾股定理和垂径定 理即可得到答 【解答】 解：如图，连接B，过点B 作BF ⊥PO交P 于F，过点作OD⊥BC交B 于点D， ∵PA，PB 分别与⊙O相切于点，B，PA=2 PE=4， ∴PB=PA=4，OB⊥PB，PE=2， 设圆的半径为r，则(2+r ) 2=4 2+r 2， 解得，r=3， ∵S△POB=1 2 PO·BF=1 2 PB·OB ∴1 2 × (2+3)×BF=1 2 ×4×3， 解得，BF=12 5 ， ∵BC/¿ PO，BF ⊥PO，OD⊥BC， ∴OD=BF=12 5 ， ∴BD= ❑ √O B 2−O D 2=❑ √3 2−( 12 5 ) 2 =9 5 ， ∴BC=2BD=2× 9 5=18 5 ． 故选B． 4. 如图，在▵ABC中，已知D、E、F 分别是B、D、E 的中点，且S▵ABC=4 cm 2，则图 中▵BEF的面积是( ) 2cm 2 B 1cm 2 1 2 cm 2 D 1 4 cm 2 【答】B 【解析】 【分析】 本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形 的底(或高)是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． 结合图形直观解答． 如图，因为点F 是E 的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于 △BEC的高；同理，D、E、分别是B、D 的中点，△EBC与△ABC同底，△EBC的高 是△ABC高的一半；利用三角形的等积变换可解答． 【解答】 解：如图，点F 是E 的中点， ∴△BEF的底是EF，△BEC的底是E，即EF=1 2 EC，高相等； ∴S△BEF=1 2 S△BEC， D、E 分别是B、D 的中点，同理得， S△EBC=1 2 S△ABC， ∴S△BEF= 1 4 S△ABC，且S△ABC=4 c m 2， ∴S△BEF=1c m 2， 即阴影部分的面积为1c m 2． 故选：B． 5. 如图，在平面直角坐标系xy 中，点，B 的坐标分别 为(−2,0)，(2,0)，点在y 轴正半轴上，且 OC=AB.将线段B 平移至线段D，点的对应点为点， B 点的对应点为D 点，连接，BD .当点P 在x 轴上时， 若△PCD与△ACP的面积相等，则点P 的坐标为()． (2,0)或(−6,0) B (2,0) (−6,0) D (−2,0)或(−6,0) 【答】 【解析】 【分析】 本题考查了坐标与图形变化−¿平移， 三角形的面积，熟记平移变化只改变图形的位置不 改变图形的形状是解题的关键． 由三角形的面积得出CD•OC=AP•OC .即可得AP=CD=4，则可得出答． 【解答】 解：(1)∵点，B 的坐标分别为(−2,0)，(2,0)， ∴OA=2，OB=2， ∴AB=4 ， ∵OC=AB， ∴OC=4， ∵将线段B 平移至线段D， ∴CD=4， ∴D(4,4).由平移性质可知：CD=AB=4， ∵S△PCD=1 2 CD⋅OC，S△ACP¿❑1 2 AP⋅OC，且S△PCD=S△ACP， ∴CD⋅OC ¿❑AP⋅OC． 即AP=CD=4， ∴点P 的坐标为(2,0)或(−6,0)． 故选． 6. 如图，四边形BG、四边形BFG、四边形DEF 都是正方形，过点B 作BM ⊥HC于点 M，过点作CN ⊥HD于点，则CN BM =() 1 2 B ❑ √2 2 ❑ √5 3 D ❑ √2 【答】B 【解析】 【分析】 本题主要考查的是勾股定理及三角形的面积，设AB=a，求出、D 的长，再求出△HBC 和△HCD的面积，再求出：BM 的值即可． 【解答】 解：设AB=a， 则HC= ❑ √a 2+(2a) 2=❑ √5a，HD=¿ ❑ √a 2+(3a) 2=❑ √10a， 又∵S△HBC=1 2 BC · AH=1 2 a 2，S△HCD=1 2 CD· AH=1 2 a 2， ∴S△HBC=S△HCD， ∴BM ⋅HC=CN ⋅HD⋅ ∴CN BM = HC HD = ❑ √5a ❑ √10a= ❑ √2 2 ． 故选B． 二、填空题 7. 如图，E、F 是平行四边形BD 的边B、D 上的点，F 与DE 相交于点P，BF 与E 相交 于点Q.若S△APD=15cm 2，S△BQC=25cm 2，则阴影部分的面积为_________cm 2． 【答】40 【解析】 【分析】 本题综合性较强，主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底 高的三角形． 连接E 、F 两点，由三角形的面积公式我们可推出S△ADF=S△≝¿¿，所以 S△APD=S△EPF=15cm 2 S△BQC=S△EFQ=25cm 2，所以阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【解答】 解：如图，连接EF ∵△ADF与△≝¿同底等高， ∴S△ADF=S△≝¿¿ 即S△ADF−S△DPF=S△≝¿−S△DPF¿， 即S△APD=S△EPF=15cm 2，， ∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ=15+25=40(cm 2)． 故答为40． 8. 如图，点E、F 是平行四边形BD 的边B、D 上的 点，F 与DE 相交于点P，BF 与E 相交于点Q，若 S△APD=14 c m 2，S△BCQ=16 c m 2，则四边形 PEQF 的面积为 ． 【答】30c m 2 【解析】如图，连结EF． ∵△ADF与△≝¿同底等高， ∴S△ADF=S△≝¿¿，即S△ADF−S△DPF=S△≝¿−S△DPF¿，即S△APD=S△EPF=14 c m 2， 同理可得S△BQC=S△EFQ=16 c m 2， ∴四边形PEQF 的面积为S△EPF+S△EFQ=14+16=30c m 2． 9. 如图，圆心角为90°的扇形B 内，以B 为直径作半圆，连 接AB.若阴影部分的面积为5 π−5，则AC=¿_____． 【答】2❑ √5 【解析】解：将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为S1，S2；两块空白分别为S3，S4， 连接D，如下图所示： 由已知得：三角形B 为等腰直角三角形，S1+S2=5 π−5， ∵BC为直径， ∴∠CDB=90°，即CD⊥AB， 故D¿ DB=DA， ∴D点为BC ⏜中点，由对称性可知CD ⏜与弦D 围成的面积与S3相等． 设AC=BC=x， 则S 扇ACB−S3−S4=S1+S2， 其中S 扇ACB=90⋅π ⋅x 2 360 = π x 2 4 ， S4=S△ACB−S△BCD−S3=1 2 ⋅x 2−1 2 ⋅x⋅x 2−S3= x 2 4 −S3， 故：π x 2 4 −S3−( x 2 4 −S3)=5 π−5， 求解得：x1=2❑ √5，x2=−2❑ √5(舍去) 故答：2❑ √5． 本题可利用扇形面积公式以及三角形面积公式，用大扇形面积减去空白部分面积求得阴影 部分面积，继而根据已知列方程求解． 本题考查几何图形面积的求法，常用割补法配合扇形面积公式以及三角形面积公式求解． 10. 如图所示，AE⊥AB，且AE=AB，BC ⊥CD，且BC=CD，按照图中所标注的数 据，实线所围成的图形的面积是_________． 【答】50 【解析】 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，面积及等积变换的知识，解答本题的关键是根据 三角形全等求出F、G、G、的长，本题比较简单，但是计算时要细心．根据AE⊥AB， BC ⊥CD且AB=AE，BC=CD等条件可以证明△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH， 即可求出F、G、G、的长，然后根据梯形的面积公式和三角形的面积公式即可求出图中实 线所围成的图形面积． 【解答】 解：∵EF ⊥FG，BG⊥AC， ∴∠EFA=∠AGB=90°，∴∠AEF+∠EAF=90°，∠BAG+∠ABG=90°， ∵AE⊥AB， ∴∠EAB=90°，∠EAF+∠BAG=90°， ∴∠EAF=∠ABG， 又AE=AB， ∴△AEF≌△BAG( AAS)， ∴AF=BG=3，AG=EF=6， 同理可证△BCG≌△CDH， ∴GC=DH=4，CH=BG=3， ∴FH=FA+ AG+GC+CH=16， ∴图中实线所围成的图形面积¿ S直角梯形EFHD−S△EFA−S△ABC−S△CDH ¿ 1 2 (6+4 )×16−1 2 ×3×6−1 2 ×3×10−1 2 ×3×4 ¿80−9−15−6=50， 故答为50． 11. 如图，在矩形BD 中，对角线，BD 交于点，过点作 EA ⊥CA交DB 的延长线于点E，若AB=3，BC=4， 则AO AE 的值为________． 【答】7 24 【解析】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有 的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法 是通过作平行线构造相似三角形；在利用三角形相似的性质时主要利用相似比计算线段的 长．也考查了矩形的性质．作BH ⊥OA于，利用矩形的性质得OA=OC=OB， ∠ABC=90°，则根据勾股定理可计算出AC=5，AO=OB=5 2，接着利用面积法计算 出BH=12 5 ，于是利用勾股定理可计算出OH= 7 10，然后证明△OBH∽△OEA，最后利 用相似比可求出OA AE 的值． 【解答】 解：作BH ⊥OA于，如图， ∵四边形BD 为矩形， ∴OA=OC=OB，∠ABC=90°， 在Rt △ABC中，AC= ❑ √3 2+4 2=5， ∴AO=OB=5 2， ∵1 2 BH ⋅AC=1 2 AB⋅BC， ∴BH=3×4 5 =12 5 ， 在Rt △OBH中，OH= ❑ √O B 2−B H 2 ¿ ❑ √( 5 2) 2 −( 12 5 ) 2 ¿ 7 10， ∵EA ⊥CA， ∴BH /¿ AE， ∴△OBH∽△OEA， ∴BH AE =OH OA ， ∴OA AE =OH BH = 7 10 12 5 = 7 24 ． 故答为7 24 ． 12. 如图，在三角形B 中，AB⊥AC于点，AB=6，AC=8， BC=10，点P 是线段B 上的一点，则线段P 的最小值为__ __________