面积定值、等值问题 一、方法突破 定值问题 【问题描述】 如图，抛物线 与x 轴交于、B 两点（点在点B 左侧），与y 轴交于点，连接 B，抛物线在线段B 上方部分取一点P，连接PB、P，若△PB 面积为3，求点P 坐标． P O A B C x y 思路1：铅垂法列方程解． 根据B、两点坐标得直线B 解析式：y=-x+3， 设点P 坐标为 ， 过点P 作PQ⊥x 轴交B A O P1 当点Q 坐标为（0,5）时，PQ 解析式为：y=-x+5， 联立方程： ，解之即可． 当点Q 坐标为（0,1）时，PQ 解析式为：y=-x+1， 联立方程： ，解之即可． 等值问题 【问题描述】 如图，抛物线 与x 轴交于、B 两点（点在点B 左侧），与y 轴交于点，连接 B，抛物线上存在一点P 使得△PB 的面积等于△B 的面积，求点P 坐标． P O A B 称该点为这个函 数图象的“等值点”．例如，点 是函数 的图象的“等值点”． （1）分别判断函数 ， 的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出 “等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）设函数 ， 的图象的“等值点”分别为点 ， ，过点 作 轴，垂足为 ．当 的面积为3 时，求 的值； 解：（1）在 中，令 ，得 不成立， 函数 的图象上不存在“等值点”； 在 中，令 ， 解得：

二次函数背景下的面积定值与等值问题 【典型例题】 母题：如图，已知抛物线过（4,0）、B（0,4）、（-2，0）三点，P 是抛物线上一点 （1） 若S△PB= S△B，求P 点坐标 x y B O C A （2） （☆）若△PB 面积为4，求P 点坐标 简析： ①在y 轴上找一点Q，使△QAB 5 面积为 Q 0 , （ 3 2）或 0 , （ 1 3 2 ） ②过点Q作AB的平行线 （3） （★）点D 坐标为（-1,1），P 在第一象限，若△PD 面积为4，求P 点坐标 x y D B O C A P 答：P（2，4），作铅垂高解方程即可 【模型解读】二次函数中的等值问题或定值问题 【问题描述】 如图，抛物线 与x 轴交于、B 两点（点在点B 左侧），与y 轴交于点，连接 B，抛物线在线段B 上方部分取一点P，连接PB、P，若△PB 面积为3，求点P 坐标． 1．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值 点”．例如，点（1，1）是函数y＝ x+ 的图象的“等值点”． （1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x 的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等 值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）设函数y＝ （x＞0），y＝﹣x+b 的图象的“等值点”分别为点，B，过点B 作B⊥x 轴，垂足为．当△B 的面积为3

数图象的“等值点”．例如，点 是函数 的图象的“等值点”． （1）分别判断函数 ， 的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出 “等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）设函数 ， 的图象的“等值点”分别为点 ， ，过点 作 轴，垂足为 ．当 的面积为3 时，求 的值； （3）若函数 的图象记为 ，将其沿直线 翻折后的图象记为 ．当 ， 两部分组成的图象上恰有2 个“等值点”时，直接写出 的取值范围． 【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答； （2）先根据“等值点”的定义求出函数 的图象上有两个“等值点” ， ，同理求出 ， ，根据 的面积为3 可得 ，求解即 可； （3）先求出函数 的图象上有两个“等值点” 或 ，再利用翻折的性 质分类讨论即可． 【解答】解：（1）在 中，令 ，得 不成立， 函数 的图象上不存在“等值点”； 在 中，令 ， 解得： 函数 的图象上有两个“等值点” 或 ； （2）在函数 中，令 ， 解得： ， ， ， 在函数 中，令 ， 解得： ， ， ， 轴， ， ， ， 的面积为3， ， 当 时， ， 解得 ， 当 时， ， △ ， 方程 没有实数根， 当 时， ， 解得： ， 综上所述， 的值为 或 ； （3）令 ， 解得： ， ， 函数 的图象上有两个“等值点” 或 ， ①当

图3 为我国部分区域春季开始日期等值线图。据此完成6～8 题。 （北京）股份有限公司 6．甲、乙、丙、丁四地中夏季最短的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．甲处等值线向西凸出的原因是（ ） A．纬度较高B．距海遥远C．位于山脊D．位于谷地 8．若全球气候大幅度变暖，则该区域（ ） A．甲地等值线将向西推进B．乙地等值线会总体东移 C．全年无冬区的北界 C．全年无冬区的北界南移D．30°纬线与春季开始日期等值线的交点将减少 图4 为某平原上孤立山丘及附近地质剖面图。图中①②③代表不同时期的地层。据北几成9～10 题。 9．上图中孤立山丘形成的主要原因是（ ） A．流水侵蚀B．断块抬升C．火山喷发D．褶皱隆起 10．地层①②③形成年代由老到新的排列顺序是（ ） A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 河曲是水流作用形成的地貌。山区和平原 7．D【解析】甲处为雅鲁藏布江河谷，河谷海拔较低，气温较高，入春较早。故D 选项正确。 （北京）股份有限公司 8．A【解析】全球变暖则入春日提前，甲处等值线将向西推进，乙地等值线会总体西移，全年无冬的北界北 移，因同纬度入春日提前，入春日等值线整体北移，则30°纬线与等值线的交点将增多。故A 选项正确 9．C【解析】孤立山丘主体由喷出岩冷凝而成，说明其成因是火山喷发。故C 选项正确。 10．C【解析】喷

24．（2022•费县一模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这 个函数图象的“等值点”，例如，点（2，2）是函数y＝2x 2 ﹣的图象的“等值点”． （1）分别判断函数y=5 x ，y=x+2的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出 “等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）写出函数y＝﹣x2+2 的等值点坐标； （3）若函数y＝﹣x2+2（x≤m）的图象记为1，将其沿直线x＝m 翻折后的图象记为2．当 1，2两部分组成的图象上恰有2 个“等值点”时，请写出m 的取值范围． 【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答； （2）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答； （3）由函数y＝﹣x2+2 的等值点坐标为（﹣2，﹣2），（1，1），再利用翻折的性质分 类讨论即可． 【解答】解：（1）在y¿ 5 x 中，令y＝x 得x¿ 5 x ， 解得x¿ ∴y¿ 5 x 的图象上存在两个“等值点”：（❑ √5，❑ √5）或（−❑ √5，−❑ √5）， 在y＝x+2 中，令y＝x 得x＝x+2，得0＝2 不成立， ∴函数y＝x+2 的图象上不存在“等值点”； 答：函数y¿ 5 x 的图象上存在两个“等值点”：（❑ √5，❑ √5）或（−❑ √5，−❑ √5），函数 y＝x+2 的图象上不存在“等值点”； （2）在y＝﹣x2+2 中，令y＝x

函数图象的“等值 点”．例如，点 是函数 的图象的“等值点”． （1）分别判断函数 的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出 “等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）设函数 的图象的“等值点”分别为点，B，过点B 作 轴，垂足为．当 的面积为3 时，求b 的值； （3）若函数 的图象记为 ，将其沿直线 翻折后的图象记为 ． 当 两部分组成的图象上恰有2 个“等值点”时，直接写出m 个“等值点”时，直接写出m 的取值范围． 【答】（1）函数y=x+2 没有“等值点”； 函数 的“等值点”为(0，0)， (2，2)；（2） 或 ；（3） 或 ．． 【分析】 （1）根据定义分别求解即可求得答； （2）根据定义分别求( ， )，B( ， )，利用三角形面积公式列出方程求解即可； （3）由记函数y=x2-2（x≥m）的图象为1，将1沿x=m 翻折后得到的函数图象记为2， 可得1与2的图象关于x=m 解：（1）∵函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解， ∴函数y=x+2 没有“等值点”； ∵函数 ，令y=x，则 ，即 ， 解得： ， ∴函数 的“等值点”为(0，0)，(2，2)； （2）∵函数 ，令y=x，则 ， 解得： (负值已舍)， ∴函数 的“等值点”为( ， )； ∵函数 ，令y=x，则 ， 解得： ， ∴函数 的“等值点”为B( ， )； 的面积为 ， 即 ， 解得： 或 ；

（北京）股份有限公司 A.东西向 B.南北向 C.西北—东南向 D.东北—西南向 读我国某地年降水量等值线分布示意图（下图），完成11～12 题。 （北京）股份有限公司 11.该地区年降水量的分布规律是 A.由东南向西北递增 B.由四周向中间递增 C.由东南向西北递减 D.由西南向东北递增 12.影响该地区年降水量等值线弯曲闭合的主要因素是 A.海陆位置 B.纬度位置 C.地形地势 D.大气环流 2015 二、非选择题（共4 小题，共52 分） 17.读图，完成下列要求。（12 分） （北京）股份有限公司 （1）试比较敦贺与横滨冬季降水量的大小并分析其原因。（4 分） （北京）股份有限公司 （2）结合等值线说明日本港口城市大多分布在东南沿海的主要自然原因。（4 分） （3）日本的土地利用类型中，耕地的比重较小，试指出其原因。（4 分） 18.阅读图文材料，完成下列要求。（18 分） 研究表明， 由东南向西北递增，A 正确， B、C、D 错误。故选A。 12.C【解析】结合图中区域自然环境特征可知，该地区年降水量等值线弯曲闭合的区域，为山区，受山地地 形抬升作用的影响，这些地区降水较多，C 正确；海陆位置影响，降水等值线平行于海岸线，纬度位置影响， 降水量等值线应该平行于纬线，该区域大气环流没有太大差异，A、B、D 错误。故选C。 13.B【解析】据材料可知，苏门答腊一带“烧笆”时正值每年的8

24．（2022•费县一模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这 个函数图象的“等值点”，例如，点（2，2）是函数y＝2x 2 ﹣的图象的“等值点”． （1）分别判断函数y=5 x ，y=x+2的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出 “等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）写出函数y＝﹣x2+2 的等值点坐标； （3）若函数y＝﹣x2+2（x≤m）的图象记为1，将其沿直线x＝m 翻折后的图象记为2．当 1，2两部分组成的图象上恰有2 个“等值点”时，请写出m 的取值范围． 1 25．（2022 春•武侯区校级月考）如图1，在平面直角坐标系xy 中，已知抛物线y＝x2+bx+ 与x 轴交于点（﹣1，0），B（5，0）两点，与y 轴交于点（0，﹣5）． （1）求抛物线解析式； （2）如图2，作出如下定义：对于矩形DEFG，其边长EF＝1，DE＝2k（k 为常数，且

迁移的距离叫河道变迁速率。下围为美 国小密苏里河（密苏里河上游支流）河漫滩上树木年龄等值线分布图。 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 （1）甲、乙两处均为废弃的曲流河床，推断其废弃时间的先后顺序，并简述依据。（6 分） （2）简述甲处由曲流河道演变成为河漫滩的过程。（6 分） （3）树龄等值线分布特征能够反映河道变迁的速率，试简述二者相关性。（4 分） 2022-2023 学年度上学期期中考试高二试题 分）洪水期间弯曲的河道裁弯取直，原有河道废弃， 成为湖泊；（2 分）新的湖泊由于缺少河水补给，逐渐干涸，河床裸露，形成河漫滩。（2 分） （3）树龄等值线分布密度越大的地方，说明相同时间内河漫滩形成的面积越小，即相同时间内河道迁移距离 小；（2 分）树龄等值线分布密度越小的地方，说明相同时间内河漫滩形成的面积大，即相同时间内河道迁 移距离大。（2 分） 1.C 中国空间站在太空中绕地球一圈的周长为：2×3 分）洪水期间弯曲的河道裁弯取直，原有河道废弃， 成为湖泊；（2 分）新的湖泊由于缺少河水补给，逐渐干涸，河床裸露，形成河漫滩。（2 分） （3）树龄等值线分布密度越大的地方，说明相同时间内河漫滩形成的面积越小，即相同时间内河道迁移距离 小；（2 分）树龄等值线分布密度越小的地方，说明相同时间内河漫滩形成的面积大，即相同时间内河道迁 移距离大。（2 分）

D. 喜马拉雅山脚下哺乳动物成群 【答案】1. A2. B 下图为某区域地壳厚度等值线图（单位：千米），读图完成下面小题。 3. 关于图示信息的解读正确的是（ ） A. 南部地壳厚度高于北部 B. 北部地壳厚度的变化最大 C. 中部莫霍界面埋深最浅 D. 北部莫霍界面埋深大于南部 4. 若图中等值线表示岩石圈厚度，则0 千米处为（ ） A. 海平面 B. 莫霍界面 C. 软流层顶部 广西北海市进行“海绵城市”的建设，可采取的合理有效的措施是（） A. 增加绿地面积 B. 减少郊区农田数量 C. 铺设水泥路面 D. 增加城市建筑高度 【答案】7. C8. A 下图为某海域海水表层水温等值线分布示意图，读图完成下面小题。 9. 图示①处洋流所在半球及其性质分别是（ ） A. 北半球暖流 B. 南半球寒流 C. 北半球寒流 D. 南半球暖流 10. 图示洋流的影响是（ ）