勾股定理 模型（二十七）——蚂蚁爬行模型 ◎结论1：蚂蚁沿着长方体的表面爬行，从M 到的最短路径： MN min＝❑ √最长边 2+( 最短边＋较短边) 2 长方体表面走最短路径：化曲为平：展平面、两点连、用勾股 示意图 展平面 用勾股 M²=（＋b）²＋²＝²＋ b²＋²＋2b M²＝（＋）²＋b²＝²＋b² ＋²＋2 M²＝（＋b）²＋²＝²＋b² ◎结论2：蚂蚁沿着圆柱体的表面爬行，从到B 的最短路径： ①同侧全周长＝ ❑ √(2πr ) 2+h 2 ②异侧半周长＝ ❑ √(πr ) 2+h 2 圆柱表面积最短路径：化曲为平：展平面、两点连、用勾股 同侧全周长 底面圆的周长2πR 异侧半周长 底面圆的周长πR ◎结论3：蚂蚁吃蜂蜜问题∶求蚂蚁从沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到B 的最短路径 关于杯子上沿的对称点′点，设′到B 的垂直距离为，则问题 转化为异侧半周长的问题 由图可知蚂蚁爬行的最短路径长为 ´B＝ ❑ √(πr ) 2+h 2 1．（2022·广东·湛江市雷阳实验学校八年级阶段练习）如图，长方形的长为15，宽为10，高为20，点 离点 的 距离为5，蚂蚁如果要沿着长方形的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短距离是（ ） ．35 B． ．25 D． 【答】 【分析】先把

勾股定理 模型（二十七）——蚂蚁爬行模型 ◎结论1：蚂蚁沿着长方体的表面爬行，从M 到的最短路径： MN min＝❑ √最长边 2+( 最短边＋较短边) 2 长方体表面走最短路径：化曲为平：展平面、两点连、用勾股 示意图 展平面 用勾股 M²=（＋b）²＋²＝²＋ b²＋²＋2b M²＝（＋）²＋b²＝²＋b² ＋²＋2 M²＝（＋b）²＋²＝²＋b² ◎结论2：蚂蚁沿着圆柱体的表面爬行，从到B 的最短路径： ①同侧全周长＝ ❑ √(2πr ) 2+h 2 ②异侧半周长＝ ❑ √(πr ) 2+h 2 圆柱表面积最短路径：化曲为平：展平面、两点连、用勾股 同侧全周长 底面圆的周长2πR 异侧半周长 底面圆的周长πR ◎结论3：蚂蚁吃蜂蜜问题∶求蚂蚁从沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到B 的最短路径 关于杯子上沿的对称点′点，设′到B 的垂直距离为，则问题 转化为异侧半周长的问题 由图可知蚂蚁爬行的最短路径长为 ´B＝ ❑ √(πr ) 2+h 2 1．（2022·广东·湛江市雷阳实验学校八年级阶段练习）如图，长方形的长为15，宽为10，高为20，点 离点 的 距离为5，蚂蚁如果要沿着长方形的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短距离是（ ） ．35 B． ．25 D． 2．（2022·全国·

重难点13 几何最值问题2 种题型 （将军饮马与蚂蚁爬行，16 种模型） 目 录 题型01 将军饮马 题型02 蚂蚁爬行 题型01 将军饮马 模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中 隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿 营问如何行走才能使总的路程最短 模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短 直角三角形30 度角的性质，勾股定理， 综合掌握各图形的判定和性质是解题的关键． 题型02 蚂蚁爬行 蚂蚁爬行模型的概述：蚂蚁在某几何体的一个顶点，爬行到另外一个相对的顶点去吃食物，求所走的最短 路径是多少。 蚂蚁爬行模型的实质：两点之间，线段最短。 模型一：蚂蚁沿着长方体表面爬行，从点到点B 的最短距离： 解题方法：在长方体问题中，我们需要将长方体展开，然后利用 两点之间线 段 2+2ac 前+右 B= ❑ √c 2+（a+b） 2= ❑ √a 2+b 2+c 2+2ab 【蚂蚁爬行之模型一 专项训练】 1．（2023·江苏常州·校考一模）如图，是一个棱长为1 的正方体纸盒，若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表 面，从顶点爬到顶点B 去觅食，则需要爬行的最短路程是（ ） ．❑ √3 B．2 ．❑ √5 D．3 【答】 【分析】根据正方体展开图的特点，将正方体展开，然后利用勾股定理求解即可．

重难点13 几何最值问题2 种题型 （将军饮马与蚂蚁爬行，16 种模型） 目 录 题型01 将军饮马 题型02 蚂蚁爬行 题型01 将军饮马 模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中 隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿 营问如何行走才能使总的路程最短 模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短 √3，AC=BE=2 PQ=3，BC=4 BR．求线段CQ+PQ+PR的和的 最小值． 题型02 蚂蚁爬行 蚂蚁爬行模型的概述：蚂蚁在某几何体的一个顶点，爬行到另外一个相对的顶点去吃食物，求所走的最短 路径是多少。 蚂蚁爬行模型的实质：两点之间，线段最短。 模型一：蚂蚁沿着长方体表面爬行，从点到点B 的最短距离： 解题方法：在长方体问题中，我们需要将长方体展开，然后利用 两点之间线 段 2+2ac 前+右 B= ❑ √c 2+（a+b） 2= ❑ √a 2+b 2+c 2+2ab 【蚂蚁爬行之模型一 专项训练】 1．（2023·江苏常州·校考一模）如图，是一个棱长为1 的正方体纸盒，若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表 面，从顶点爬到顶点B 去觅食，则需要爬行的最短路程是（ ） ．❑ √3 B．2 ．❑ √5 D．3 2．（2020·陕西西安·校考模拟预测）如图

春•五华区期末）如图，正方体的棱长为2m，点B 为一条棱的中点．蚂蚁在正 方体表面爬行，从点爬到点B 的最短路程是（ ） ．❑ √10m B．4m ．❑ √17m D．5m 2．（2022 春•碑林区校级期末）如图，圆柱的底面周长为12m，B 是底面圆的直径，在圆 柱表面的高B 上有一点D，且B＝10m，D＝2m．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表 面爬行到点D 的最短路程是（ ）m． ．14 B．12 ．10 √7米 B．❑ √11米 ．❑ √13米 D．5 米 5．（2022 秋•沈阳期末）如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B 离点的距离为1， 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点B，需要爬行的最短路程是（ ） ．❑ √21 B．5 ．❑ √29 D．❑ √37 6．（2022 春•郾城区期末）如图，台阶阶梯每一层高20m，宽30m，长50m，一只蚂蚁从 点爬到B 点，最短路程是（ 9．（2022 春•靖西市期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中B＝7m，B＝4m， BF＝6m，点M 在棱B 上，且M＝1m，点是FG 的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的 外表面从点M 爬行到点，它需要爬行的最短路程为（ ） ．10m B．4 ❑ √5cm ．6 ❑ √2cm D．2❑ √13cm 10．（2022 秋•芝罘区期中）某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜

青蛙在陆地上最常见的运动方式是（）。 A. 爬行B. 跳跃C. 飞行D. 游泳 3. 能在水中、陆地和空中活动的动物是（）。 A. 企鹅B. 蝙蝠C. 海豚D. 蜥蜴 4. 蛇的运动方式主要是（）。 A. 行走B. 爬行C. 飞行D. 游泳 5. 下列动物中，用鳍游泳的是（）。 鲨鱼D. 青蛙 6. 袋鼠的主要运动方式是（）。 A. 奔跑B. 跳跃C. 飞行D. 爬行 7. 蝴蝶的运动方式包括（）。 A. 爬行和飞行B. 跳跃和游泳C. 飞行和奔跑D. 游泳和爬行 8. 蜗牛的运动依靠（）。 A. 翅膀B. 足部黏液C. 鳍D. 四肢 9. 10. 蝙蝠在空中的运动方式是（）。 A. 滑翔B. 飞行C. 跳跃D. 游泳 二、多项选择题（共10 题，每题2 分） 1. 以下动物主要通过爬行运动的有（）。（多选） A. 鳄鱼B. 蜥蜴C. 蜘蛛D. 燕子 2. 下列动物能飞行的有（）。（多选） A. 蜻蜓B. 鸵鸟C

一．选择题（共12 小题） 1．（2022 春•五华区期末）如图，正方体的棱长为2m，点B 为一条棱的中点．蚂蚁在正 方体表面爬行，从点爬到点B 的最短路程是（ ） ．❑ √10m B．4m ．❑ √17m D．5m 【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最 短，根据勾股定理可求出最短路径长， 【解答】解：如图， 它运动的最短路程B¿ ❑ √(2+2) √17（m）． 故选：． 2．（2022 春•碑林区校级期末）如图，圆柱的底面周长为12m，B 是底面圆的直径，在圆 柱表面的高B 上有一点D，且B＝10m，D＝2m．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表 面爬行到点D 的最短路程是（ ）m． 1 ．14 B．12 ．10 D．8 【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为12m，求出B 的值；再在Rt△BD 中，根据勾股定理求出D 的长，D 【解答】解：圆柱侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面周长为12m， ∴B＝6m． ∵BD＝8m， 在Rt△BD 中，D2＝B2+BD2， ∴D¿ ❑ √6 2+8 2=¿10（m）， 即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D 的最短距离是10m． 故选：． 3．（2022 春•洛阳期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为12m，底面周长为18m．在杯内离杯 底4m 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4m

4. 袋鼠的运动方式是（）。 A. 爬行B. 跳跃C. 游泳D. 飞行 5. 蛇在草地上移动的方式是（）。 A. 行走B. 滑行C. 飞行D. 游泳 6. 青蛙既能在陆地上跳跃，也能在水中（）。 A. 飞翔B. 爬行C. 游泳D. 奔跑 7. 蝙蝠在空中的运动方式是（）。 蝙蝠在空中的运动方式是（）。 A. 滑翔B. 奔跑C. 拍打翅膀飞行D. 跳跃 8. 下列动物中，依靠吸盘爬行的是（）。 A. 壁虎B. 蜗牛C. 蚂蚁D. 蚯蚓 9. 企鹅在水中的运动像（）。 A. 飞翔B. 跳跃C. 游泳D. 滑冰 10. 蜻蜓的翅膀主要用于（）。 A 蜥蜴 4. 下列动物运动方式与蚯蚓类似的是（）。 A. 蛇B. 毛毛虫C. 蚂蚁D. 蜗牛 5. 乌龟的运动方式包括（）。 A. 爬行B. 游泳C. 飞翔D. 跳跃 6. 属于跳跃运动的动物是（）。 A. 青蛙B. 袋鼠C. 兔子D. 大象 7. 下列动物中，既会游泳又会行走的有（）。

身体分节B. 有外骨骼C. 有足D. 有触角 3. 脊椎动物中，真正适应陆地生活的类群是（ ） A. 鱼类B. 两栖类C. 爬行类D. 鸟类 4. 下列属于鸟类特有特征的是（ ） A. 体温恒定B. 卵生C. 有羽毛D. 用肺呼吸 5. 哺乳动物与其他脊椎动物的本质区别是（ 蜥蜴C. 家鸽D. 鲸 4. 哺乳动物的特征包括（ ） A. 体表被毛B. 胎生C. 哺乳D. 体温恒定 5. 下列属于爬行动物特征的是（ ） A. 体表覆盖角质鳞片B. 用肺呼吸C. 卵生D. 体温恒定 6. 下列动物中，属于恒温动物的有（ ） A. 金鱼B 爬行动物的生殖发育完全脱离了水的限制。（ ） 9. 哺乳动物的大脑发达，适应复杂环境的能力强。（ ） 10. 动物的进化历程是线性的，从低等到高等单向发展。（ ） 四、简答题（共4 题，每题5 分） 1. 简述鱼类、两栖类、爬行类、鸟类和哺乳类在呼吸器官上的进化特 点。 2. 比较环节动物与节肢动物的主要异同点。 3. 为什么说爬行动物是真正适应陆地生活的脊椎动物？列举两点依

人手与马前肢 5. 中生代被称为"爬行动物时代"，其典型代表是： A. 三叶虫 B. 恐龙 C. 猛犸象 D. 始祖鸟 6. 生物进化的基本单位是： A. 个体 B. 种群 C. 群落 D. 生态系统 7. 下列动物在地质年代中出现最早的是： A. 两栖类 B. 哺乳类 C. 鱼类 D. 爬行类 8. 人类与现代类人猿的共同祖先是： C. 自然选择决定方向 D. 隔离导致新种形成 7. 脊椎动物进化顺序正确的是（ ） A. → 鱼类 两栖类 B. → 爬行类 鸟类 C. → 两栖类 哺乳类 D. → 爬行类 哺乳类 8. 下列描述符合生物进化规律的是（ ） A. 从单细胞到多细胞 B. 从水生到陆生 C. 从低等到高等 D. 从自养到异养 所有生物都起源于原始共同祖先。（ ） 9. 基因突变都具有适应性意义。（ ） 10. 生物进化方向由环境变化决定。（ ） 四、简答题（每题5 分，共4 题） 1. 绘制脊椎动物主要类群（鱼类、两栖类、爬行类、鸟类、哺乳类） 的进化树简图，并标注关键特征。 2. 对比自然选择与人工选择的异同点（至少3 点）。 3. 列举3 种生物进化中的过渡类型生物并说明其意义。 4. 分析生态系统稳定性与生物多样性在进化中的关系。