题型22 5 类圆锥曲线解题技巧 （焦点三角形、阿基米德三角形、焦点弦、中点弦、弦长问题（硬解 定理-万能公式) 技法01 圆锥曲线中焦点三角形的应用及解题技巧 知识迁移 1. 椭圆焦点三角形主要结论 在ΔP F1 F2 中,记 ∠F1 P F2=θ, 椭圆定义可知: (1). |P F1|+|P F2|=2a,|F1 F2|=2c. (2) . 焦点三角形的周长为 L=2a+2c. |P F1∥P F2|= 2b 2 1+cosθ . (4). 焦点三角形的而积为: S=1 2|P F1∥P F2|sinθ=b 2tan θ 2. 2. 双曲线焦点三角形主要结论 技法01 圆锥曲线中焦点三角形的应用及解题技巧 技法02 圆锥曲线中阿基米德三角形的应用及解题技巧 技法03 圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧 技法04 圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧 用及解题技巧 圆锥曲线的焦点三角形及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会 结合公式运算，需强化训练复习 如图, F1、F2 是双曲线的焦点, 设 P 为双曲线上任意一点, 记 ∠F1 P F2=θ, 则 △P F1 F2的面积 S= b 2 tan θ 2 例1-1．（2023·全国·统考高考真题）设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，则 （

题型22 5 类圆锥曲线解题技巧 （焦点三角形、阿基米德三角形、焦点弦、中点弦、弦长问题（硬解 定理-万能公式) 技法01 圆锥曲线中焦点三角形的应用及解题技巧 知识迁移 1. 椭圆焦点三角形主要结论 在ΔP F1 F2 中,记 ∠F1 P F2=θ, 椭圆定义可知: (1). |P F1|+|P F2|=2a,|F1 F2|=2c. (2) . 焦点三角形的周长为 L=2a+2c. |P F1∥P F2|= 2b 2 1+cosθ . (4). 焦点三角形的而积为: S=1 2|P F1∥P F2|sinθ=b 2tan θ 2. 2. 双曲线焦点三角形主要结论 技法01 圆锥曲线中焦点三角形的应用及解题技巧 技法02 圆锥曲线中阿基米德三角形的应用及解题技巧 技法03 圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧 技法04 圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧 用及解题技巧 圆锥曲线的焦点三角形及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会 结合公式运算，需强化训练复习 如图, F1、F2 是双曲线的焦点, 设 P 为双曲线上任意一点, 记 ∠F1 P F2=θ, 则 △P F1 F2的面积 S= b 2 tan θ 2 例1-1．（2023·全国·统考高考真题）设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，则 （

（定义法、焦点三角形、斜率乘积、定比分点、余弦定理、齐次方程 求离心率） 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 知识迁移 椭圆公式1: ，公式2: 变形 ，双曲线公式1: ，公式 例1-1．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知椭圆 的长轴长是短轴长的2 倍，则 的 离心率为（ ） A． B． C． D． 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 技法02 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知椭圆C： 的右焦点为 ，P 为椭圆的左 顶点，且 ，则C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）一个椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，则该椭圆的离心率为 . 3．（2023·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）已知双曲线C： ，其右焦点到渐近 线的距离为2，则该双曲线的离心率为 ，则椭圆 的离心 率为 . 技法02 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 知识迁移 已知棚圆方程为 ,两焦点分别为 , 设焦点三角形 , ,则椭圆的离心率 公式 3:已知双曲线方程为 两焦点分别为 ,设焦点三角形 ,则 例2．（全国·高考真题）设椭圆C： 的左、右焦点分别为 、 ，P 是C 上的点， 焦点三角形中求离心率方法较多，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，难度较小，需强化练习

类圆锥曲线离心率问题解题技巧 （定义法、焦点三角形、斜率乘积、定比分点、余弦定理、齐次方程 求离心率） 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 知识迁移 椭圆公式1: ，公式2: 变形 ，双曲线公式1: ，公式 例1-1．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知椭圆 的长轴长是短轴长的2 倍，则 的 离心率为（ ） 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 技法02 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 例1-2．（2023·江苏模拟）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线 的离心率为（ ） A．2 B． C． D． . 1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知椭圆C： 的右焦点为 ，P 为椭圆的左 顶点，且 ，则C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列式解得 ，进而可得. 【详解】由题意可得： ，解得 ， 所以C 的离心率为 3．（2023·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）已知双曲线C： ，其右焦点到渐近 线的距离为2，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据点到直线的距离公式求出 ，并根据离心率公式求解即可. 【详解】由于对称性，右焦点到两条渐近线的距离都为2， 由题可知，过一三象限的渐近线为 ，即 ， 所以右焦点 到渐近线的距离为 ， 又 ，∴ ， ∴ ． 故答案为: .

二、了解与透镜有关的名词 1 主光轴：通过两个球面球心的直线。 2 光心：透镜中心。 3 焦点：平行于主轴的平行光通过凸透镜后会聚于一点，用F 表示。 4 焦距：焦点到光心的距离，用f 表示。 5 物距：物体到凸透镜的距离，用U 表示。 6 像距：像到凸透镜的距离，用V 表示。 三、三条特殊光线 重难点突破 1、如图, 是透镜的焦点,其中正确的光路图是( ) B D 2、如图光学元件中属于凸透镜的是(光学元件用序号代表)( 会聚光束发散光束 D 无法确定 5、关于透镜,下列说法中不正确的是( ) 凸透镜和凹透镜都有焦点,凸透镜有实焦点,凹透镜有虚焦点 B 凹透镜对光线有发散作用,但通过凹透镜的光线也可能会聚在一点 凸透镜对光线有会聚作用,因此通过凸透镜的光线都一定会聚在一点 D 平行于主光轴的光线,通过凸透镜后一定经过焦点 6、将凸透镜正对太阳光,其下方的纸上呈现一个光斑,这时光斑到凸透镜的距离为L,若凸透镜 7、完成图中的光路图。 8、完成下列光路图。 参考答 1、答： 解析：入射光线平行于主光轴,经凸透镜折射后,折射光线应过焦点,故错误;通过焦点的光线经 凸透镜折射后将平行于主光轴,故B 错误;平行于主光轴的入射光线经凹透镜折射后,折射光线 的反向延长线过焦点,故正确;凹透镜对光线有发散作用,而D 图中的凹透镜对光线有会聚作用, 故D 错误。 2、答：B 解析：由图可见,()、(d)是中间厚、边缘薄

凹透镜：中间薄两边厚。 ②成像法；放在书上的字上，放大是凸透镜，缩小是凹透镜。 ③太阳聚焦法：把透镜放在阳光下，再放一张白纸在透镜下，若能在纸上找到一个很亮的 点（焦点）即为凸透镜，否则为凹透镜。 2、主光轴、光心、焦点和焦距 （1）过透镜两个球面球心的直线叫主光轴（主轴），用“/”表示,透镜的几何中心叫光心， 用“”表示。 C C O F F C C O F F 凸透镜光路 点，用“F”表示，如图（2）所示；平行于凹透镜主光轴的光线经凹透镜折射后发散，其 反向延长线会交于一点，这是凹透镜的焦点（虚焦点），如图（2）b 所示。 凸透镜光路概念 b 凹透镜光路概念 （3）焦点到光心的距离焦距，焦距用“f”表示，图（1）中就是“F”之间的距离。凸透镜 和凹透镜都各有两个焦点，凸透镜的焦点是实焦点，凹透镜的焦点是虚焦点。 （4）物体到光心的距离叫物距，用“u”表示。 （5）像到光心的距离叫像距，用“v”表示。 （2）凹透镜对光有发散作用．平行光线通过凹球面透镜发生偏折后，光线发散，成为发 散光线，不可能形成实性焦点，沿着散开光线的反向延长线，在投射光线的同一侧交于F 点，形成的是一虚焦点（凹透镜有两个虚焦点）。 4、透镜的光路图，透镜的三条特殊光线：过光心的光线、平行于主光轴的光线、经过凸 透镜焦点的光线。 （1）过光心的光线，经透镜折射后传播方向不改变，如图所示。 C C O F F C C

学习目标 02 预习导学 第五章 透镜及应用 第1 节 透镜 课程标准 学习目标 认识凸透镜的会聚作用和 凹透镜的发散作用。 1．能正确区分凸透镜和凹透镜，了解透镜的光心、主光轴、焦点和焦距。 2．能说出凸透镜对光起会聚作用、凹透镜对光起发散作用，能正确解释会 聚、发散。 （一）课前阅读： 预习：请同学们认真阅读课本P90--92 页内容，思考并且完成下列活动： 活动1 活动2：请同学们阅读课本“透镜对光的作用”，并回答下面的问题： （1）凸透镜对光有什么作用？ （2）凹透镜对光有什么作用？ 活动3：请同学们阅读课本“焦点焦距”，并回答下面的问题： （1）什么叫焦点焦距？ （2）如何测量凸透镜的焦点焦距？ （二）基础梳理 51 透镜 一、透镜 1 定义：能让光从一侧透过到另一侧的镜子。 2 分类： 透镜和 透镜。 3 特点：（1）凸透镜：中央厚，边沿薄。 作用：（1）凸透镜： 光。 （2）凹透镜： 光。 二、了解与透镜有关的名词 1 主光轴：通过两个球面球心的直线。 2 光心：透镜中心。 3 焦点：平行于主轴的平行光通过凸透镜后会聚于一点，用F 表示。 4 焦距：焦点到光心的距离，用f 表示。 5 物距：物体到凸透镜的距离，用U 表示。 6 像距：像到凸透镜的距离，用V 表示。 三、三条特殊光线 【加油站1】 1 凸透镜：

平行于主光轴的光线经折射后过焦点，对凹透镜来说，它的焦点是虚 焦点，是折射光线的反向延长线过焦点；对凸透镜，过焦点的光线经 折射后与主光轴平行，对凹透镜是虚焦点，是入射光线的正对焦点。 三条光线如图所示。（口诀：平行过焦，过焦平行；过光心，向不变） 典例·解读 例1、下列说法正确的是( ) 不论是凸透镜还是凹透镜，经过光心的光线传播方向都不变 B 凸透镜有虚焦点，凹透镜有实焦点 放在凹透镜虚焦点上的光 放在凹透镜虚焦点上的光源，它发出的光线经过凹透镜折射后，平行于主光轴 D 凸透镜有两个焦点，凹透镜只有一个焦点 【答】 【解析】经过透镜光心的光线传播方向不变，选项正确；凸透镜有实焦点，凹透镜有虚焦点，B 选项 错误；凹透镜对光有发散作用，放在凹透镜虚焦点上的光源，发出的光线经凹透镜折射后，变得更 发散了，选项错误；凸透镜和凹透镜都有两个焦点，D 选项错误。 例2、完成图示的光路图 6 页 专题6-2 三条特殊光线 例1、【答】 【解析】经过透镜光心的光线传播方向不变，选项正确；凸透镜有实焦点，凹透镜有虚焦 点，B 选项错误；凹透镜对光有发散作用，放在凹透镜虚焦点上的光源，发出的光线经凹 透镜折射后，变得更发散了，选项错误；凸透镜和凹透镜都有两个焦点，D 选项错误。 例2、 【答】 例3、【答】 培优·训练 一、选择题 1、 2、 3、D

有一个选项符合要求；9-12 小题有多个选项符合要求） 1.已知焦点在 轴上的椭圆的离心率为 ，且它的长轴长等于4，则椭圆 的标准方程是 A. B. C. D. 2.点 满足方程 ，则点 的轨 迹图形为 A.圆 B.椭圆 C.直线 D. 线段 3.以椭圆 的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三 角形为等边三角形，且椭圆 上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆 的标准方程为 A 分别是椭圆的左、右焦点，若 为直角三角形，则满足条件的点 有 A.2 个 B. 个 C. 个 D. 个 5.已知 为椭圆 的右焦点， 为坐标原点， 为 椭圆 上一点，若 ， ，则椭圆 的离心率为 A. B. C. D. 6.已知直线 与圆心 ，半径为5 的圆相交于点 ， ，若点 为圆 上一个动点，则 的面积的最大值为 A. B. C. D. 7.已知 是椭圆 的左焦点， 为椭圆上的动点，且点 A. B. C. D. 8.已知圆 与 轴的交点分别为 ， ，点 是直线 上的任意一点，椭圆 以 ， 为焦点且过点 ，则椭圆 的离心率 的取值范围为 A. B. C. D. 9.（多选题）已知椭圆 的中心为坐标原点，焦点 ， 在 轴上，短 轴长为2，离心率为 ，过焦点 作 轴的垂线交椭圆 于 、 两点， 则下列说法正确的是 A.椭圆 的方程为 B. 椭圆 的方程为 C. D

有一个选项符合要求；9-12 小题有多个选项符合要求） 1.已知焦点在 轴上的椭圆的离心率为 ，且它的长轴长等于4，则椭圆 的标准方程是 A. B. C. D. 2.点 满足方程 ，则点 的轨 迹图形为 A.圆 B.椭圆 C.直线 D. 线段 3.以椭圆 的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三 角形为等边三角形，且椭圆 上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆 的标准方程为 A 分别是椭圆的左、右焦点，若 为直角三角形，则满足条件的点 有 A.2 个 B. 个 C. 个 D. 个 5.已知 为椭圆 的右焦点， 为坐标原点， 为 椭圆 上一点，若 ， ，则椭圆 的离心率为 A. B. C. D. 6.已知直线 与圆心 ，半径为5 的圆相交于点 ， ，若点 为圆 上一个动点，则 的面积的最大值为 A. B. C. D. 7.已知 是椭圆 的左焦点， 为椭圆上的动点，且点 A. B. C. D. 8.已知圆 与 轴的交点分别为 ， ，点 是直线 上的任意一点，椭圆 以 ， 为焦点且过点 ，则椭圆 的离心率 的取值范围为 A. B. C. D. 9.（多选题）已知椭圆 的中心为坐标原点，焦点 ， 在 轴上，短 轴长为2，离心率为 ，过焦点 作 轴的垂线交椭圆 于 、 两点， 则下列说法正确的是 A.椭圆 的方程为 B. 椭圆 的方程为 C. D