2021-2022学年重庆市第八中学高二上学期上月周考（一）数学试题Word版含答案(1)试卷

重庆八中高2023 级高二（上）数学周考试题 （一） 一、选择题（本大题12 个小题，每小题5 分，共60 分，其中1-8 小题只 有一个选项符合要求；9-12 小题有多个选项符合要求） 1.已知焦点在 轴上的椭圆的离心率为 ，且它的长轴长等于4，则椭圆 的标准方程是 A. B. C. D. 2.点 满足方程 ，则点 的轨 迹图形为 A.圆 B.椭圆 C.直线 D. 线段 3.以椭圆 的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三 角形为等边三角形，且椭圆 上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆 的标准方程为 A. B. C. D. 4.已知椭圆 上一点 ， ， 分别是椭圆的左、右焦点，若 为直角三角形，则满足条件的点 有 A.2 个 B. 个 C. 个 D. 个 5.已知 为椭圆 的右焦点， 为坐标原点， 为 椭圆 上一点，若 ， ，则椭圆 的离心率为 A. B. C. D. 6.已知直线 与圆心 ，半径为5 的圆相交于点 ， ，若点 为圆 上一个动点，则 的面积的最大值为 A. B. C. D. 7.已知 是椭圆 的左焦点， 为椭圆上的动点，且点 的坐 标是 ，则 的最大值是 A. B. C. D. 8.已知圆 与 轴的交点分别为 ， ，点 是直线 上的任意一点，椭圆 以 ， 为焦点且过点 ，则椭圆 的离心率 的取值范围为 A. B. C. D. 9.（多选题）已知椭圆 的中心为坐标原点，焦点 ， 在 轴上，短 轴长为2，离心率为 ，过焦点 作 轴的垂线交椭圆 于 、 两点， 则下列说法正确的是 A.椭圆 的方程为 B. 椭圆 的方程为 C. D. 的周长为 10. （ 多 选 题 ） 已 知 圆 ， 直 线 .下列说法正确的是 A.直线恒过定点 B.圆 被 轴截得的弦长为 C.直线被圆 截得弦长存在最大值，此时直线的方程为 D.直线被圆 截得弦长存在最小值，此时直线的方程为 11.（多选题）在 中，已知 ，给出下 列结论中正确结论是 A.由已知条件，这个三角形被唯一确定 B. C. 一定是钝三角形 D.若 ，则 的面积是 12.（多选题）已知 是椭圆 上一点，椭圆的左、右焦点分别 为 ， ，且 ，则 A. 的周长为12 B. C.点 到 轴的距离为 D. 二、填空题（本大题4 个小题，每小题5 分，共20 分） 13.已知 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围为__ ______. 14.已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆 上一 点， 是 的中点， ，则点 到椭圆左焦点 的距离 ． 15.已知 、 分别为椭圆的左、右焦点，等腰直角三角形 两腰的 中点 、 在椭圆上，则椭圆的离心率为 . 16.若点 和点 分别为椭圆 的中心和左焦点，点 为椭圆上 的任意一点，则 的最大值为 . 三、解答题：（本大题6 个小题，共70 分）各题解答必须答在答题卡上 （必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 17. 在 中，已知角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 . （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）若 ， ，求 的面积. 18.如图， 是正方形， 是正方形的中心， 底面 ， 是 的中点. （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求证：平面 平面 . 19.已知椭圆 的离心率为 ，短轴的一个端点到 椭圆的一个焦点的距离为 . （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）直线 与椭圆 交于不同的 、 两点，求 为坐标 原点）的面积. 20.如图.在四棱锥 中， ， ， 平面 ，且 ， ， 、 分别为棱 ， 的中点. （Ⅰ）证明： ， ， ， 四点共面，且 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值. 21. 已知两定点 ， ，坐标 平面内的动点 满足 . （Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程； （Ⅱ）过点 的直线 与曲线 相交于 ， 两点，且 ，求 直线 的方程. 22.已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 外切并且与圆 内切，圆心 轨迹为曲线 . （Ⅰ）求曲线 的方程； （Ⅱ）若 、 是曲线 上关于 轴对称的两点，点 ，直线 交曲线 于另一点 ，求证：直线 过定点，并求该定点的坐标. 重庆八中高2023 级高二（上）数学周考试题 （一） 参考答案 13. 14. 15. 16. 8.解：圆 与 轴的交点分别为 ， ，点 是直线 上的任意一点，椭圆 以 ， 为焦点且过点 ，可知 ， ， ， 是直线上的点， 到 、 两点距离之和的最 小值为： 关于直线的对称性 与 的距离， 设 ，可得 ，解得 ， ，所以 ， ，所以椭圆的长轴长 ，所以 的最小值为 ， 椭圆的离心率的最大值为： .椭圆 的离心率的取值范围为 ， .故选： . 11.解： ， 设 ， ， ， ，得 ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C C D D D B ACD BCD BC BCD . 则 ，由于三角形 的边长不确定，则三角形不确定，故 错误; ，故 正确， ， 是钝角， 是 钝角三角形，故 正确， 若 ，则 ，则 ，即 ， ， ， 的面积 ．故 错误，故选： ． 12.解：由椭圆 ，得 ， ， . 设 ， ， ，于是 的周长为 ，故 错误；在△ 中，由余弦定理可得： ， 可 得 ， 得 . 故 ，故 正确； 设 到 轴的距离为 ，则 ，得 ，故 正确； ，故 正确.故选： . 16.解：设 ，则 ， ， ， 又 点 在 椭 圆 上 ， 所 以 ， 又 ，所以当 时， 取得最大值为6，即 的最大值为6， 17.解：（Ⅰ）根据题意， ， ， 是 的内角， 若 ，又由正弦定理： ， 可得 ， 又由 且 ， 则有 ， 化简得： ，且 ，所以 ； （ Ⅱ ） 根 据 题 意 ， ， ， 则 有 ， 即 ，可得 ， 又 ，则 .故所求 的面积为 . 18.证明：（Ⅰ）连接 ， 是正方形， 是正方形的中心， 是 的中点， 是 的中点， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ； （Ⅱ） 是正方形， 是正方形的中心， ， 底面 ， 平面 ， ， ， 、 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 . 19.解：（Ⅰ）由离心率为 ，可得 ； 短轴的一个端点到椭圆的一个焦点的距离为 ，可得 ， ， ， 椭圆 的方程： . （Ⅱ）设 ， ， ， ，直线 与 轴的横截距为1. 联立直线 与椭圆 方程 ，得 ， ， ， 20.（Ⅰ）证明：因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ； 又因为 ，所以 .从而 ， ， ， 四点共面； 因为 平面 ， 平面 .所以 ， 又因为 ， ，所以 平面 ，从而 ， 因为 ，且 为 的中点，所以 ； 又因为 ，所以 平面 ； （Ⅱ）解：如图，连结 ； 由（Ⅰ）知 平面 ， 所以， 为直线 在平面 内的射影，且 ， 所以， 即为直线 与平面 所成的角： 在直角梯形 内，过 作 于 ，则四边形 为矩形； ，在 中， ； 所以， ， ， 在 中， ， ， ， 所以， . 综上，直线 与平面 所成角的正弦值为 . 21. 解 ： （ Ⅰ ） 设 ， 则 ， ， 代 入 得 ， ， 化简即得曲线 的方程为 . （Ⅱ） 若直线 的斜率不存在时，此时点 ， ， ，不符合题意； 若直线 的斜率为 时，直线 的方程设为 ，设 ， ， ， . 联立 ，得 ， 则 ， ， ， 所以 ，解之得 ， 故直线 为 . 22.解：（Ⅰ）圆 的圆心为 ，半径 ， 圆 的圆心为 ，半径 ， 设动圆 的半径为 ， 圆 与圆 外切，与圆 内切， ， ， . 曲线 是以 ， 为左右焦点，长半轴长为2 的椭圆（左顶点除外）， 其方程为 ； （Ⅱ）设 ， ， ， ，则 ， ， 由题意知直线 的斜率存在，设直线 为： ，代入 ， 得到 ， 则 ，整理得 ①， ， ， 、 、 共线， ，即 ， 整理得 ， ，整理得 ，满足判别 式①； 直线 的方程是 ，过定点 .