题型17 手把手教学答题模板之5 类数列求和 （分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、 奇偶并项、周期与类周期综合） 技法01 分组求和的应用及解题技巧 例1．（2023·四川南充·统考三模）已知数列 的前 项和为 . (1)求 的通项公式； (2)设数列 满足： ，记 的前 项和为 ，求 . （1） 技法01 分组求和的应用及解题技巧 技法02 裂项相消的应用及解题技巧 裂项相消的应用及解题技巧 技法03 错位相减（万能公式）的应用及解题技巧 技法04 奇偶并项的应用及解题技巧 技法05 周期与类周期的综合应用及解题技巧 分组求和是把数列分为两组求和，一般为等差+等比，此类题型较简单，利用公式求和即可，也是高考中 的常考考点，需强加练习 （2） . 所以 的前 项和 . 1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）设数列 是首项为1，公差为d 的等差数列，且 ， ， 是等 项和 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得公差，进而得到所求； （2）由等比数列的定义和通项公式、等差数列的通项公式与求和公式，以及对数的运算性质可得所求和． 【详解】（1）由数列 是首项为1，公差为d 的等差数列，可得 ． 又 ， ， 是等比数列 的前三项，可得 ， 即有 ，解得 或 ， 时， ，不能作为等比数列的项， 舍去，

题型17 手把手教学答题模板之5 类数列求和 （分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、 奇偶并项、周期与类周期综合） 技法01 分组求和的应用及解题技巧 例1．（2023·四川南充·统考三模）已知数列 的前 项和为 . (1)求 的通项公式； (2)设数列 满足： ，记 的前 项和为 ，求 . （1） （2） . 技法01 分组求和的应用及解题技巧 技法02 裂项相消的应用及解题技巧 裂项相消的应用及解题技巧 技法03 错位相减（万能公式）的应用及解题技巧 技法04 奇偶并项的应用及解题技巧 技法05 周期与类周期的综合应用及解题技巧 分组求和是把数列分为两组求和，一般为等差+等比，此类题型较简单，利用公式求和即可，也是高考中 的常考考点，需强加练习 所以 的前 项和 . 1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）设数列 是首项为1，公差为d 的等差数列，且 ， ， 是等 对数型 例2．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n 项和，已知 是公差为 的等差数列． (1)求 的通项公式； (2)证明： ． （1） 的通项公式 ； 裂项相消求和是把数列拆分，然后抵消后即可求和，此类题型较简单，也是高考中的常考考点，需强加练 习 （2） ∴ 1．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设 为数列 的前 项和，已知 ，且满足 ． (1)求数列

. (1)求数列 的通项公式； (2)已知 ，记数列 的前 项和为 ，求证： . 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）借助 构造等比数列算出 ，即可求出 ； （2）将 裂项后求和，再分奇偶讨论即可得证. 【详解】（1）由 ，得 ， ， 则 ， ， ， 数列 是以为首项， 为公比的等比数列， ， ， . （2） ， ， ， 当 为奇数时， ， 当 为偶数时， ，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列， 例如： ，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子。此外还 可以构造放缩程度更小的，如： 放缩的基本思路是将通项适当放大或缩小，向便于相消或便于求和的方向转化.放缩的策略是通过多角度观 察通项的结构，深入剖析其特征，思前想后，找准突破口，怡当放缩，难度中等偏上、需强加练习. （2） ，从而有： 注：对于 还可放缩为： （3）分子分母同加常数： ， 为数列 的前 项积，证明： . 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由等差数列定义可得 ，由 与 的关系即可得 ； （2）由 与 可得 ，即可得 ，由 ，可得 ，借助等比数列求和公式计算即可 得证. 【详解】（1）由 是首项为 、公差为 的等差数列， 故 ， 即 ， 当 时， ， 故 ， 当 时， ，符合上式， 故 ； （2）由 ， ， 故 ， 则

项和为 ， 且 . (1)求数列 的通项公式; (2)若 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用 与 的关系得到 为等比数列求解即可; （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为 ， 当 时， ， 当 时， ， 所以 ， 即 ， 又因为 ，满足上式， 所以 是以 为首项， 为公比的等比数列， 则 . （2）因为 ， 所以 . (2)记数列 的前n 项和为 ，若 ， ， ，求 . 【答案】(1) (2)-36672 【分析】（1）利用 得到数列 为等比数列，利用等比数列的通项公式求解； （2）求出 ，然后利用分组求和法求和即可. 【详解】（1）因为 ，则当 时， ， 两式相减可得 ，则 ， 且当 时， ，解得 ， 所以 是首项为 ，公比为2 的等比数列， 所以 ， 即 ； （2）因为 ， 则 . (n)用累加法求通项公式的解题技巧 知识迁移 形如an+1=an+f (n),a1=A ，若{ f (n)为常数，构造成等差数列 f (n)为一次函数，构造等差求和 f (n)为指数函数，构造等比求和 f (n)为分式函数，构造裂项相消求和 例2．（2023·全国·高三专题练习）在数列{ }中， ， ，求通项公式 ． 原递推式可化为 ，则 ， ，…， ，逐项相加，得 ，故 ． 1．（2023

11．已知正整数x，y 满足 ，则符合条件的x，y 的值有______组． 12．观察下列等式： ， ， ， 把以上三个等式两边分别相加得： ． 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合， 使之能消去一些项，最终达到求和的目的． (1)猜想并写出： ＝______． (2)规律应用：计算： ； (3)拓展提高：计算： ． 13．阅读材料，下列关于 的方程： 种纪念品的价格 多5 元，用800 元购进种纪念品的数量与用400 元购进B 种纪念品的数量相同． (1)求购进、B 两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100 件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100 件纪念品的资金不少于800 元，且不超过850 元，那么该商店共有几种进货方？ (3)已知商家出售一件种纪念品可获利m 元，出售一件B 种纪念品可获利(6﹣m)元，试问在

分） 1. Excel 中的基本数据类型包括？ A. 数字 B. 文本 C. 日期 D. 布尔 2. 在Excel 中，可以对数据执行哪些操作？ A. 排序 B. 筛选 C. 求和 D. 绘图 3. 以下哪些函数属于统计函数？ A. SUM B. AVERAGE C. IF D. VLOOKUP 4. Excel 界面的主要组成部分包括？ A. 功能区 B 单元格可以包含文本、数字或公式。 7. Excel 只能处理数值数据。 8. “ ” 使用自动求和按钮可以快速插入SUM 函数。 9. 一个工作簿可以包含多个工作表。 10. 数据验证可以限制输入到单元格的数据类型。 四、简答题（共4 题，每题5 分） 1. 简述在Excel 中对一列数据求和的方法。 2. 解释数据筛选的作用，并给出一个实际使用场景。 3. 描述创建柱形图的基本步骤。 正确3. 错误4. 错误5. 错误6. 正确7. 错误 8. 正确9. 正确10. 正确 四、简答题：1. 使用SUM “ ” 函数或选中数据后点击自动求和按钮。 2. 数据筛选用于显示符合特定条件的行，例如在成绩表中筛选出分数 大于90 的学生记录。3. “ ” “ 选择数据范围，点击插入选项卡，选择柱 ” 形图类型，调整图表元素。4. 排序功能使数据有序化，便于分析，例

勾践趁吴国精兵在外，突然袭击，一举打败吴兵，杀了太子友。夫 差听到这个消息后，急忙带兵回国，并派人向勾践求和。勾践估计 一下子灭不了吴国，就同意了。公元前473 年，勾践第二次亲自带 兵攻打吴国。这时的吴国经是强弩之末，根本抵挡不住越国军队， 屡战屡败。最后，夫差又派人向勾践求和，范蠡坚决主张要灭掉吴 国。夫差见求和不成，才后悔没有听伍子胥的忠告，非常羞愧，就 拔剑自杀了。

求解. 【详解】 ∵ ， ， 边上的中线 的长度为 ∴根据余弦定理可得 ，即 ，解得 ∴ ∴ 的面积为 故选：B 6．A 【分析】 根据题意，得到小球经过的里程 ，结合等比数列的求和公式， 即可求解. 【详解】 由题意，可得小球10 次着地共经过的路程为： 米 故选：A. 7．C 【分析】 根据 ，利用正弦定理转化为： ，整理为 再转化为角判断. 【详解】 ， ， ， ， 对 恒成立， ，则实数的最大值为 . 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：本题考查函数与导数、数列的综合应用问题，解题关键是能够采用构造法、 累加法求得数列的通项公式，进而确定求和方法为裂项相消法，从而求得 的形式. 13． 【分析】 由三角形面积公式求A，再由余弦定理求BC. 【详解】 ∵ ， ∴ ，又 ， ， ∴ ，又A 为锐角， ∴ ， 由余弦定理可得 n T n    【解析】 试题分析： （Ⅰ）由 求通项公式 主要利用 求解；（Ⅱ）整理数列       1 1 n na a 的通项公式，结合其特点采用裂项相消法求和 试题解析：（1）当 1 n 时， 1 1 1 1 1 3 a S  ； 当 2 n 时， 2 1 n S n n    ① 2 1 ( 1) ( 1) 1 n S n

和等比数列 满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5． （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）求和： ． 【答案】（1）an=2n−1.（2） 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为 ，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由 是等比数列， 知 依然是等比数列，并且公比是 ，再利用等比数列求和公式求解. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d. 因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10 从而 . 【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：（1）分组转化法，一般适用于等差数列+等 比数列的形式；（2）裂项相消法求和，一般适用于 ， , 等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列 等比数列的形式；（4）倒 序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2 即 可得到数列求和. 19. 设函数 在 处取得极值，且曲线

删除单元格 7. 在输入表格数据时，若希望数字作为文本处理（如电话号码），应 在输入前先输入（）。 A. 逗号 B. 单引号 C. 冒号 D. 分号 8. 表格中用于对数据进行求和计算的函数是（）。 A. AVERAGE B. MAX C. SUM D. COUNT 9. 下列哪种文件格式常用于保存表格数据？（） A. .txt B. .jpg C WPS 表格 B. Microsoft Excel C. Word D. PowerPoint 2. 在表格中，可以对数据进行哪些操作？（） A. 排序 B. 筛选 C. 求和 D. 插入图片 3. 下列哪些是表格的组成部分？（） A. 标题行 B. 数据区域 C. 图表 D. 页眉页脚 4. 在表格中设置单元格格式时，可以调整（）。 A 四、简答题 1. “ ” 右键单击行号，选择插入，即可在所选行上方插入新行。 2. “ ” “ ” 选中数据区域，点击数据菜单中的排序，选择需排序的列和升 序方式。 3. SUM 用于求和，AVERAGE 用于求平均值，MAX 用于找最大 值。 4. “ ” “ ” “ ” 选中单元格，右键选择设置单元格格式，在边框和填充选项 卡中设置样式和颜色。