即当DF′⊥B，DE′⊥B 时，线段E′F′值最小， 如图，过D 作DE′⊥B 于E′，DF′⊥B 于F′， 则四边形DF′BE′是矩形， ∴E′F′＝BD， ∵∠B＝90°，B＝3，B＝4， ∴＝5， ∵D 是斜边的中点， ∴BD＝ ＝25． ∴E′F′＝BD＝25． ∴EF 的最小值为25． 1．如图，∠M＝90°，矩形BD 的顶点，B 分别在M、上，当B 离最大，在 Rt△1B1中，∵1B1＝B＝8，点E 为斜边中线， ∴E＝B1E＝ 1B1＝4， 又∵B11＝B＝4， ∴1E＝ ＝4 ， ∴点到原点的最大距离为：E+1E＝4+4 ． 故答为：4+4 ． 7．如图，在等腰直角三角形B 中，∠B＝90°，B＝4，点M，分别为边B，B 上的点，且M ＝2．点D，E 分别是B，M 的中点，点P 为斜边上任意一点，则PE+PD 的最小值为 2 1 ∴D＝15m， ∵直角三角形D 中，B＝D，且D 为斜边， ∴＝ ＝2m， ∴＝﹣＝24m 2 ﹣m＝04m； ∴木棍的顶端沿墙下滑04m． （2）B、P、BP、P 均不变．理由： 因为P 为B 中点，所以B、P、BP 不变； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边B 不变，所以斜边上的中线 P 不变； （3）当△B 的斜边上的高等于中线P 时面积最大． 如图，若与P 不相等，则总有＜P，

即当DF′⊥B，DE′⊥B 时，线段E′F′值最小， 如图，过D 作DE′⊥B 于E′，DF′⊥B 于F′， 则四边形DF′BE′是矩形， ∴E′F′＝BD， ∵∠B＝90°，B＝3，B＝4， ∴＝5， ∵D 是斜边的中点， ∴BD＝ ＝25． ∴E′F′＝BD＝25． ∴EF 的最小值为25． 1．如图，∠M＝90°，矩形BD 的顶点，B 分别在M、上，当B 离最大，在 Rt△1B1中，∵1B1＝B＝8，点E 为斜边中线， ∴E＝B1E＝ 1B1＝4， 又∵B11＝B＝4， ∴1E＝ ＝4 ， ∴点到原点的最大距离为：E+1E＝4+4 ． 故答为：4+4 ． 7．如图，在等腰直角三角形B 中，∠B＝90°，B＝4，点M，分别为边B，B 上的点，且M ＝2．点D，E 分别是B，M 的中点，点P 为斜边上任意一点，则PE+PD 的最小值为 2 1 ∴D＝15m， ∵直角三角形D 中，B＝D，且D 为斜边， ∴＝ ＝2m， ∴＝﹣＝24m 2 ﹣m＝04m； ∴木棍的顶端沿墙下滑04m． （2）B、P、BP、P 均不变．理由： 因为P 为B 中点，所以B、P、BP 不变； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边B 不变，所以斜边上的中线 P 不变； （3）当△B 的斜边上的高等于中线P 时面积最大． 如图，若与P 不相等，则总有＜P，

停止移动，在移动过程中，点到原点的最大距离为 ． 7．如图，在等腰直角三角形B 中，∠B＝90°，B＝4，点M，分别为边B，B 上的点，且M ＝2．点D，E 分别是B，M 的中点，点P 为斜边上任意一点，则PE+PD 的最小值为 ． 8．如图，∠B＝∠DB＝90°，B＝6，E 为B 中点 （1）若D＝2，求△DE 的周长和面积． （2）若∠BD＝15°，求△ED 的面积． 四点的所有连线中，哪些线段的长度不变， 并简述理由． （3）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△B 的面积最大？简述理由，并求出 面积的最大值． 10．如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点落在第二象限．其斜边两端 点、B 分别落在x 轴、y 轴上，且B＝12m （1）若B＝6m． ①求点的坐标； ②若点向右滑动的距离与点B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离； （2）点与点的距离的最大值＝

停止移动，在移动过程中，点到原点的最大距离为 ． 7．如图，在等腰直角三角形B 中，∠B＝90°，B＝4，点M，分别为边B，B 上的点，且M ＝2．点D，E 分别是B，M 的中点，点P 为斜边上任意一点，则PE+PD 的最小值为 ． 8．如图，∠B＝∠DB＝90°，B＝6，E 为B 中点 （1）若D＝2，求△DE 的周长和面积． （2）若∠BD＝15°，求△ED 的面积． 四点的所有连线中，哪些线段的长度不变， 并简述理由． （3）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△B 的面积最大？简述理由，并求出 面积的最大值． 10．如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点落在第二象限．其斜边两端 点、B 分别落在x 轴、y 轴上，且B＝12m （1）若B＝6m． ①求点的坐标； ②若点向右滑动的距离与点B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离； （2）点与点的距离的最大值＝

中，∠=90°，D=3，B=5，对角线BD 平分∠B， 则△BD 的面积为（ ） ．75 B．8 ．15 D．无法确定 二、填空题 7．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）已知一个直角三角形的两直角边分别为3，4，则此三角形斜边上中 线长为____． 8．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）在 中， ， （1）如果 ，那么 ___________； （2）如果 ，那么 ___________； （3）如果 ，那么 根据勾股定理正确的列出对应的方程式解题的 关键 4． 【分析】首先根据“斜中半”定理求出 ，然后利用三角形的外角性质求出 ，从而在 中，利用“30°角所对的直角边为斜边的一半”求解即可． 【详解】∵E 是Rt 中斜边B 的中点， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，∠ED=30° 在 中， ， ∴ ， 故选：． 【点睛】本题考查直角三角形的基本性质，熟记并灵活运用与直角三角形相关的性质是解题关键． ×5×3=75． 故选． 考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质． 7．25 【分析】利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：由勾股定理得，斜边 ， 所以，斜边上中线长 ． 故答为：25． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，是基础题，熟记性质是解题的 关键． 8． 15 6 5

垂直的重要方法 2 在直角三角形中，有斜边中点或有斜边的倍分关系线段时，可以作斜边的中线解决问 题，例： （1）如图，在Rt△B 中，D 为斜边B 的中点，连接D，则D＝D＝BD （2）如图，在Rt△B 中，B＝2B，作斜边B 上的中线D，则D＝BD＝D＝B，△BD 是等边三 角形 【总结】在直角三角形中，若遇到斜边的中点，则连接直角顶点与斜边的中点是解决问题 的基本方法，作这条辅助 8．如图，在Rt△B 中，∠＝90°，D 为斜边B 中点，DE⊥DF，求证：EF2＝BE2+F2． 【解答】见解析 【解析】证明：延长ED 到G，使DG＝DE，连接EF、FG、G，如图所示： 在△EDF 和△GDF 中 { DF=DF ∠EDF=∠FDG=90° DG=DE ， △ ∴EDF △ ≌GDF（SS）， ∴EF＝FG 又∵D 为斜边B 中点 ∴BD＝D 在△BDE 和△DG ∴B＝BF， ∠ ∴ F＝∠BF． 11．如图，在直角△B 中，D 为斜边B 的中点，DE⊥DF，而E、F 分别在和B 上，连结 EF．观察E、EF、BF 能不能组成直角三角形．写出你的结论并说明理由． 【解答】能组成直角三角形，斜边为EF 【解析】如图，延长FD 到F′，使DF′＝DF，连接F′、EF′， ∵D 为斜边B 的中点， ∴D＝BD， 在△DF′和△BDF 中， { AD=BD

到点的距离最大，再根据勾股定理求出DE 的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出E 的长，两 者相加即可得解． 【详解】取 中点 ，连接 、 、 ， ， ． 在 中，利用勾股定理可得 ． 在 中，根据三角形三边关系可知 ， 当 、 、 三点共线时， 最大为 ． 故选 ． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股 定 ，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝1，＝4，点在y 轴上，点在x 轴上，则点在 移动过程中，B 的最大值是_____． 【答】2+ 【分析】取的中点P，连接P，BP，B，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到P 的长．在Rt△BP 中，由 勾股定理得到BP 的长．在△BP 中，根据三角形三边关系定理得到B≤P+BP，当、P、B 三点共线时取等号，从而得 到B 的最大值． 【详解】取的中点P，连接P，BP，B，则P= 【详解】取的中点P，连接P，BP，B，则P= =2．在Rt△BP 中，BP= ． 在△BP 中，B≤P+BP，当、P、B 三点共线时取等号，∴B 的最大值为 ． 故答为 ． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的斜边的一半和勾股定理．解题的关键是构造三角形PB． 1．（2022·广东·陆河县水唇中学八年级阶段练习）一架梯子长25 米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7 米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？

倍，面积扩大到原来的 （）。 A. 3 倍B. 6 倍C. 9 倍D. 12 倍 5. 下图中平行四边形的高h 对应的是底边（）。 （图示：平行四边形标注底a、b，斜边c，高h 垂直于底边a） A. a B. b C. c D. 无法确定 6. 一个平行四边形的面积是36dm²，底是9dm，另一条底边上的高 是（）。 A. 4dm 底边），其面积是（）。 A. 20cm² B. 28cm² C. 35cm² D. 需另一高 9. 计算右图平行四边形面积的正确算式是（）。 （图示：底12cm，斜边10cm，高8cm） A. 12×10 B. 10×8 C. 12×8 D. (12+10)×2 10. 一个平行四边形果园底250m，高80m ，面积是（）。 A 2000 平方米 二、多项选择题（每题2 分，共10 题） 11. 关于平行四边形面积，正确的有（）。 A. S=底× 高B. 底和高必须对应C. 面积与斜边长度无关D. 所 有高都相等 12. 能使平行四边形面积不变的操作是（）。 A. 底不变，高扩大2 倍B. 底和高同时缩小到1/2 C. 底扩大3 倍，高缩小到1/3

三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全 等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。 本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1：直角三角形斜边中线模型 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，若D 为 斜边上的中线，则： （1 ） ；（2 ） ， 为等腰三角形；（3 ） ， ． D C B ，M 为中点，则（1） ；（2） ． 模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） 例1．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，在Rt 中， 为斜边 上的中线，若 ，则 ． 【答】4 【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可解决问题； 【详解】解：如图， △ ∵B 是直角三角形，D 是斜边中线，∴D B， ∵D＝2，∴B＝4，故答为4． 【点睛 【点睛】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是记住直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 例2．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，在 中， ，点D 是 的中点，过点D 作 ，垂足为点E，连接 ，若 ， ，则 ． 【答】3 【分析】根据直角三角形的性质得到B=10，利用勾股定理求出，再说明DE∥，得到 ，即可求 出DE． 【详解】解：∵∠B=90°，点D 为B 中点，∴B=2D=10，∵B=8，∴=

1 射影定理定义 ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 2 如图在Rt△B 中，∠B＝90°，D 是斜边B 上的高，有射影定理如下： 注意：直角三角形斜边上有高时，才能用射影定理！ 【例1】．在矩形BD 中，BE⊥交D 于点E，G 为垂足．若G＝D＝1，则的长是 ． 模型介绍 例题精讲