42 图形的翻折 例 2023 年宜昌市中考第12 题 如图1，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边D 上的点′处，并得到折痕 DE，小宇测得长边D＝8，则四边形′EB 的周长为__________． 图1 例 2023 年本溪市铁岭市辽阳市中考第17 题 如图1，在三角形纸片B 中，B＝，∠B＝20°，点D 是边B 上的动点，将三角形纸片沿 D 对折，使点B 落在点B′处，当B′D⊥B

二次函数中翻折及动点引起的图形存在性问题 思路指导： ·直角三角形的判定方法：勾股定理的逆定理；两锐角互余 ·等边三角形存在性问题：作出图形，利用60°、30°等特殊角在直角三角形中利 用三角函数知识求解三角形各边的长度； ·平行四边形存在性问题：表示出各点坐标，利用对角线上两对点的横坐标和相 等，纵坐标和相等列出方程，进而解答 题型一、三角形折叠与等边三角形存在性问题 1 （2019·成都中考）如图，抛物线 O x y C B A C' D 【答】见解析 【解析】解：（1）由题意知， ∴ ，解得： ， ∴抛物线的函数表达式为： ； （2）由（1）知，抛物线的对称轴为：x=1， 由翻折知：B=B’=4， 设抛物线对称轴与x 轴交点为M， 则BM=M=2， ∠ ∴ B’M=30°， ∠ ∴ DM=30°，’M=2 ， 即’(1, 2 )， 在Rt△DM 中，DM=M·t30°= 的坐标； （2）如图2，M 是线段上的点，M= ，点P 是线段M 上的一个动点，经过P、D、B 三点的抛物线交 x 轴的正半轴于点E，连接DE 交B 于点F ①将△DBF 沿DE 所在的直线翻折，若点B 恰好落在上，求此时BF 的长和点E 的坐标； ②以线段DF 为边，在DF 所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P 从点运动到点M 时，点G 也随 之运动，请直接写出点G 运动路径的长

学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 折弦定义:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。 阿基米德折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点 在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 如下图所示，B 和B 是⊙的两条弦(即B 是圆的一条折弦)，B>B，M 是 的中点，则 从M 向B 所作垂线之垂足D 是折弦B 的中点，即D=B+BD。 M 为底）， 又∵MD⊥B， ∴D 为B 中点（等腰三角形三线合一）， ∴BD＝D ∴B+BD＝D． 【变式1-2】．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德 折弦定理： 如图1，B 和B 组成圆的折弦，B＞B，M 是弧B 的中点，MF⊥B 于F，则F＝FB+B． 如图2，△B 中，∠B＝60°，B＝8，B＝6，D 是B 上一点，BD＝1，作DE⊥B 交△B 的 外接圆于E，连接E，则∠E＝ ∴△DF≌△BD（S）， ∴F＝B＝5， ∵＝7，B＝5， ∴E＝ F＝ （﹣F）＝1． 9．阅读理解：如图1，B 和B 是⊙的两条弦（即折线B 是圆的一条折弦），B＞B，点M 是 弧B 的中点，则从点M 向B 所作垂线的垂足D 是折弦B 的中点，即D＝B+BD．下面是 运用“截长法”证明D＝B+BD 的部分证明过程． 证明：如图2，在B 上截取G＝B，连接M，MB，M 和MG．∴M 是弧B

圆 模型（三十九）——折弦定理模型 如图，B B，像是一条折断的弦 ◎结论：B、B 是⊙的两条弦，M 为^ ABC的中点，MD⊥B，垂足为D， 则B＋BD＝D 【证明】 如图 在D 上取点E，使DE＝DB,连接BM,ME,,M,M, BD ∵ ＝DE,MD⊥BE, MB ∴ ＝ME M ∵ 为^ ABC的中点 【点睛】本题是有关圆的综合题，考查了圆的性质，切线的判定和性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相 似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形判定和性质，特殊角三角函数值等知识，熟练掌 握全等三角形判定和性质及相似三角形的判定和性质等相关知识，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 1．（北京市西城区三帆中学2021-2022 学年九年级下学期月考数学试卷（4 月份））已知：△B，点D 是△B 的外接 ∴RT＝S＝6，T＝SR＝7 ， ∴BT＝BR﹣RT＝9 6 ﹣＝3， 在Rt△BT 中， B＝ ＝ ＝2 ， 由（3）知P＝ B， ∴P＝ ． 【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及平行线的性质，三角形中位线定理及应用，三角形全等的判定与性质，勾 股定理，含30°角的直角三角形三边关系，矩形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和 直角三角形解决问题． 2．（广东省深圳市2018 年中考数学试题）如图，△B

勾股定理 模型（二十二）——矩形翻折模型 一、折在外 ◎结论1：如图，矩形 中， ， ，将矩形沿 折叠，点 落在点 处，则重叠部分 的面积为多少？ 结论： ， 【证明】矩形 ，沿 折叠， ， ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ， 设 ，则 ，在 中， ，即 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ， ∴ ． 【结论2】如图，在矩形BD 中，B＝8，B＝4，将矩形BD 是矩形， ∴D B， ∠ ∴ D＝∠F， ∠ ∴ F＝∠F， ∴F＝F， 设F＝x，则F＝x，FB＝8﹣x， 在 中，由勾股定理得， ， 即 ， 解得x＝5， 即F＝5， 二、折在里 【结论3】如图，矩形BD，将△FD 沿F 折叠，使点D 的落点（E）在对角线上， 则E=－D，F=D－EF 【证明】∵△FD 沿F 折叠得△FE，∴△FD △FE 【分析】由矩形的性质可得∠=90°，首先折叠的性质可得 、 、 =90°,设 = ，则BF=9-x，在Rt△ 中，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵四边形BD 是矩形， =90° ∴∠ ， 由翻折的性质可知， 、 、 =90° 设 = ，则BF=9-x， ∵在Rt△ 中， ∴ 解得 ， ∴F=4． 故选：． 【点睛】本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程

勾股定理 模型（二十四）——风吹树折模型 “风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为∶“今有竹 高一丈，末折抵地，去本三尺问折者高几何?”（1 丈=10 尺） 【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角 边长三尺，其余两边长度之和为 10 尺 【思路】根据勾股定理建立方程，求出折断后的竹子高度为455 【点睛】本题考查了勾股定理在生活中的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 4．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图，《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问： 折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离 原竹子根部3 尺远．问：原处还有多高的竹子？（1 丈=10 尺）答：原处的竹子还有多少尺高．则高为（ 1．（2020·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国 传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵 地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1 丈（1 丈10 尺），中部有一处折 断，竹梢触地面处离竹根3 尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高． 【答】 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x

学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 折弦定义:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。 阿基米德折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点 在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 如下图所示，B 和B 是⊙的两条弦(即B 是圆的一条折弦)，B>B，M 是 的中点，则 从M 向B 所作垂线之垂足D 是折弦B 的中点，即D=B+BD。 M 为底）， 又∵MD⊥B， ∴D 为B 中点（等腰三角形三线合一）， ∴BD＝D ∴B+BD＝D． 【变式1-2】．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德 折弦定理： 如图1，B 和B 组成圆的折弦，B＞B，M 是弧B 的中点，MF⊥B 于F，则F＝FB+B． 如图2，△B 中，∠B＝60°，B＝8，B＝6，D 是B 上一点，BD＝1，作DE⊥B 交△B 的 外接圆于E，连接E，则∠E＝ ∴△DF≌△BD（S）， ∴F＝B＝5， ∵＝7，B＝5， ∴E＝ F＝ （﹣F）＝1． 9．阅读理解：如图1，B 和B 是⊙的两条弦（即折线B 是圆的一条折弦），B＞B，点M 是 弧B 的中点，则从点M 向B 所作垂线的垂足D 是折弦B 的中点，即D＝B+BD．下面是 运用“截长法”证明D＝B+BD 的部分证明过程． 证明：如图2，在B 上截取G＝B，连接M，MB，M 和MG．∴M 是弧B

学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 折弦定义:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。 阿基米德折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点 在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 如下图所示，B 和B 是⊙的两条弦(即B 是圆的一条折弦)，B>B，M 是 的中点，则 从M 向B 所作垂线之垂足D 是折弦B 的中点，即D=B+BD。 M 是劣弧，M 是 的中点，B 为 上任意一点．自M 向B 弦引垂 线，垂足为D，求证：B+BD＝D． 【变式1-2】．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德 折弦定理： 如图1，B 和B 组成圆的折弦，B＞B，M 是弧B 的中点，MF⊥B 于F，则F＝FB+B． 如图2，△B 中，∠B＝60°，B＝8，B＝6，D 是B 上一点，BD＝1，作DE⊥B 交△B 的 外接圆于E，连接E，则∠E＝ 的平分线； （2）如图2，过点D 作DE⊥，垂足为E，若＝7，B＝5，求线段E 的长度． 9．阅读理解：如图1，B 和B 是⊙的两条弦（即折线B 是圆的一条折弦），B＞B，点M 是 弧B 的中点，则从点M 向B 所作垂线的垂足D 是折弦B 的中点，即D＝B+BD．下面是 运用“截长法”证明D＝B+BD 的部分证明过程． 证明：如图2，在B 上截取G＝B，连接M，MB，M 和MG．∴M 是弧B

圆 模型（三十九）——折弦定理模型 如图，B B，像是一条折断的弦 ◎结论：B、B 是⊙的两条弦，M 为^ ABC的中点，MD⊥B，垂足为D， 则B＋BD＝D 【证明】 如图 在D 上取点E，使DE＝DB,连接BM,ME,,M,M, BD ∵ ＝DE,MD⊥BE, MB ∴ ＝ME M ∵ 为^ ABC的中点 完成相应的任务： 阿基米德折弦定理 阿基米德（rmedes 公元前287—公元前212 年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高 斯并称为三大数学王子． 阿拉伯l-Br（973 年—1050 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964 年根据-Bru 译本出 版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，B 和B 是 的两条弦（即折线B 的两条弦（即折线B 是圆的一条折弦）， ，M 是弧B 的中点，则从点M 向B 所作垂线的垂足D 是折弦B 的中点，即 ． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明 的部分证明过程． 证明：如图2，在D 上截取 ，连接M，MB，M 和MG． ∵M 是弧B 的中点， … 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，已知等边三角形B 内接于 ，D 为弧上一点，

专题 图形变换模型之翻折（折叠）模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查 学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。 涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以 及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三角 形、平行四边形、菱 形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【知识储备】 翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相 等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。 解决翻折题型的策略： 1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分； 2）结合相关图形的性质 2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。 模型1 矩形中的翻折模型 【模型解读】 例1．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 ， 分别在 轴、 轴正半轴上，点 在 边上，将矩形 沿 折叠，点 恰好落在边 上的点 处．若