题型13 6 类解三角形公式定理解题技巧 （海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式） 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 知识迁移 海伦-秦九韶公式 三角形的三边分别是a、b、c，则三角形的面积为 其中 ，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。 我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式: 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 技法02 射影定理的应用及解题技巧 技法03 角平分线定理的应用及解题技巧 技法04 张角定理的应用及解题技巧 技法05 倍角定理的应用及解题技巧 技法06 10 类恒等式的应用及解题技巧 海伦-秦九韶公式能够解决已知三边的三角形的面积求解，是解三角形中必不可少的解题利器，也会作为材 料题在高考及模考中出现，需加以练习. 例1．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把 的内角 的对边分别为 ，已知 ． (1)求 ； (2)若 ，求 面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理即可解出； （2）由（1）可知，只需求出 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出． 【详解】（1）因为 ，所以 ，解得： ． （2）由正弦定理可得 ， 变形可得： ，即 ， 而 ，所以 ，又 ，所以 ， 故 的面积为 ． 4．（上海虹口·高三上外附中校考期中）在

题型13 6 类解三角形公式定理解题技巧 （海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式） 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 知识迁移 海伦-秦九韶公式 三角形的三边分别是a、b、c，则三角形的面积为 其中 ，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。 我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式: 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 技法02 射影定理的应用及解题技巧 技法03 角平分线定理的应用及解题技巧 技法04 张角定理的应用及解题技巧 技法05 倍角定理的应用及解题技巧 技法06 10 类恒等式的应用及解题技巧 海伦-秦九韶公式能够解决已知三边的三角形的面积求解，是解三角形中必不可少的解题利器，也会作为材 料题在高考及模考中出现，需加以练习. 例1．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，满足 ． (1)证明： ； (2)求 的取值范围． 技法06 10 类恒等式的应用及解题技巧 知识迁移 三角恒等式 在 中， ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ ； 在解三角形中，应用恒等式能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的重要考点，需重点学习. ⑨ ； ⑩ 。 例6．（2023·全国·高三专题练习）在锐角

题型10 6 类三角恒等变换解题技巧 （拼凑思想、升（降）幂、三倍角、半角、万能、正余弦平方差公 式） 技法01 拼凑思想的应用及解题技巧 知识迁移 技法01 拼凑思想的应用及解题技巧 技法02 升（降）幂公式的应用及解题技巧 技法03 三倍角公式的应用及解题技巧 技法04 半角公式的应用及解题技巧 技法05 万能公式的应用及解题技巧 技法06 正余弦平方差公式的应用及解题技巧 升幂公式：cos2α=1−2sin2α ，cos2α=2cos2α−1 降幂公式：sin2α=1−cos2α 2 ，cos2α=1+cos2α 2 例2-1．（2023·全国·模拟预测）已知 ，则 （ ） 在三角恒等变换的倍角考查中，升幂公式及降幂公式极其重要，需灵活掌握，在高考中也是高频考点，要 强加练习 A． B． C． D． 【详解】因为 ，所以 ． 例2-2．（2023·全国·统考高考真题）已知

题型10 6 类三角恒等变换解题技巧 （拼凑思想、升（降）幂、三倍角、半角、万能、正余弦平方差公 式） 技法01 拼凑思想的应用及解题技巧 知识迁移 技法01 拼凑思想的应用及解题技巧 技法02 升（降）幂公式的应用及解题技巧 技法03 三倍角公式的应用及解题技巧 技法04 半角公式的应用及解题技巧 技法05 万能公式的应用及解题技巧 技法06 正余弦平方差公式的应用及解题技巧 解得 ， 因为 为锐角，所以 ， 又 所以 . 故选：A. 3．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据 ， 的范围即可求出结果. 【详解】由已知可将 ， ， 则 ， ， ，即 或 ． 又 ，所以 ， 所以 ，所以选项A，B 错误， 即 ，则 ，所以 ．则C 错，D 升（降）幂公式的应用及解题技巧 知识迁移 升幂公式：cos2α=1−2sin2α ，cos2α=2cos2α−1 降幂公式：sin2α=1−cos2α 2 ，cos2α=1+cos2α 2 在三角恒等变换的倍角考查中，升幂公式及降幂公式极其重要，需灵活掌握，在高考中也是高频考点，要 强加练习 例2-1．（2023·全国·模拟预测）已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【详解】因为

题型12 5 类平面向量解题技巧 （“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、 奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题） 技法01 “爪子定理”的应用及解题技巧 知识迁移 形如 条件的应用（“爪子定理”） “爪”字型图及性质： （1）已知 为不共线的两个向量，则对于向量 ，必存在 ，使 得 。则 三点共线 当 ，则 与 位于 同侧，且 位于 与 之间 当 ，则 与 位于 两侧 两侧 技法01 “爪子定理”的应用及解题技巧 技法02 系数和（等和线）的应用及解题技巧 技法03 极化恒等式的应用及解题技巧 技法04 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧 技法05 范围与最值的应用及解题技巧 “爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握 A B C D 时，当 ，则 在线段 上；当 ，则 在线段 延长 线上 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 技法03 极化恒等式的应用及解题技巧 知识迁移 极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 ， 恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量

题型12 5 类平面向量解题技巧 （“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、 奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题） 技法01 “爪子定理”的应用及解题技巧 知识迁移 形如 条件的应用（“爪子定理”） “爪”字型图及性质： （1）已知 为不共线的两个向量，则对于向量 ，必存在 ，使 得 。则 三点共线 当 ，则 与 位于 同侧，且 位于 与 之间 当 ，则 与 位于 两侧 两侧 技法01 “爪子定理”的应用及解题技巧 技法02 系数和（等和线）的应用及解题技巧 技法03 极化恒等式的应用及解题技巧 技法04 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧 技法05 范围与最值的应用及解题技巧 “爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握 A B C D 时，当 ，则 在线段 上；当 ，则 在线段 延长 线上 相切时， ，取得最大值 . 故选：B 技法03 极化恒等式的应用及解题技巧 知识迁移 极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 ， 恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 则 利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量

D．（+3）（﹣3）＝2 9 ﹣ 【变式5-3】（2022•郫都区模拟）如图，在边长为（x+）的正方形中，剪去一个边长为的 小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，由左右两个阴影部分面积，可 以得到一个恒等式是（ ） ．（x+）2﹣2＝x（x+2） B．x2+2x＝x（x+2） ．（x+）2﹣x2＝（+2x） D．x2﹣2＝（x+）（x﹣） 【题型6 乘法公式的应用】 【例6】（2022 【变式7-1】（2022 春•西城区校级期中）阅读学习： 数学中有很多恒等式可以用图形的面积来得到． 如图1，可以求出阴影部分的面积是2﹣b2；如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成 一个矩形，它的长是+b，宽是﹣b，比较图1，图2 阴影部分的面积，可以得到恒等式 （+b）（﹣b）＝2﹣b2． （1）观察图3，请你写出（+b）2，（﹣b）2，b 之间的一个恒等式 ． （2）观察图4，请写出图4 （2）观察图4，请写出图4 所表示的代数恒等式： ． （3）现有若干块长方形和正方形硬纸片如图5 所示，请你用拼图的方法推出一个恒等 式（+b）2＝2+2b+b2，仿照图4 画出你的拼图并标出相关数据． 1 【变式7-2】（2022 春•武侯区校级期中）[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个 图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图①是一个长为2，宽为2b

个边长为的 小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，由左右两个阴影部分面积，可 以得到一个恒等式是（ ） 1 ．（x+）2﹣2＝x（x+2） B．x2+2x＝x（x+2） ．（x+）2﹣x2＝（+2x） D．x2﹣2＝（x+）（x﹣） 【分析】根据阴影部分面积相等得到恒等式即可． 【解答】解：第一幅图阴影部分面积＝（x+）2﹣2， 第二幅图阴影部分面积＝（x++）x＝x（x+2）， 春•西城区校级期中）阅读学习： 数学中有很多恒等式可以用图形的面积来得到． 1 如图1，可以求出阴影部分的面积是2﹣b2；如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成 一个矩形，它的长是+b，宽是﹣b，比较图1，图2 阴影部分的面积，可以得到恒等式 （+b）（﹣b）＝2﹣b2． （1）观察图3，请你写出（+b）2，（﹣b）2，b 之间的一个恒等式 （﹣ b ） 2 ＝（ 2 4 ﹣ b ． （2）观察图4，请写出图4 所表示的代数恒等式： （ 2+ b ）（ + b ）＝ 2 2 +3 b + b 2 ． （3）现有若干块长方形和正方形硬纸片如图5 所示，请你用拼图的方法推出一个恒等 式（+b）2＝2+2b+b2，仿照图4 画出你的拼图并标出相关数据． 【分析】（1

中 函数奇偶性与单调性 5 中 分段函数 6 中 比较大小 7 中 三角恒等变换 8 中 函数的应用 二、多选题 9 易 不等式性质 10 中 三角函数的图象与性质 11 难 函数性质 12 难 创新题 三、填空题 13 易 任意角三角函数定义、和差角公式 14 易 同角三角函数基本关系、三角恒等变换 15 中 指数式、对数式运算 双空题 16 难 函数奇偶性、恒成立问题

【答案】C 【解析】 【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程. 【详解】由题意得 ，即 ， 8/22 对其进行整理变形： ， ， ， ， 所以 或 ， 其中 为双曲线， 为直线. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心 素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题. 10 三､解答题 18. 设函数 . （1）求函数 的最小正周期； （2）求函数 在 上的最大值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得 ，再由三角函数最小正周期公式即可得解； （2）由三角恒等变换可得 ，再由三角函数的图象与性质即可得解. 【 14/22 【详解】（1）由辅助角公式得 ， 则 ， 所以该函数的最小正周期 ; （2）由题意， 15/22