（四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、 阿基米德折弦定理） 目 录 题型01 四点共圆 题型02 圆幂定理 题型03 垂径定理 题型04 定弦定角 题型05 定角定高模型（探照灯模型） 题型06 阿基米德折弦定理 题型01 四点共圆 1 四点共圆的判定 判定方法 图形 证明过程 若四个点到一个定点的距离相 等，则这四个点共圆（圆的定 义） 适用范围：题目出现共端点，等 若一个四边形的外角等于它的内 对角，则这个四边形的四个点共 圆 O A B D C E 反证法 同侧共边三角形且公共边所对角 相等的四个顶点共圆 O B C A D 反证法 共斜边的两个直角三角形的四个 顶点共圆 适用范围：双直角三角形共斜边 模型 连接、D 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 可得=B==D ∴点、B、、D 四点共圆 在⊙中，若弦B、D 相交于点P 1 5 6 3 4 2 1 5 6 3 4 2 P P D C A B D C A B 2 四点共圆的性质 1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等（如下图1，∠B=∠BD）； 2）圆内接四边形的对角互补（如下图2，∠1=∠2）； 3) 圆内接四边形的外角等于内对角（如下图3，∠1=∠3） 1．（2020·山东东营·东营市实验

（四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、 阿基米德折弦定理）目 录 题型01 四点共圆 题型02 圆幂定理 题型03 垂径定理 题型04 定弦定角 题型05 定角定高模型（探照灯模型） 题型06 阿基米德折弦定理 题型01 四点共圆 1 四点共圆的判定 判定方法 图形 证明过程 若四个点到一个定点的距离相 等，则这四个点共圆（圆的定 义） 适用范围：题目出现共端点，等 若一个四边形的外角等于它的内 对角，则这个四边形的四个点共 圆 O A B D C E 反证法 同侧共边三角形且公共边所对角 相等的四个顶点共圆 O B C A D 反证法 共斜边的两个直角三角形的四个 顶点共圆 适用范围：双直角三角形共斜边 模型 连接、D 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 可得=B==D ∴点、B、、D 四点共圆 在⊙中，若弦B、D 相交于点P 1 5 6 3 4 2 1 5 6 3 4 2 P P D C A B D C A B 2 四点共圆的性质 1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等（如下图1，∠B=∠BD）； 2）圆内接四边形的对角互补（如下图2，∠1=∠2）； 3) 圆内接四边形的外角等于内对角（如下图3，∠1=∠3） 1．（2020·山东东营·东营市实验

专题35 圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模 型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值 相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际 合理构造辅助圆来求解。实际 上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借 助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也 可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。 模型1 米勒最大张角（视角）模型 【模型解读】已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大。 M O N A B C B A O N M C 【模型证明】如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角，∠B 是圆周 角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 D B A O N M C C' 在三角形’D 中， 又

专题35 圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模 型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值 相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际 理构造辅助圆来求解。实际 上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借 助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也 可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。 模型1 米勒最大张角（视角）模型 【模型解读】已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大。 M O N A B C B A O N M C 【模型证明】如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角，∠B 是圆周 角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 D B A O N M C C' 在三角形’D 中， 又

圆 模型（三十七）——定弦定角模型 定弦定角：线段定，角度大小定 知识点一: ◎结论1：如图，B 定长，P 动点，保持∠PB ＝，则点P 在B 所对的圆弧上运 动。 ◎结论2：90°，如图B 定长，P 动点，保持∠PB ＝90º，则点P 在以B 为直 径的圆弧上运动（不包含、B 两点） 解题步骤： 1. 寻找张角 寻找张角 2. 根据张角动线段、确定 隐形圆 3. 定角是圆周角，找圆心 定半径 知识点二：30º、150 ◎结论3：如图，B 定长，P 动点，保持∠PB ＝30º（或∠PB ＝150º），则点 P 在以B 为边构造的等边△B（或△B´）的顶点（或´）为圆心的圆弧 上运动（不包含、B 两点） 当动点处的角度为150°时， 方法同上 知识点三：45º、135 ＝45º（或∠PB ＝135º），则点 P 在圆上运动 130°圆周角＝60°圆心角，即∠1B＝60°。 2. 以B 作等边三角形1B，以1 为圆心，为 半径画圆，∠PB＝30° 3. 等边三角形2B 也可向下作∠P0B＝30°。 点P 在弧PB 和弧P0B（除端点）上运动。 P 在以B 为底， B 为腰构造的等腰直角三角形△B（或△B´）的顶 点（或´）为圆心的圆弧上运动（不包含、B 两点）

圆 模型（三十七）——定弦定角模型 定弦定角：线段定，角度大小定 知识点一: ◎结论1：如图，B 定长，P 动点，保持∠PB ＝，则点P 在B 所对的圆弧上运 动。 ◎结论2：90°，如图B 定长，P 动点，保持∠PB ＝90º，则点P 在以B 为直 径的圆弧上运动（不包含、B 两点） 解题步骤： 1. 寻找张角 寻找张角 2. 根据张角动线段、确定 隐形圆 3. 定角是圆周角，找圆心 定半径 知识点二：30º、150° ◎结论3：如图，B 定长，P 动点，保持∠PB ＝30º（或∠PB ＝150º），则点 P 在以B 为边构造的等边△B（或△B´）的顶点（或´）为圆心的圆弧 上运动（不包含、B 两点） 当动点处的角度为150°时， 方法同上 知识点三：45º、135° ＝45º（或∠PB ＝135º），则点 P 在圆上运动 130°圆周角＝60°圆心角，即∠1B＝60°。 2. 以B 作等边三角形1B，以1 为圆心，为 半径画圆，∠PB＝30° 3. 等边三角形2B 也可向下作∠P0B＝30°。 点P 在弧PB 和弧P0B（除端点）上运动。 P 在以B 为底， B 为腰构造的等腰直角三角形△B（或△B´）的顶 点（或´）为圆心的圆弧上运动（不包含、B 两点）

面积定值、等值问题 一、方法突破 定值问题 【问题描述】 如图，抛物线 与x 轴交于、B 两点（点在点B 左侧），与y 轴交于点，连接 B，抛物线在线段B 上方部分取一点P，连接PB、P，若△PB 面积为3，求点P 坐标． P O A B C x y 思路1：铅垂法列方程解． 根据B、两点坐标得直线B 解析式：y=-x+3， 设点P 坐标为 ， 过点P 作PQ⊥x 轴交B 轴交B 于点Q， 则点Q 坐标为（m，-m+3）， ， ， 分类讨论去绝对值解方程即可得m 的值． 思路2：构造等积变形 P Q A B C 同底等高三角形面积相等． 取B 作水平宽可知水平宽为3，根据△PB 面积为3， 可知铅垂高为2， 在y 轴上取点Q 使得Q=2，过点Q 作B 的平行线， 交点即为满足条件的P 点． Q2 Q1 P4 P3 P2 y x C 左侧），与y 轴交于点，连接 B，抛物线上存在一点P 使得△PB 的面积等于△B 的面积，求点P 坐标． P O A B C x y 思路1：铅垂法 计算出△B 面积，将“等积问题”转化为“定积问题”，用铅垂法可解． 思路2：构造等积变形 过点作B 的平行线，与抛物线交点即为所求P 点， 另外作点关于点的对称点M，过点M 作B 平行线与抛物线的交点亦为所求P 点． 先求直线解析式，再联立方程即可求得P

专题五： 写 作 第40 讲 审题定中心 目 录 一、考情分析........................................................................................2 【课标要求】.................................................................. 力、昂扬向上，“游”既可以是一次现实的游览经历，也可以比喻经历生活中的磨炼、在知识海洋的游览， 或是畅想自己在历史中的游览……将自己的思路扩展开来，这样立意才会与众不同；若选择写《定风波》， 要从“定”和“风波”两个词进行理解，“定”是平定，解决的意思，“风波”可以是学习生活中遇到的 一场困难和波折，表现自己在这场风波中锻炼自己的能力，磨炼自己的心性。总之，内容上要积极向上， 情感上要充满正能量。 技巧7：点燃“哲思”的火把 “成败”“大小”“进退”“苦乐”“快 慢”“屈伸”等话题时，应运用对立统一、辩证分析等方式思考。分析命题时，要做到聚焦“哲思”，叙 事不仅要具体含情，且要条分缕析，立意避免浅表化、童稚化，要有一定的思想深度。 【链接中考】 （2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）文题：阅读下面材料，自选角度，自拟题目，写一篇文章。 哲学家培根说：“读书足以怡情，足以傅彩，足以长才。”画家黄永玉也说：“看书是一种快乐，然

专题五：写作 第40 讲 审题定中心（练习） 目 录 一、考点过关练............................................................2 二、真题实战练..........................................................14 三、重难创新练....................... 。文章要求逻辑严 密，段落间要有合理的过渡，每个主题句应明确表达一个观点，并与上下文相连。 10．（2023·广东深圳·统考中考真题）命题作文 十四五岁的你一定学到了很多东西，比如学科知识、才艺技能、日常经验、思想见识等，你也一定 曾有意无意地将它们用在生活中，或解决了问题，或展示了自我，或帮助了他人，或服务了社会。 把你的相关经历与感受写下来与大家分享吧。请以“把学到的用起来真有意义”为题目，写一篇文章。 己。 【写作指导】本题考查全命题作文。 一、审题立意。本次训练要求以“把学到的用起来真有意义”为题目，写一篇文章。结合材料“十四五 岁的你一定学到了很多东西，比如学科知识、才艺技能、日常经验、思想见识等”，可知：这是“学到 的”内容；结合材料“你也一定曾有意无意地将它们用在生活中，或解决了问题”，可知：这是“用起 来”的表现；结合材料“展示了自我，或帮助了他人，或服务了社会”，可知：这是“真有意义”的方

了代码，查得出异常，杀得了木马，翻得 了围墙，开得起好车，买得起新房，斗得过二奶，打得过流氓… 14.四年前，要是有女生冲我莫名其妙发脾气，我会默默想“淡定，她是来大姨妈了”。四 年后，再有女孩莫名其妙冲我发脾气，我会默默想“淡定，她一定是大姨妈没有按时 来。” 15.男人违章停车被罚款会和警察吵一架，女人在一边劝；女人违章停车被罚款会和身边的 男人吵一架，警察在一边劝。 16 那个谁，回去撒包尿漱漱口再来吧！ 26.春天，我把自己埋在村口的土地里，到了秋天就收获了好多的帅哥。然后我把村里的名 字改成“帅哥村”，我也如愿以偿当上了村长。 27.到了聪明人都无技可施时，笨人想出来的法子一定最有用！ 28.那天过马路，想着事情，没看行人灯。一辆车轧然刹在我身边。接着我听到一声亲切的 问候：“忙啥呢？投胎啊？” 29.我觉得全世界的熊全都一个熊样。 30.我没猜中我们故事的开头，也没猜中这故事的结尾…… 下午去湖里游泳，突然下起暴雨，我赶紧潜进水里避雨。 57.刚上大学，我们怀着憧憬看了《奋斗》，当我们踟躇的时候，我们看了《我的青春谁做 主》，就当我们即将豁然开朗的时候，一部《蜗居》把我们全拍死了。绝望中，我们看了 《》，顿时淡定了。买什么房子啊，早晚要塌的！ 58.人的寂寞，有时候能从身体上看出来！ 59.在公交车上，一个孕妇站在一个坐在凳子的年青男人前面，孕妇对他说：“难道你不知 道我怀孕了吗？”那男的说：“对不起，这孩子不会是我的吧？”