捆绑、插空、特殊元素（位置）、隔板、定序倍缩、分组分配、直排环 排、涂色解题技巧 知识迁移 求解排列应用问题方法汇总 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 对于某些顺序一定的元素(m 个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n 个)进行排列， 然后用总排列数A 除以m 个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A. 间接法 正难则反、等价转化的方法 分组分配 平均分组、部分平均分组 1．对不同元素的分配问题 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定 种情况，所以分组后一定 要除以A(n 为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分 组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要 除以全排列数． 隔板法 将 个相同元素放入 个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有

捆绑、插空、特殊元素（位置）、隔板、定序倍缩、分组分配、直排环 排、涂色解题技巧 知识迁移 求解排列应用问题方法汇总 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 对于某些顺序一定的元素(m 个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n 个)进行排列， 然后用总排列数A 除以m 个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A. 间接法 正难则反、等价转化的方法 分组分配 平均分组、部分平均分组 1．对不同元素的分配问题 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定 种情况，所以分组后一定 要除以A(n 为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分 组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要 除以全排列数． 隔板法 将 个相同元素放入 个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有

专题35 圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模 型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值 相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际 合理构造辅助圆来求解。实际 上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借 助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也 可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。 模型1 米勒最大张角（视角）模型 【模型解读】已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒 的视角就是这条直线关于这个圆的视角”是解题的关键． 模型2 定角定高模型（探照灯模型） 定角定高模型：如图，直线B 外一点，到直线B 距离为定值（定高），∠B 为定角，则D 有最小值，即△B 的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。。 条件：在△B 中，∠B= （定角），D 是B 边上的高，且D=（定高）。 结论：当△B 是等腰三角形（B=）时，B 的长最小；△B

面积定值、等值问题 一、方法突破 定值问题 【问题描述】 如图，抛物线 与x 轴交于、B 两点（点在点B 左侧），与y 轴交于点，连接 B，抛物线在线段B 上方部分取一点P，连接PB、P，若△PB 面积为3，求点P 坐标． P O A B C x y 思路1：铅垂法列方程解． 根据B、两点坐标得直线B 解析式：y=-x+3， 设点P 坐标为 ， 过点P 作PQ⊥x 轴交B 左侧），与y 轴交于点，连接 B，抛物线上存在一点P 使得△PB 的面积等于△B 的面积，求点P 坐标． P O A B C x y 思路1：铅垂法 计算出△B 面积，将“等积问题”转化为“定积问题”，用铅垂法可解． 思路2：构造等积变形 过点作B 的平行线，与抛物线交点即为所求P 点， 另外作点关于点的对称点M，过点M 作B 平行线与抛物线的交点亦为所求P 点． 先求直线解析式，再联立方程即可求得P

专题35 圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模 型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值 相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际 理构造辅助圆来求解。实际 上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借 助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也 可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。 模型1 米勒最大张角（视角）模型 【模型解读】已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒 的“视角"大于 ，直接写出圆心的横坐标 的取值范围． 模型2 定角定高模型（探照灯模型） 定角定高模型：如图，直线B 外一点，到直线B 距离为定值（定高），∠B 为定角，则D 有最小值，即△B 的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。。 条件：在△B 中，∠B= （定角），D 是B 边上的高，且D=（定高）。 结论：当△B 是等腰三角形（B=）时，B 的长最小；△B

（四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、 阿基米德折弦定理） 目 录 题型01 四点共圆 题型02 圆幂定理 题型03 垂径定理 题型04 定弦定角 题型05 定角定高模型（探照灯模型） 题型06 阿基米德折弦定理 题型01 四点共圆 1 四点共圆的判定 判定方法 图形 证明过程 若四个点到一个定点的距离相 等，则这四个点共圆（圆的定 义） 适用范围：题目出现共端点，等 【点睛】本题属于圆内综合题，考查圆的基本知识，垂径定理，圆周角定理，旋转的性质，直角三角形斜 边中线的性质，平面直角坐标系，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理 等，综合性较强，有一定难度，解题的关键是综合运用上述知识，逐步推导论证． 7．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）射线B 与直线D 交于点E，∠ED＝60°，点F 在直线D 上运动，连接 F，线段F 绕点顺时针旋转60°得到G，连接FG，EG，过点G 阅读材料 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所普的一部数学著作它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公 设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的科书其中第三卷命题36 一2 圆幂定理（切割线定 理）内容如下： 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项为了 说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，

（四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、 阿基米德折弦定理）目 录 题型01 四点共圆 题型02 圆幂定理 题型03 垂径定理 题型04 定弦定角 题型05 定角定高模型（探照灯模型） 题型06 阿基米德折弦定理 题型01 四点共圆 1 四点共圆的判定 判定方法 图形 证明过程 若四个点到一个定点的距离相 等，则这四个点共圆（圆的定 义） 适用范围：题目出现共端点，等 阅读材料 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所普的一部数学著作它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公 设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的科书其中第三卷命题36 一2 圆幂定理（切割线定 理）内容如下： 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项为了 说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整， 直线与圆 有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线 定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定 理“证明一”，请补充完整． 已知：如图①，过⊙O外一点P作⊙O的两条割线，一条交⊙O于A、B点，另一条交⊙O于C、D点． 求证：PA ⋅PB=PC ⋅PD． 证明一：连接AD、BC， ∵∠A和∠C为´

圆 模型（三十七）——定弦定角模型 定弦定角：线段定，角度大小定 知识点一: ◎结论1：如图，B 定长，P 动点，保持∠PB ＝，则点P 在B 所对的圆弧上运 动。 ◎结论2：90°，如图B 定长，P 动点，保持∠PB ＝90º，则点P 在以B 为直 径的圆弧上运动（不包含、B 两点） 解题步骤： 1. 寻找张角 寻找张角 2. 根据张角动线段、确定 隐形圆 3. 定角是圆周角，找圆心 定半径 知识点二：30º、150 ◎结论3：如图，B 定长，P 动点，保持∠PB ＝30º（或∠PB ＝150º），则点 P 在以B 为边构造的等边△B（或△B´）的顶点（或´）为圆心的圆弧 上运动（不包含、B 两点） 当动点处的角度为150°时， 方法同上 知识点三：45º、135 的最小值为__________． 【答】2 【分析】如图，连接E．首先证明∠BE=120°，根据定弦定角，可得点E 在以M 为圆心，MB 为半径的 上运动，连接M 交 于E′，此时E′的值最小． 【详解】解：如图，连接E． ∵P∥B， ∴∠P=∠B=60°， ∴∠EP=∠P=60°， ∴∠BE=120°， ,为定值，则点E 的运动轨迹为一段圆弧 如图，点E 在以M 为圆心，MB 为半径的 上运动，过点

专题五： 写 作 第40 讲 审题定中心 目 录 一、考情分析........................................................................................2 【课标要求】.................................................................. 力、昂扬向上，“游”既可以是一次现实的游览经历，也可以比喻经历生活中的磨炼、在知识海洋的游览， 或是畅想自己在历史中的游览……将自己的思路扩展开来，这样立意才会与众不同；若选择写《定风波》， 要从“定”和“风波”两个词进行理解，“定”是平定，解决的意思，“风波”可以是学习生活中遇到的 一场困难和波折，表现自己在这场风波中锻炼自己的能力，磨炼自己的心性。总之，内容上要积极向上， 情感上要充满正能量。 技巧7：点燃“哲思”的火把 “成败”“大小”“进退”“苦乐”“快 慢”“屈伸”等话题时，应运用对立统一、辩证分析等方式思考。分析命题时，要做到聚焦“哲思”，叙 事不仅要具体含情，且要条分缕析，立意避免浅表化、童稚化，要有一定的思想深度。 【链接中考】 （2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）文题：阅读下面材料，自选角度，自拟题目，写一篇文章。 哲学家培根说：“读书足以怡情，足以傅彩，足以长才。”画家黄永玉也说：“看书是一种快乐，然

专题五：写作 第40 讲 审题定中心（练习） 目 录 一、考点过关练............................................................2 二、真题实战练..........................................................14 三、重难创新练....................... 。文章要求逻辑严 密，段落间要有合理的过渡，每个主题句应明确表达一个观点，并与上下文相连。 10．（2023·广东深圳·统考中考真题）命题作文 十四五岁的你一定学到了很多东西，比如学科知识、才艺技能、日常经验、思想见识等，你也一定 曾有意无意地将它们用在生活中，或解决了问题，或展示了自我，或帮助了他人，或服务了社会。 把你的相关经历与感受写下来与大家分享吧。请以“把学到的用起来真有意义”为题目，写一篇文章。 己。 【写作指导】本题考查全命题作文。 一、审题立意。本次训练要求以“把学到的用起来真有意义”为题目，写一篇文章。结合材料“十四五 岁的你一定学到了很多东西，比如学科知识、才艺技能、日常经验、思想见识等”，可知：这是“学到 的”内容；结合材料“你也一定曾有意无意地将它们用在生活中，或解决了问题”，可知：这是“用起 来”的表现；结合材料“展示了自我，或帮助了他人，或服务了社会”，可知：这是“真有意义”的方