视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 D B A O N M C C' 米勒定理在解题中的应用 勒定理解题，这将会突破思维瓶 颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。 否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 【例1】．平面直角坐标系内，已知点（1，0），B（5，0），（0，t）．当t＞0 时，若 ∠B 最大，则t 的值为（ ） ． B． ． D． 解：如图①，作过、B 两点的⊙M 与y 轴相切于点， ' ∵∠B＜∠PB， 变式训练 【变式1-1】．如图，在正方形BD 中，边长为4，M 是D 的中点，点P 是B 上一个动点， 当∠DPM 的度数最大时，则BP＝ 4 2 ﹣ ． 解：作△PMD 的外接圆，则圆心在DM 的中垂线上移动， ∵∠DM＝2∠DPM， ∴当∠DM 最大时，∠DPM 最大， 当⊙与B 相切时，∠DM 最大， ∵M 是D 的中点，D＝4， ∴M＝DM＝2， 连接P，则P⊥B，

视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 D B A O N M C C' 米勒定理在解题中的应用 勒定理解题，这将会突破思维瓶 颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。 否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 【例1】．平面直角坐标系内，已知点（1，0），B（5，0），（0，t）．当t＞0 时，若 ∠B 最大，则t 的值为（ ） ． B． ． D． 变式训练 例题精讲 【变式1-1】．如图，在正方形BD 中，边长为4，M 是B 上一个动点， 当∠DPM 的度数最大时，则BP＝ ． 【变式1-2】．如图，∠B＝60°，M，是B 上的点，M＝4，M＝ ． （1）设⊙过点M、，、D 分别是M 同侧的圆上点和圆外点． 求证：∠M＞∠MD； （2）若P 是上的动点，求∠MP 的最大值． 【例2】．在直角坐标系中，给定两点M（1，4），（﹣1，2），在x 轴的正半轴上，求 一点P，使∠MP 最大，则P

视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 D B A O N M C C' 米勒定理在解题中的应用 勒定理解题，这将会突破思维瓶 颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。 否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 【例1】．平面直角坐标系内，已知点（1，0），B（5，0），（0，t）．当t＞0 时，若 ∠B 最大，则t 的值为（ ） ． B． ． D． 解：如图①，作过、B 两点的⊙M 与y 轴相切于点， ' ∵∠B＜∠PB， 变式训练 【变式1-1】．如图，在正方形BD 中，边长为4，M 是D 的中点，点P 是B 上一个动点， 当∠DPM 的度数最大时，则BP＝ 4 2 ﹣ ． 解：作△PMD 的外接圆，则圆心在DM 的中垂线上移动， ∵∠DM＝2∠DPM， ∴当∠DM 最大时，∠DPM 最大， 当⊙与B 相切时，∠DM 最大， ∵M 是D 的中点，D＝4， ∴M＝DM＝2， 连接P，则P⊥B，

视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 D B A O N M C C' 米勒定理在解题中的应用 勒定理解题，这将会突破思维瓶 颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。 否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 【例1】．平面直角坐标系内，已知点（1，0），B（5，0），（0，t）．当t＞0 时，若 ∠B 最大，则t 的值为（ ） ． B． ． D． 变式训练 例题精讲 【变式1-1】．如图，在正方形BD 中，边长为4，M 是B 上一个动点， 当∠DPM 的度数最大时，则BP＝ ． 【变式1-2】．如图，∠B＝60°，M，是B 上的点，M＝4，M＝ ． （1）设⊙过点M、，、D 分别是M 同侧的圆上点和圆外点． 求证：∠M＞∠MD； （2）若P 是上的动点，求∠MP 的最大值． 【例2】．在直角坐标系中，给定两点M（1，4），（﹣1，2），在x 轴的正半轴上，求 一点P，使∠MP 最大，则P

专题245 圆内接四边形【六大题型】 【人版】 【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】.........................................................................................................1 【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】...................... .........................5 【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】.........................................................................................................9 【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】.................... ..........................13 【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】...................................................................................................16 【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】...................

专题245 圆内接四边形【六大题型】 【人版】 【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】.........................................................................................................1 【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】...................... .........................2 【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】.........................................................................................................3 【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】.................... ..........................4 【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】.....................................................................................................5 【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】...................

圆 模型（三十五）——圆幂定理模型 知识点一：相交弦定理 ◎结论1：如图 ，⊙中，弦B、D 相交于点P，半径为r,则 P·BP ① ＝P·DP , P·BP ② ＝P·DP＝r2－P2 ①【证明】 如上右图 ∵∠＝∠D，∠P＝∠DPB △P∽△DPB ∴ ∴AP DP＝CP BP 即P·BP＝P·DP ② P 与⊙交于M 两点，r ＝P²－r² 1．（2020·全国·九年级课时练习）如图，圆内一条弦D 与直径B 相交成30°角，且分直径成1m 和5m 两部分，则 这条弦的弦心距是_____． 【答】1m 【分析】首先过点作F D ⊥ 于点F，设弦D 与直径B 相交于点E，由分直径成1m 和5m 两部分，可求得直径，半径 的长，继而求得E 的长，又由圆内一条弦D 与直径B 相交成30°角，即可求得这条弦的弦心距． (也可连结F，证△E∽△F) (3) 结论P Q=2成立 【点睛】本题考查相似三角形的性质，其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键． 1．（2022·内蒙古赤峰·九年级期末）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”， 也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙的两条弦B⊥D，则B、D 互为“十字弦”，B 是D 的“十字弦”，D 也是B 的“十字弦”．

圆 模型（三十五）——圆幂定理模型 知识点一：相交弦定理 ◎结论1：如图 ，⊙中，弦B、D 相交于点P，半径为r,则 P·BP ① ＝P·DP , P·BP ② ＝P·DP＝r2－P2 ①【证明】 如上右图 ∵∠＝∠D，∠P＝∠DPB △P∽△DPB ∴ ∴AP DP＝CP BP 即P·BP＝P·DP ② P 与⊙交于M 两点，r △PB∽△PD ∴ ∴PB PD＝PC PA P·PB ∴ ＝P·PD ＝PM·P ＝（P－r）（P＋r） ＝P²－r² 1．（2020·全国·九年级课时练习）如图，圆内一条弦D 与直径B 相交成30°角，且分直径成1m 和5m 两部 分，则这条弦的弦心距是_____． 从两线交点处引出的共线，线段的乘积相等 2．（2015·浙江宁波·九年级阶段练习）半圆的直径B=9，两弦B、D 若过的直线与弦D(不含端点)相交于点E，与⊙相交于点F，求证：E F=2； (3) 若过的直线与直线D 相交于点P，与⊙相交于点Q，判断P Q=2是否成立(不必证明) 1．（2022·内蒙古赤峰·九年级期末）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十 字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙的两条弦B⊥D，则B、D 互为 “十字弦”，B 是D 的“十字弦”，D 也是B 的“十字弦”．

46 圆 例 2023 年广安市中考第9 题 如图1，在等腰直角三角形B 中，∠B＝90°，＝B＝ ，以点为圆心，为半径画弧， 交B 于点E，以点B 为圆心，B 为半径画弧，交B 于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）． ．π－2 B．2π－2 ．2π－4 D．4π－4 图 1 例 2023 年滨州市中考第7 题 如图1，某玩具品牌的标志由半径为1m 如图1，某玩具品牌的标志由半径为1m 的三个等圆构成，且三个等圆⊙1、⊙2、⊙3相 互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）． ． m2 B． m2 ． m2 D． m2 图1 例 2023 年台州市中考第8 题 如图1，⊙的圆心与正方形的中心重 如图1，⊙的圆心与正方形的中心重合，已知⊙的半径和正方形的边长都为4，则圆上 任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）． ． B．2 ． D． 图1 例53 2023 年潜江市天门市仙桃市中考第7 题 如图1，在3×3 的正方形格中，

专题11 圆的最值问题（隐圆模型） 【知识点梳理】隐圆模型汇总 固定线段B 所对同侧动角∠P=∠，则、B、、P 四点共圆 若P 为动点，但B==P，则B、、P 三点共圆，圆心，B 半径 固定线段B 所对动角∠恒为90°，则、B、三点共圆，B 为直径 例．如图，在Rt B △中，∠B＝90°，∠B＝30°，B＝2 ，△D 与△B 关于对称，点E、F 上的任意一点，且DE＝F，BE、DF 相交于点P，则P 的最小值为( ) ．1 B． ． D．2 【答】D 【分析】连接BD，证明△EDB FD △ ，可得∠BPD＝120°，由于BD 的长确定，则点P 在以为圆 心，D 为半径的弧BD 上，当点，P，在一条直线上时，P 有最小值． 【详解】解：连接D，因为∠B＝30°，所以∠BD＝60°， 因为B＝D，所以△BD 是等边三角形， 所以BD＝D 因为DE＝F，∠EDB＝∠FD＝60°， 点在一个确定的圆或圆弧上运动， 当动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值． 【变式训练1】．如图， 是⊙的弦，点在⊙内， ，连接 ，若 ⊙的半径是4，则 长的最小值为 ． 【答】 / 【分析】延长 交圆于点D，连接 ，过点作 交于点E，则 是等边 三角形，再确定点在以E 为圆心， 为半径的圆上，则 的最小值为 ，再求解 即可． 【详解】解：如图，延长 交圆于点D，连接 ，过点作