题型19 10 类球体的外接及内切解题技巧 （特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、 二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定） 技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 知识迁移 球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3 底面外接圆的半径r 的求法 （1）正弦定理 （2）直角三角形：半径等于斜边的一半 （3）等边三角形：半径等于三分之二高 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 技法02 墙角问题的应用及解题技巧 技法03 对棱相等问题的应用及解题技巧 技法04 侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧 技法05 侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧 技法06 二面角与球体综合的应用及解题技巧 技法07 数学文化与球体综合的应用及解题技巧 技法08 最值与球体综合的应用及解题技巧 技法09 内切球综合的应用及解题技巧 上·浙江·高二校联考期中）在三棱锥 中，PA、AB、AC 两两垂直， ， ，则 三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．（2023·全国阶段练习）三棱锥 的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是 、 、 ， 则该三棱锥的外接球的体积是（ ） A． B． C． D． 技法03 对棱相等问题的应用及解题技巧 知识迁移 推导过程: 通过对棱相等, 可以将其补全为长方体

题型19 10 类球体的外接及内切解题技巧 （特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、 二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定） 技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 知识迁移 球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3 底面外接圆的半径r 的求法 （1）正弦定理 （2）直角三角形：半径等于斜边的一半 （3）等边三角形：半径等于三分之二高 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 技法02 墙角问题的应用及解题技巧 技法03 对棱相等问题的应用及解题技巧 技法04 侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧 技法05 侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧 技法06 二面角与球体综合的应用及解题技巧 技法07 数学文化与球体综合的应用及解题技巧 技法08 最值与球体综合的应用及解题技巧 技法09 内切球综合的应用及解题技巧 【详解】如图，将三棱锥补成长方体， 三棱锥的外接球就是长方体的外接球，所以 ， 则三棱锥外接球的表面积 . 故选：C 3．（2023·全国阶段练习）三棱锥 的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是 、 、 ， 则该三棱锥的外接球的体积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三棱锥 的三条侧棱 、 、 两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接

分，共10 题） 1. 圆柱的表面积等于（）。 A. 底面积+ 高 B. 2 × 底面积+ 侧面积 C. 底面积× 高 D. 侧面积+ 高 2. 一个圆柱底面半径是3 cm，高是5 cm ，其侧面积是（）cm²。 （π 取3.14） A. 94.2 B. 47.1 C. 31.4 D. 62 62.8 3. 计算圆柱表面积时，若只给出直径，需先求（）。 A. 高 B. 半径 C. 周长 D. 体积 4. 圆柱的侧面展开图是一个（）。 A. 圆形 B. 三角形 C. 长方形 D. 正方形 5. 一个无盖圆柱形水桶，底面直径4 dm，高6 dm，制作需铁皮 （）dm²。（π 取3.14） A. 244.92 B. 188.4 C. 157 D. 207.24 7. 圆柱侧面积公式是（）。 A. πr²h B. 2πrh C. πdh D. 2πr² 8. 底面半径和高相等的圆柱，侧面积是底面积的（）倍。 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 圆柱表面积单位是（）。

解剖学概述 一、A 1、关于解剖学位置下列说法中错误的是 A、近颅者为上。 B、近足者为下 C、近皮肤者为外 D、距身体背侧面近者为后 2、下列关于人体标准解剖学姿势说法正确的是 A、身体直立，面向前方，两眼平视正前方，两足 肩宽，足尖向前，双上肢下垂于躯干的两侧。掌心 向前 B、身体直立，面向前方，两眼平视正前方，两足 并拢，足尖向前，双上肢下垂于躯干的两侧。掌心 向前 C、远离皮肤而距人体内部中心近者为深 D、桡侧为内侧 4、解剖学中，人体的垂直轴是指 A、腹侧面至背侧面，同时与垂直轴呈直角交叉的 轴 B、左右方向与水平面平行，与矢状轴和垂直相垂 直的轴 C、上自头侧，下至尾侧并与地平面相垂直的轴。 D、左右平伸并与地平面垂直的轴 5、解剖学中，人体的矢状轴是指 A、腹侧面至背侧面，同时与垂直轴呈直角交叉的 轴 B、左右方向与水平面平行，与矢状轴和垂直相 垂直的轴 垂直的轴 C、上自头侧，下至尾侧并与地平面相垂直的轴。 D、左右平伸并与地平面垂直的轴 6、解剖学中，人体的冠状轴是指 A、腹侧面至背侧面，同时与垂直轴呈直角交叉的 轴 B、左右方向与水平面平行，与矢状轴和垂直相垂 直的轴 C、上自头侧，下至尾侧并与地平面相垂直的轴。 D、左右平伸并与地平面垂直的轴 7、解剖学中，关于人体矢状面的说法正确的是 A、该切面为左右方向

A. πr²h B. 2πr(h + r) C. πr² + 2πrh D. 2πr² + 2πrh 3. 一个圆柱的侧面积是50π 平方厘米，底面周长是10π 厘米，它的 高是多少厘米？ A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 4. 圆柱的侧面展开图是一个： A. 长方形B. 正方形C. 圆形D. 平行四边形 5. 一个圆柱的高不变，底面半径扩大到原来的2 A. 36π B. 54π C. 72π D. 108π 9. 一个圆柱的侧面积是94.2 平方厘米，高是5 厘米，它的底面半径 是多少厘米？(π 取3.14) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 10. 一个圆柱形罐头盒，底面直径14 厘米，高10 厘米。商标纸贴在 它的侧面，商标纸的面积至少是多少平方厘米？ A. 140π B. 196π C. 280π 280π D. 350π 二、多项选择题（每题2 分，共10 题） 1. 关于圆柱的表面积，下列说法正确的是： A. 等于两个底面积加侧面积 B. 等于底面周长乘以高再加两个底面积 C. 等于πdh + 2πr² (d 为直径) D. 等于2πr(h + r) 2. 一个圆柱的底面半径是r，高是h。下列哪些计算其表面积的表达式 是正确的？ A. 2πr(h + r)

A. S = πr²h B. S = 2πrh C. S = 2πr(h + r) D. S = πr² 3. 一个圆柱的底面直径是10 cm，高是8 cm，它的侧面积是多少？ A. 40π cm² B. 80π cm² C. 160π cm² D. 200π cm² 4. 一个圆柱的体积是150π cm³，底面半径是5 cm，它的高是多 圆柱的底面周长是12π cm，高是10 cm，它的表面积是多少？ A. 120π cm² B. 132π cm² C. 144π cm² D. 156π cm² 6. 一个圆柱的侧面积是100π cm²，高是5 cm，它的底面半径是多 少？ A. 4 cm B. 5 cm C. 10 cm D. 20 cm 7. 圆柱的体积与哪些因素成正比？ 高 D. V = 2πrh 2. 圆柱的表面积包括哪些部分？ A. 侧面积 B. 一个底面积 C. 两个底面积 D. 高 3. 一个圆柱的底面半径是3 cm，高是4 cm，哪些计算正确？ A. 体积= 36π cm³ B. 侧面积= 24π cm² C. 底面积= 9π cm² D. 表面积=

下面哪个平面图形可以折成一个正方体？ A. B. C. D. 3. 长方体有（）个面。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 4. 圆柱体的侧面展开后可能是（）。 A. 圆形B. 正方形C. 长方形D. 三角形 5. 观察礼品盒，它的形状是长方体，从上面看是什么图形？ A. 长方形B. 粉笔盒B. 乒乓球C. 字典D. 文具盒 7. 三棱柱的侧面展开图是（）。 A. 三个长方形B. 两个三角形C. 一个圆形D. 四个正方形 8. 用一张长方形纸卷成一个圆柱体，这张纸是圆柱体的（）。 A. 底面B. 侧面C. 高D. 顶点 9. 正方体的每个面都是（）。 A. 圆锥体的侧面展开图是扇形。（） 8. 长方体相对的两个面大小相同。（） 9. 魔方有6 个面，每个面都是正方形。（） 10. 圆柱体的高就是侧面展开后长方形的宽。（） 四、简答题（每题5 分，共4 题） 1. 画出一个正方体的展开图，并标出相对的面。 2. 为什么球体不能像长方体一样展开成平面图形？ 3. “ ” 小明说：圆柱体的侧面展开一定是长方形。这句话对吗？为什

1．（2022 春•五华区期末）如图，正方体的棱长为2m，点B 为一条棱的中点．蚂蚁在正 方体表面爬行，从点爬到点B 的最短路程是（ ） ．❑ √10m B．4m ．❑ √17m D．5m 【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最 短，根据勾股定理可求出最短路径长， 【解答】解：如图， 它运动的最短路程B¿ ❑ √(2+2) 2+( 2 2 ) 2=❑ √17（m）． 点出发，沿着圆柱体的表 面爬行到点D 的最短路程是（ ）m． 1 ．14 B．12 ．10 D．8 【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为12m，求出B 的值；再在Rt△BD 中，根据勾股定理求出D 的长，D 即为所求． 【解答】解：圆柱侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面周长为12m， ∴B＝6m． ∵BD＝8m， 在Rt△BD 中，D2＝B2+BD2， ∴D¿ 点，如图所 示，若每根柱子的底面周长均为2 米，高均为3 米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度 为（ ） ．❑ √7米 B．❑ √11米 ．❑ √13米 D．5 米 【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结 果，在求线段长时，借助于勾股定理． 【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形， 则彩灯带长为2 个长方形的对角线长， ∵圆柱高3 米，底面周长2 米，

址：sp432575988tbm 正侧结合法 一什么是正侧面描写相结合 正面描写，之叫直接描写，它是最主要的描写手段，是直接描写入物的语言、行动和心理或直 接描写景物的方法。 侧面描写，是指对描写的对象部做正面的描绘，而是通过对被描写对象的周围效果的渲染来表 现被描写对象的一种表现手法，又叫衬托法。 如果将正面描写与侧面描写结合起来，就是正侧面描写相结合手法。 如方苞的散文《左忠毅公逸事》， 才，第二件事描写了左光斗为阉党陷害，身陷囹圄而坚强部屈。 文章后半部分所记的两件事，表面看来是写史可法的，而实际上乃是展示了左光斗精神的感入 之深和影响力之深，乃是以史可法映衬左光斗，以学生写老师，这就使用了侧面描写手法。 如此一来，这篇文章就使用了正侧面描写相结合手法。 表哥 放暑假了，他坐上了去蓬莱的客车，到姑妈家去。 姑妈家住在蓬莱，那里青山绿水，依山傍海，是个神仙都喜欢的地方；尤其是，他更想见到他 表哥，听妈妈说 叫入销魂，他们迎着那 一片金碧辉煌里，乘车回家。 在回家的路上，他觉得，入生在世，近朱者赤，与有正能量的入在一起是快乐的，他觉得他长 大了许多…… 【名师点评】 《表哥》者，主要使用了正侧面描写相结合手法和衬托手法，展现了表哥风采。 ①文章开篇使用了景物描写“青山绿水，依山傍海，是个神仙都喜欢的地方”，这就以美丽景 色映衬了表哥。 ②随后描述道“听妈妈说表哥可优秀呢，年年都是三好学生、优秀干部、学雷锋标兵”，这就

【详解】解：把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图所示： 由题意得： BD=20，D=B+10=15，∠BD=90°， 在 中， ， ②把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图所示： 长方体的宽为10，高为20，点B 到点的距离是5， BD=D+B=20+5=25，D=10， 在直角三角形BD 中，根据勾股定理得： ； ③把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图所示： D．12m 【答】B 【分析】把圆柱的侧面展开，连接 ，利用勾股定理即可得出 的长，即蚂蚁从 点爬到 点的最短距离． 【详解】解：如图：展开后线段 的长度是圆柱中半圆 的周长， 圆柱底面直径 、高 ， 为 的中点， ， 在 中， ， 蚂蚁从 点爬到 点的最短距离为 ， 故选： ． 【点睛】本题考查的是平面展开 最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此 题的关键． 在杯内离杯底4m 的点处有 一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4m 与蜂蜜相对的处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（ ） ．15m B．16m ．17m D．18m 【答】 【分析】在侧面展开图中，过作Q⊥EF 于Q，作关于E 的对称点′，连接′交E 于P，连接P，则P＋P 就是蚂蚁到 达蜂蜜的最短距离，求出′Q，Q，根据勾股定理求出′即可． 【详解】解：沿过的圆柱的高剪开，得出矩形EFG，过作Q⊥EF