题型19 10 类球体的外接及内切解题技巧 （特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、 二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定） 技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 知识迁移 球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3 底面外接圆的半径r 的求法 （1）正弦定理 （2）直角三角形：半径等于斜边的一半 （3）等边三角形：半径等于三分之二高 墙角问题的应用及解题技巧 技法03 对棱相等问题的应用及解题技巧 技法04 侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧 技法05 侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧 技法06 二面角与球体综合的应用及解题技巧 技法07 数学文化与球体综合的应用及解题技巧 技法08 最值与球体综合的应用及解题技巧 技法09 内切球综合的应用及解题技巧 技法10 外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 技法06 二面角与球体综合的应用及解题技巧 本文梳理以二面角为背景的外接球问题，这类问题难度较大，对空间想象能力要求较高，基于此本文先给 出一般结论，再对其展开详细应用，大家需重点强化复习. 知识迁移 基本原理 如下图, 所示为四面体 P−ABC, 已知二面角 P−AB−C 大小为 α, 其外接球问题的步骤如下: (1) 找出

题型19 10 类球体的外接及内切解题技巧 （特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、 二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定） 技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 知识迁移 球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3 底面外接圆的半径r 的求法 （1）正弦定理 （2）直角三角形：半径等于斜边的一半 （3）等边三角形：半径等于三分之二高 墙角问题的应用及解题技巧 技法03 对棱相等问题的应用及解题技巧 技法04 侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧 技法05 侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧 技法06 二面角与球体综合的应用及解题技巧 技法07 数学文化与球体综合的应用及解题技巧 技法08 最值与球体综合的应用及解题技巧 技法09 内切球综合的应用及解题技巧 技法10 ，确定出三棱锥外接球球心的 位置，进而求得半径. 技法06 二面角与球体综合的应用及解题技巧 知识迁移 基本原理 如下图, 所示为四面体 P−ABC, 已知二面角 P−AB−C 大小为 α, 其外接球问题的步骤如下: (1) 找出 △PAB 和 △ABC 的外接圆圆心, 分别记为 O1 和 O2. 本文梳理以二面角为背景的外接球问题，这类问题难度较大，对空间想象能力要求较高，基于此本文先给

性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 例1-1．（2022·全国·统考高考真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E 是 的 中点． (1)证明： 平面 ； (2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值． 【详解】（1）证明：连接 并延长交 于点 ，连接 、 ， 因为 是三棱锥 的高，所以 平面 ， 平面 ， 所以 、 ， 又 ，所以 ，即 ，所以 ， 又 ，即 ，所以 ， ， ， ， ， 所以 ， 则 ， ， ， 设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所以 ； 设平面 的法向量为 ，则 ， 令 ，则 ， ，所以 ； 所以 . 设二面角 的大小为 ，则 ， 所以 ，即二面角 的正弦值为 . 例1-2．（2022·全国·统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图 所示：底面 是边长为8（单位： ）的正方形， 例1-3．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，BP，AP，BC 的中点分别为D，E，O， ，点F 在AC 上， . (1)证明： 平面 ； (2)证明：平面 平面BEF； (3)求二面角 的正弦值. 【详解】（1）连接 ，设 ，则 ， ， ， 则 ， 解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点， 于是 ，即 ，则四边形 为平行四边形， ，又 平面 平面 ， 所以

性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 例1-1．（2022·全国·统考高考真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E 是 的 中点． (1)证明： 平面 ； (2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值． 【详解】（1）证明：连接 并延长交 于点 ，连接 、 ， 因为 是三棱锥 的高，所以 平面 ， 平面 ， 所以 、 ， 又 ，所以 ，即 ，所以 ， 又 ，即 ，所以 ， ， ， ， ， 所以 ， 则 ， ， ， 设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所以 ； 设平面 的法向量为 ，则 ， 令 ，则 ， ，所以 ； 所以 . 设二面角 的大小为 ，则 ， 所以 ，即二面角 的正弦值为 . 例1-2．（2022·全国·统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图 所示：底面 是边长为8（单位： ）的正方形， 例1-3．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，BP，AP，BC 的中点分别为D，E，O， ，点F 在AC 上， . (1)证明： 平面 ； (2)证明：平面 平面BEF； (3)求二面角 的正弦值. 【详解】（1）连接 ，设 ，则 ， ， ， 则 ， 解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点， 于是 ，即 ，则四边形 为平行四边形， ，又 平面 平面 ， 所以

11.已知直三棱柱ABC﹣A'B'C'的底面是正三角形，侧棱长与底面边长相等，P 是侧棱 AA'上的点（不含端点） ．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与直线B'C 所 成的角为β，二面角P﹣B'B﹣C 的平面角为γ，则（ ） A．α＞β＞γ B．α＜β＜γ C．α＞γ＞β D．β＞α＞γ 12.如图，在正方形中，点 , E F 分别是线段 , AD BC 上的动点，且 , AE 之间滑动，但与AB 和CD 均不重合．在EF 任一确定位置，将四 边形EFCD 沿直线EF 折起， 使平面EFCD 平面ABFE ， 则下列选项中错误的是 （ ） A． AGC  的角度不会发生变化 B．二面角G AC B   先变大后变小 C．AC 与平面ABFG 所成的角变小 D．AC 与EF 所成的角先变小后变大 试卷第3页，共4页 二、填空题（每小题5 分，共20 分） 13.空间直角坐标系中点 PB  ，则点P 的坐标为___________. 14.方程 2 2 0 x y x y m      表示一个圆，则m 的取值范围是_______ 15.如图， 在120°的二面角 l    中， , , , A l B l AC BD       且 , AC AB BD AB   ， 垂足分别为A，B，已知 6 AC AB BD    ，则线段CD

11.已知直三棱柱ABC﹣A'B'C'的底面是正三角形，侧棱长与底面边长相等，P 是侧棱 AA'上的点（不含端点） ．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与直线B'C 所 成的角为β，二面角P﹣B'B﹣C 的平面角为γ，则（ ） A．α＞β＞γ B．α＜β＜γ C．α＞γ＞β D．β＞α＞γ 12.如图，在正方形中，点 , E F 分别是线段 , AD BC 上的动点，且 , AE 之间滑动，但与AB 和CD 均不重合．在EF 任一确定位置，将四 边形EFCD 沿直线EF 折起， 使平面EFCD 平面ABFE ， 则下列选项中错误的是 （ ） A． AGC  的角度不会发生变化 B．二面角G AC B   先变大后变小 C．AC 与平面ABFG 所成的角变小 D．AC 与EF 所成的角先变小后变大 试卷第3页，共4页 二、填空题（每小题5 分，共20 分） 13.空间直角坐标系中点 PB  ，则点P 的坐标为___________. 14.方程 2 2 0 x y x y m      表示一个圆，则m 的取值范围是_______ 15.如图， 在120°的二面角 l    中， , , , A l B l AC BD       且 , AC AB BD AB   ， 垂足分别为A，B，已知 6 AC AB BD    ，则线段CD

11.已知直三棱柱ABC﹣A'B'C'的底面是正三角形，侧棱长与底面边长相等，P 是侧棱 AA'上的点（不含端点） ．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与直线B'C 所 成的角为β，二面角P﹣B'B﹣C 的平面角为γ，则（ ） A．α＞β＞γ B．α＜β＜γ C．α＞γ＞β D．β＞α＞γ 12.如图，在正方形中，点 , E F 分别是线段 , AD BC 上的动点，且 , AE 之间滑动，但与AB 和CD 均不重合．在EF 任一确定位置，将四 边形EFCD 沿直线EF 折起， 使平面EFCD 平面ABFE ， 则下列选项中错误的是 （ ） A． AGC  的角度不会发生变化 B．二面角G AC B   先变大后变小 C．AC 与平面ABFG 所成的角变小 D．AC 与EF 所成的角先变小后变大 试卷第3页，共4页 二、填空题（每小题5 分，共20 分） 13.空间直角坐标系中点 PB  ，则点P 的坐标为___________. 14.方程 2 2 0 x y x y m      表示一个圆，则m 的取值范围是_______ 15.如图， 在120°的二面角 l    中， , , , A l B l AC BD       且 , AC AB BD AB   ， 垂足分别为A，B，已知 6 AC AB BD    ，则线段CD

AD= ，点E 是PB 的中点． （1）证明：AE⊥PC； （2）求二面角C−AE−D 的大小． 【分析】（1）由 平面 ，知 ，结合 ，可证 平面 ， 从而得 ，再证 ，进而知 平面 ，然后由线面垂直的性质定理， 得证； （2）先证平面 平面 ，可知二面角 与二面角 是互余的， 再根据二面角的定义找出二面角 的平面角，并求之，即可得解． 【解析】 （1）证明：因为 平面 ， 平面 （2）解：由（1）知， 平面 ， 因为 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以平面 平面 ，所以二面角 与二面角 是互余的， 问题可转化为求二面角 的大小， 由（2）知， ， ， 因为 ，所以 ，即 ， 又 ，所以 即为二面角 的大小， 因为 ， ，所以 ，即二面角 的大小为 ， 故二面角 的大小为 ． 21．（本小题满分12 分） 向量 （2，2），向量b 与向量a 的夹角为 ，且

内一点， ，则 ______． 四、解答题（本大题共6 小题，共70.0 分） 17. 如图，四棱锥 中， 底面 ， 底面 为直角梯形， ， ， 点在棱 上，且 ． 求证： 平面 ； 求二面角 的正弦值的大小． 18. 已知，是圆： 与轴的两个交点，且在上方． 若直线过点 ，且与圆相切，求的方程； 已知斜率为的直线 过点 ，且与圆交于 ，两点，直线 ， 相交于点 ，证明点在定直线上． 求抛物线的方程； 过点作直线，使得抛物线上恰有三个点到直线的距离都为，求直线的方程． 21. 如图，三棱锥 中， 是边长为的正三角形， ， 底面 于 点， ，且 ． 求证： 平面 ； 求二面角 的余弦值； 在棱 上是否存在点，使得 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说明 理由． 1. 在平面直角坐标系 中，设 为椭圆 ： 的左焦点，直线 与轴交于点， 为椭圆的左顶点，已知椭圆长轴长为，且 ， 设二面角 的平面角是， 则 ， ． 二面角 的正弦值 ． 【解析】 连接 ， ，交点为 由 ∽ ，且 知 ，在三 角形 中， ， 故EG 由此能够证明 平面 ． 以为原点， 所在直线为轴， 所在直线为轴， 所在直线为轴，建立空间直 角坐标系．则 ， ， ，由题得向量 是平 面 的一个法向量．设向量 是平面 的一个法向量，由 ，知 ，故 ，由向量法能够求出二面角 的正弦值．

内部一点（包括 第5 页/共31 页 （北京）股份有限公司 边界），且二面角 的平面角大小为 ，则 面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量求得Q 运动轨迹，进而求得 面积的最大值. 【详解】如图以A 为坐标原点建立空间直角坐标系， 由二面角 的平面角大小为30°，可知Q 的轨迹是过点D 的一条直线， 又Q 是四边形ABCD 易知平面APD 的一个法向量为 ， 第6 页/共31 页 （北京）股份有限公司 设平面PDG 的法向量为 ， 则 ，即 ， 令 ，得 ， ， 所以 是平面PDG 的一个法向量， 则二面角 的平面角的余弦值为 ， 解得 或 （舍去）， 所以Q 在DG 上运动， 故 面积的最大值是 . 故选：A． 8. 有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体， 如图，四边形ABCD 中， ， ， ， ，将 沿AC 折到 位置，使得平面 平面ADC，则以下结论中正确的是（ ） A. 三棱锥 的体积为8 B. 三棱锥 的外接球的表面积为 C. 二面角 的正切值为 D. 异面直线AC 与 所成角的余弦值为 【答案】ABC 第12 页/共31 页 （北京）股份有限公司 【解析】 【分析】对于A，先四边形ABCD 中，利用已知条件结正弦定理求出