湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高二上学期入学考试数学答案

长郡中学2022 年高二暑假作业检测试卷 数 学 得分： 本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8 页。时量120 分钟。满 分150 分。 第 Ⅰ 卷 一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．已知i 是虚数单位，复数 是纯虚数，则实数x 的值为（ ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】由题意，利用纯虚数的定义，求得实数 的值． 【解析】解： 是虚数单位，复数 是纯虚数， ， ， 故选： ． 2．若 ，则下列不等式成立的是（ ） A ． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用不等式的性质推出结果即可． 【解析】解： ，可得 ，可得 ， 并且 ，可得 ， ． ， 可得： ． 故选： ． 3．在平面四边形中，满足 ， ，则四边形ABCD 是（ ） A．矩形 В．正方形 C．菱形 D．梯形 【答案】C 【分析】由向量的运算性质进行判断． 【解析】平面四边形 中，由 ，得 ，可知 共线， 由 ，可知 ，因此可得四边形 是菱形， 故选C． 4．《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭， 下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“ 有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆 台的侧面积（单位：平方丈）为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆台的上底面半径为 ，下底面半径为 ，由已知周长求出 和 ，然后由圆 台的侧面积公式求解即可． 【解析】解：设圆台的上底面半径为 ，下底面半径为 ， 则有 ， ， 解得 ， 又圆台的高为1 丈， 所以圆台的母线长为 ， 所以圆台的侧面积为 ． 故选： ． 5．已知a，b 是两条不重合直线， ， 是两个不重合平面，则下列说法正确的是（ ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则 【答案】C 【分析】利用线线，线面，面面的位置关系逐项分析即得． 【解析】解：若 ， ，则 或 ，故 错误； 若 ， ，则 或 或 与 相交，故 错误； 若 ， ，则 或 ，又 ，故 ，故 正确； 若 ， ，则 ，又 ，则 或 ，故 错误． 故选： ． 6．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 ，则 △ABC 的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 ，从而可求 ，或 ，进而可得 为直角，或 ，即可判断得解三角形的形状． 【解析】解： ， 由正弦定理可得： ， 可得： ， ，可得： ， ，可得： ， ，或 ， 为直角，或 ， 的形状为等腰三角形或直角三角形． 故选： ． 7．设 ，若 是 的最小值，则a 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式，先求出当 时的函数最值，然后结合一元二次函数的性质进 行讨论即可． 【解析】解：当 时， ，此时函数的最小值为 ， 若 ，则函数的最小值为 （a） ，此时 不是 的最小值，此时不满足条件， 若 ，则要使 是 的最小值，则满足 ， 即 解得 ， ， ， 故选： ． 8．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠 最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于 今日的足球．2006 年5 月20 日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家 非物质文化遗产名录．已知某鞠（球的表面上有四个点A，B，C，P，且球心O 在PC 上， AC=BC=4 ，AC⊥BC ， ，则该鞠（球）的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出图形，作出辅助线，求出 ， 进而得到 ，利用勾股定理求出球的半径，求出球的表 面积． 【解析】解：如图，取 的中点 ，连接 ， 由 ， 得： ， 由 ，得： ， 连接 并延长，交球 于点 ，连接 ， 因为 球 的直径，设球的半径为 ，则 ， 则 ， 所以 ， 解得： ，球的表面积为 ， 故选： ． 二、选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分） 9．下列选项中，与sin30°的值相等的有（ ） A ． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简各个选项即可计算得解． 【解析】解：对于 ， ，故错误； 对于 ， ，故正 确； 对于 ， 故正确； 对于 ， 故错误． 故选： ． 10．某同学在研究函数 ，（ ）时，分别得出下面几个结论，其中正确 的结论是（ ） A．等式 在 时恒成立 B．函数 的值域为 C．若 ，则一定有 D．方程 在R 上有三个根 【答案】ABC 【分析】利用函数的性质，对各项逐一分析即可． 【解析】解：因为 ， 所以 ， 所以 正确； 因为 的图象如下图所示： 由图象可知函数 是奇函数，且在 上为单调增函数，值域为 ，所以 正确； 因为 ，所以 当 时， ， 当 时， ， 在 上只有一个零点，即 的图象与 只有一个交点 所以 不正确； 故选： ． 11 ． 已 知 ， ， ， ，且 的图象的对称中心与对称轴的最小距离为 ，则下列说法正 确的是（ ） A． B． 的图象关于直线 对称 C．把 图象向左平移 单位，所得图象关于y 轴对称 D．保持 图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2 倍，然后把图象向左平移 个单位，得到函数 的图象 【答案】ABD 【分析】由题意，利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简函数的解析式，再利 用函数 的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否 正确，从而得出结论． 【解析】解： ， ， ， ， 的图象的对称中心与对称轴的最小距离为 ， ， ，故 正确； 令 ，可得 ，是最小值，故 的图象关于直线 对称，故 正确； 把 图象向左平移 单位，可得 的图象， 由所得函数为非奇非偶函数，故所得函数的图象不关于 轴对称，故 错误； 保持 图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2 倍，可得 的图 象， 然后把图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，故 正确， 故选： ． 12．已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，如图，点F，G，M 分别为CC1，BB1，B1C1 的中点，则下列说法正确的是（ ） A．平面AD1F∥平面A1MG B．直线AD1与直线A1G 所成角的余弦值为 C．平面AFD1截正方体ABCD−A1B1C1D1所得截面的面积为 D．点C1与点G 到平面AFD1的距离相等 【答案】ABC 【分析】利用几何题的特征，结合线面的位置关系，逐个判断即可得出答案． 【解析】解：对于 ：因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ， 又 ，所以 ， 又 为 的中点，所以 且 ， 所以四边形 是平行四边形，所以 ， 因为 ， ， 所以平面 平面 ，故 正确； 对于 ：因为正方 的棱长为1， 所以 ， ， ， 所以 ，故 正确； 对于 ：取 的中点 ，连接 ， ， 因为 ，又 ，所以 ， 所以 在平面 内， 所以平面 截正方体 所得截面为等腰梯形 ， 过点 作 ，垂足为 ， ， ， ， ， ， 所以 ，故 正确； 对于 ：因为 平面 ， 所以 不会平行于平面 ，且线段 不与平面 相交， 所以点 与点 到平面 的距离不相等，故 不正确； 故选： ． 第 Ⅱ 卷 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13．欧拉公式 （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将 指数函数的定义域扩大到复数集，则复数 的共轭复数为________． 【答案】 【分析】利用复数三角形式以及复数的除法化简所求复数，利用共轭复数的定义可得结果． 【解析】解：由已知可得 ， 所以 ， 因此，复数 的共轭复数为 ． 故答案为： ． 14．已知 ，则 ________． 【答案】 【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式即可求解 【解析】因为 ， 则 15．已知函数 在 内是减函数，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用正切函数的单调性与周期性及可求得答案． 【解析】解： 函数 在 内是减函数， 且函数 在 ， 内也是减函数， ， ， ， 又 ， ． 故答案为： ， ． 16．已知三角形的三边长，其面积是固定的，而已知平面凸四边形的四边长，其面积是不 确定的．现有一平面凸四边形ABCD，AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，则其面积最大值为 ________． 【答案】 【分析】设 ， ，利用两次余弦定理求得 ， 的关系，再根 据三角形面积公式以及余弦的差角公式，即可求得结果． 【解析】解：设 ， ，连接 ，作图如下： D C B A 在 中，由余弦定理可得： ， 在 中，由余弦定理可得： ， 故可得 ，即 ， 又四边形 的面积 ， 令 ，则 ， 由 ，则 ， 上述两式相加可得： ，即 ， 当且仅当 时， 取得最大值40，此时 的最大值为 ， 由 ，其最大值为 ． 四、解答题（本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10 分） 如图所示，三棱柱 ABC−A1B1C1 中， ， ， ， CA=CB=CC1=1， ， ，N 是AB 中点． （1）用a，b，c 表示向量 ； （2）在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥A1N？若存在，求出M 的位置，若不存在， 说明理由． 【分析】（1）根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可； （2）根据空间向量共线向量的性质，结合空间向量垂直的性质进行求解即可． 【解析】 解：（1） ； （2）假设存在点 ，使 ，设 ， ， 显然 ， ， 因为 ，所以 ， 即 ， ， ， ， ， ， ， 即 ， 解得 ，所以当 时， 18．（本小题满分12 分） 已知函数 ． （1）若函数 在 上有且仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （2）是否存在实数m，使得函数 （ ）在 上的值域 为 ，若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由． 【分析】（1）由题意可得关于 的方程 在 ， 上有且仅有一个实根，作 出函数 在 ， 上的图像，由图像可得所求范围； （2 ）化简可得 ， ，由 的单调性可得 ， 是 的两个不等正根，由判别式大于0 和韦达定理，解不等式可得所求取值 范围． 【解析】 解：（1）问题转化为关于 的方程 在 ， 上有且仅有一个实根， 作出函数 在 ， 上的图像（如右图）， ， ，由题意， 直线 与该图像有且仅有一个公共点， 所以实数 的取值范围是 ； （2）记 ， 其中 ，因为函数 在 ， 上单调递增， 若存在实数 ，使得 的值域为 ， ， 则 （a） ， （b） ，所以 ， 即 ， 是 的两个不等正根， 所以△ ， ， ， 解得 ， 所以实数 的取值范围是 ． 19．（本小题满分12 分） 如图所示，已知DOE 是半径为 ，中心角为 的扇形，P 为弧 上一动点，四边 形PQMN 是矩形，∠POD=x（ ）． （1）求矩形PQMN 的面积 的最大值及取得最大值时的x 值； （2）在△ABC 中， ， ，其面积 ，求△ABC 的周长． 【分析】（1 ）求出 ， ， ， ，由此能求出矩形 的面积的最大值． （2 ）求出 ， ，由余弦定理得 ，由此能求出 的周长． 【解析】 解：（1）由题意 ， ， ， ， ， 矩形 的面积为： ， ， ， 当 时，即 时， 的最大值为 ． （2）由（1）得 ， ， ， 由余弦定理得 ， ，即 ， ， 的周长为 ． 20．（本小题满分12 分） 如图所示，四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2， AD= ，点E 是PB 的中点． （1）证明：AE⊥PC； （2）求二面角C−AE−D 的大小． 【分析】（1）由 平面 ，知 ，结合 ，可证 平面 ， 从而得 ，再证 ，进而知 平面 ，然后由线面垂直的性质定理， 得证； （2）先证平面 平面 ，可知二面角 与二面角 是互余的， 再根据二面角的定义找出二面角 的平面角，并求之，即可得解． 【解析】 （1）证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 因为底面 为矩形，所以 ， 又 ， ， 平面 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ， 因为 ，点 是 的中点，所以 ， 又 ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ． （2）解：由（1）知， 平面 ， 因为 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以平面 平面 ，所以二面角 与二面角 是互余的， 问题可转化为求二面角 的大小， 由（2）知， ， ， 因为 ，所以 ，即 ， 又 ，所以 即为二面角 的大小， 因为 ， ，所以 ，即二面角 的大小为 ， 故二面角 的大小为 ． 21．（本小题满分12 分） 向量 （2，2），向量b 与向量a 的夹角为 ，且 （1）求向量b； （2）若 （1，0），且 ， （ ， ），其中A，B， C 是△ABC 的内角，且 ，试求 的取值范围． 【分析】（1）设出向量 ，由向量 与向量 的夹角为 及 得到关于 、 的二元方程组，求解后可得向量 的坐标； （2 ）由 得 （0 ，1 ），求出 及其模 的表达式，由 得 ，化简 ，求出它的取值范围． 【解析】 解：（1）设 ， 则 ， ①； 又 ， ， ，即 ②； 由①②解得 或 ， 或 ； （2） （1，0）且 ， ； ， ， ， ； ； ， ， ， ， ． 22．（本小题满分12 分） 如图①所示，长方形ABCD 中，AD=1，AB=2，点M 是边CD 的中点，将△ADM 沿 AM 翻折到△PAM，连结PB，PC，得到图②的四棱锥P–ABCM． （1）若棱PB 的中点为N，求CN 的长； （2）设P−AM−D 的大小为 ，若 ，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最 小值． 【分析】（1 ）作出辅助线，证明出四边形 为平行四边形，从而得到 ； （2）作出辅助线，得到 为 的平面角，即 ，建立空间直角坐 标系，用含 的关系式表达出平面 和平面 的法向量，利用空间向量夹角余弦公 式得到 ，结合的取值范围求出余弦值的最小值． 【解析】 解：（1）取 中点 ，连接 ， ， 则因为 为 中点，所以 为 的中位线， 所以 且 ， 因为 为 的中点，四边形 为矩形， 所以 且 ， 所以 且 ， 故四边形 为平行四边形， 所以 ； （2）连接 ， 因为 ，所以 ， 所以 为 的平面角，即 ， 过点 作 平面 ，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，0， ， ，1， ， ，2， ， 过 作 于点 ，由题意得 平面 ， 设 ， ， ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 设平面 的法向量为 ， 则 ， 令 ，则 ， 设平面 的法向量为 ， ， ， 因为 ， 则 ， 令 ，可得： ， 设两平面夹角为 ， 则 ， 令 ，所以 ， 所以 ，所以当 时， 有最小值 ， 所以平面 和平面 夹角余弦值的最小值为