安徽省合肥市第六中学2021-2022学年高二上学期10月单元教学评价（月考）数学试题

试卷第1页，共4页 2020 级高二上学期数学单元教学评价试卷 时长：120 分钟 分值：150 分 一、选择题（每小题5 分，共60 分） 1．已知   1 ,1,0 a t    ，   2, , b t t   ，则b a  r r 的最小值是（ ） A．1 B． 2 C． 3 D． 5 2．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为   ，则能使l∥α的是（ ） A．   1,0,0 a   ，   2,0,0    B．   1,3,5 a   ，   1,0,1    C．   0,2,1 a   ，   1,0,1    D．   1, 1,3 a    ，   0,3,1    3．正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  中， = ，则点 1与平面 1 A BD 的距离为（ ） A．1 2 B．2 3 C．2 3 3 D． 6 2 4．如图，在三棱锥S ABC  中，点E ，F 分别是SA，BC 的中点，点G 在线段EF 上， 且满足 1 2 EG GF  ，若SA a    ，SB b   ，SC c      ，则SG    （ ） A．1 1 1 3 2 6 a b c      B．1 1 1 3 6 6 a b c      C．1 1 1 6 3 2 a b c      D．1 1 1 3 6 2 a b c      5． 在如图所示的四棱锥P ABCD  中， / / AB CD ， 2 3 PAD    ， PA AB  ， 2 PA AD   ， 1 2 2 AB CD   ，且BC BD  ，则直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值为（ ） A． 10 5 B． 5 5 C． 2 5 D． 10 10 试卷第2页，共4页 6.已知点 3 (2, ) A  ， ( 3, 2) B   ．若直线: 1 0 l mx y m    与线段AB 相交，则实数m 的 取值范围是（ ） A． 3 , [4, ) 4          B． 3 ,4 4        C．1 , 5        D． 3 4, 4        7.“ 1 a ”是“直线   2 1 3 0 ax a y     与直线  2 1 0 a x ay    互相垂直”的（ ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 8.已知 , P Q 分别是直线: 2 0 l x y    和圆 2 2 : 1 C x y  上的动点， 圆C 与x 轴正半轴交于 点 (1,0) A ，则PA PQ  的最小值为（ ） A． 2 B．2 C． 5 1  D． 2 10 1 2   9.已知直线 2 1 0 kx y k    恒过定点A ， 点A 也在直线 2 0 mx ny    上， 其中m ，n 均 为正数，则1 2 m n  的最小值为（ ） A．2 B．4 C．8 D．6 10.已知动点P 在正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  的对角线 1 BD (不含端点)上.设 1 1 D P D B   ，若 APC  为钝角，则实数的取值范围为（ ） A． 1 0, 3       B． 1 0, 2       C．1,1 3       D． 1 ,1 2       11.已知直三棱柱ABC﹣A'B'C'的底面是正三角形，侧棱长与底面边长相等，P 是侧棱 AA'上的点（不含端点） ．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与直线B'C 所 成的角为β，二面角P﹣B'B﹣C 的平面角为γ，则（ ） A．α＞β＞γ B．α＜β＜γ C．α＞γ＞β D．β＞α＞γ 12.如图，在正方形中，点 , E F 分别是线段 , AD BC 上的动点，且 , AE BF AC  与EF 交 于G，EF 在AB 与CD 之间滑动，但与AB 和CD 均不重合．在EF 任一确定位置，将四 边形EFCD 沿直线EF 折起， 使平面EFCD 平面ABFE ， 则下列选项中错误的是 （ ） A． AGC  的角度不会发生变化 B．二面角G AC B   先变大后变小 C．AC 与平面ABFG 所成的角变小 D．AC 与EF 所成的角先变小后变大 试卷第3页，共4页 二、填空题（每小题5 分，共20 分） 13.空间直角坐标系中点     2,1,3 1,2,1 A B   、 ，点P 在x 轴上，且PA PB  ，则点P 的坐标为___________. 14.方程 2 2 0 x y x y m      表示一个圆，则m 的取值范围是_______ 15.如图， 在120°的二面角 l    中， , , , A l B l AC BD       且 , AC AB BD AB   ， 垂足分别为A，B，已知 6 AC AB BD    ，则线段CD 的长为__________． 16.在正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  中，已知点P 在直线 1 AB 上运动，则下列四个命题中：① 三棱锥 1 D C BP  的体积不变； ② 1 DP D C  ； ③当P 为 1 AB 中点时， 二面角 1 1 P AC C   的 余弦值为 3 3 ；④若正方体的棱长为2，则DP BP  的最小值为 8 4 2  ；其中说法 正确的是____________（写出所有说法正确的编号） 三、解答题（第17 题10 分，18-22 题每题12 分，共70 分） 17.已知直线1 2 2 4 0 l kx y k     : ，直线 2 2 2 4 4 8 0 l k x y k     : . （1）若1 2 l l  ，求k ； （2）若1 2 l l  ，求1 l 与2 l 的交点P 的坐标. 18.如图，在平行六面体 1 1 1 1 ABCD A B C D  中， 1 AB AD  ， 1 2 AA  ， 1 1 60 A AD A AB    ， 90 DAB   ，M 为 1 1 AC 与 1 1 B D 的交点．若AB a     ，AD b    ， 1 AA c    ． （1）求BM 的长． （2）求BM 与AC 所成角的余弦值． 试卷第4页，共4页 19.已知圆经过点 (1,0) A 和 ( 1, 2) B  ，且圆心在直线: 1 0 l x y   上. （1）求圆的标准方程； （2）若线段CD 的端点D 的坐标是  4,3 ，端点C 在圆C 上运动，求CD 的中点M 的轨 迹方程. 20.如图，在四棱锥P ABCD  中，PA 平面ABCD， / / AB CD ，且 2 CD  ， 1 AB ， 2 2 BC  ， 1 PA ，AB BC  ，N 为PD 的中点. （1）求证： / / AN 平面PBC ； （2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值； 21.如图，在四棱锥P ABCD  中，PA 平面ABCD，底面ABCD是菱形， 2 PA AB   ， 60 BAD   . （1）求证：直线BD 平面PAC ； （2）设点M 在线段PC 上，且二面角C MB A   的 余弦值为5 7 ，求点M 到底面ABCD的距离. 22.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB，AD 边分别在x 轴， y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合，如图所示．将矩形折叠，使点A 落在线段DC 上． （1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程； （2）在（1）的条件下，若 1 0 8 k    时，求折痕长的取值范围． 试卷第1页，共18页 2020 级高二上学期数学单元教学评价答案 时长：120 分钟 分值：150 分 一、选择题（每小题5 分，共60 分） 1．已知   1 ,1,0 a t    ，   2, , b t t   ，则b a  r r 的最小值是（ ） A．1 B． 2 C． 3 D． 5 解：     1 ,1,0 , 2, , a t b t t       (1 , 1, ) b a t t t        2 2 2 2 (1 ) ( 1) 3 2 b a t t t t            当 0 t  时，b a  r r 取最小值 2 . 故选：B 2．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为   ，则能使l∥α的是（ ） A．   1,0,0 a   ，   2,0,0    B．   1,3,5 a   ，   1,0,1    C．   0,2,1 a   ，   1,0,1    D．   1, 1,3 a    ，   0,3,1    解：由题意得，若使l∥α，那么就要使a     ⊥，即 0 a      . 对于A， 2 0 a       ，故A 错误； 对于B， 1 0 5 6 0 a           ，故B 错误； 对于C， 1 0 a       ，故C 错误； 对于D， 0 3 3 0 a        ，故D 正确. 故选：D. 3．正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  中，= ，则点 1与平面 1 A BD 的距离为（ ） A．1 2 B．2 3 C．2 3 3 D． 6 2 解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz  ． 设正方体的棱长为1，则   0,0,0 D ，   1 1,0,1 A ，   1,1,0 B ，   1 0,1,1 C ，  1,0,0 A ， ∴   1 1,0,1 BC   ，   1 1,1,1 AC   ，   1 0,1, 1 A B    ，   1 1,0, 1 A D    ， 试卷第2页，共18页 ∴ 1 1 1 1 0 AC A B     ， 1 1 1 1 0 AC A D     ，∴ 1 1 AC A B    ， 1 1 AC A D    ． 又 1 1 1 A B A D A   ，∴ 1 AC 平面 1 A BD ， ∴ 1 AC 是平面 1 A BD 的一个法向量， ∵ 1 1 1 1 1 2 3 3 3 BC AC AC d         ， ∴点 1与平面 1 A BD 的距离为为2 3 3 ． 故选：C 4．如图，在三棱锥S ABC  中，点E ，F 分别是SA，BC 的中点，点G 在线段EF 上， 且满足 1 2 EG GF  ，若SA a    ，SB b   ，SC c      ，则SG    （ ） A．1 1 1 3 2 6 a b c      B．1 1 1 3 6 6 a b c      C．1 1 1 6 3 2 a b c      D．1 1 1 3 6 2 a b c      解： 1 1 1 1( ) 2 3 2 3 SG SE EG SA EF SA ES SC CF                                试卷第3页，共18页 1 1 1 1 2 6 3 6 SA AS SC CB             1 1 1 ( ) 3 3 6 SA SC CS SB            1 1 1 3 6 6 SA SB SC         1 1 1 3 6 6 a b c      . 故选：B ． 5． 在如图所示的四棱锥P ABCD  中， / / AB CD ， 2 3 PAD    ， PA AB  ， 2 PA AD   ， 1 2 2 AB CD   ，且BC BD  ，则直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值为（ ） A． 10 5 B． 5 5 C． 2 5 D． 10 10 解：取CD 的中点E ．则BE CD  ．因为 // AB CD 且AB DE  ．所以四边形ABED 是矩 形，所以AB AD  ．因为PA AB  且AD AP A   ，所以AB 平面PAD ． 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立如图所示的空间直 角坐标系A xyz  ， 则 (0, 1, 3) P  ， (0,2,0) D ， ( 2,0,0) B ， (2 2,2,0) C ， 所以 (0,3, 3) PD     ， ( 2, 1, 3) BP     ， ( 2,2,0) BC    ． 设平面PBC 的法向量为   , , n x y z   ， 则 2 2 0 2 3 0 n BC x y n BP x y z                    ， ， 取 2 x  ，得 3 2, 1, 3 n            . 设直线PD 与平面PBC 所成角为，则 3 1 10 sin | cos , | 5 | | | | 10 12 3 PD n PD n PD n                    ． 试卷第4页，共18页 故选：A 6.已知点 3 (2, ) A  ， ( 3, 2) B   ．若直线: 1 0 l mx y m    与线段AB 相交，则实数m 的 取值范围是（ ） A． 3 , [4, ) 4          B． 3 ,4 4        C．1 , 5        D． 3 4, 4        解：设直线l 过定点 ( , ) P x y ，则直线: 1 0 l mx y m    可写成 ( 1) 1 0 m x y    ， 令 1 0, 1 0, x y     解得 1, 1. x y      直线l 必过定点 (1,1) P ． 3 1 4 2 1 PA k     ， 2 1 3 3 1 4 PB k     ．直线: 1 0 l mx y m    与线段AB 相交， 由图象知， 3 4 m   或 4 m  ，解得 3 4 m  或 4 m≥， 则实数m 的取值范围是 3 , [4, ) 4          ． 故选：A 7.“ 1 a ”是“直线   2 1 3 0 ax a y     与直线  2 1 0 a x ay    互相垂直”的（ ） 试卷第5页，共18页 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解：因为直线   2 1 3 0 ax a y     与直线  2 1 0 a x ay    互相垂直， 所以( 2) (2 1) 0 a a a a     ， 所以 0 a  或 1 a . 因为“ 1 a ”可以推出“ 0 a  或 1 a ”，“ 0 a  或 1 a ”不能推出“ 1 a ”， 所以“ 1 a ”是“直线   2 1 3 0 ax a y     与直线  2 1 0 a x ay    互相垂直”的充分非必 要条件. 故选：A 8.已知 , P Q 分别是直线: 2 0 l x y    和圆 2 2 : 1 C x y  上的动点， 圆C 与x 轴正半轴交于 点 (1,0) A ，则PA PQ  的最小值为 A． 2 B．2 C． 5 1  D． 2 10 1 2   解：如图，圆 2 2 : 1 C x y  的圆心为 0 0 O( ， )，半径 1 r . 设点 0 (1 ) A ，关于: 2 0 l x y    的对称点为 ( ) B a b ， ， 则 1 2 0 2 2 1 1 a b b a              ， ， 解得 2 1 a b     ＝， ＝ ， 即 (2 1) B  ， . 连接BO，交直线: 2 0 l x y    于点P ，交圆 2 2 : 1 C x y  于点Q ， 此时PA PQ  取得最小值为 5 1 BO r   . 故选C. 9.已知直线 2 1 0 kx y k    恒过定点A ， 点A 也在直线 2 0 mx ny    上， 其中m ，n 均 为正数，则1 2 m n  的最小值为（ ） A．2 B．4 C．8 D．6 试卷第6页，共18页 解：已知直线 2 1 0 kx y k    整理得：   1 2 y k x   ， 直线恒过定点A ，即   2, 1 A   . 点A 也在直线 2 0 mx ny    上， 所以2 2 m n   ，整理得： 1 2 n m  ， 由于m ，n均为正数，则1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 4 2 2 2 n n m n m m m n m n m n m n                    , 取等号时 2 1 2 n m n m         ，即 1 2 1 m n   