题型23 6 类圆锥曲线离心率问题解题技巧 （定义法、焦点三角形、斜率乘积、定比分点、余弦定理、齐次方程 求离心率） 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 知识迁移 椭圆公式1: ，公式2: 变形 ，双曲线公式1: ，公式 例1-1．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知椭圆 的长轴长是短轴长的2 倍，则 的 离心率为（ ） A． B． C． D． 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 技法02 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 技法03 斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率 技法04 定比分点求椭圆、双曲线的离心率 技法05 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率 技法06 构造齐次方程求椭圆、双曲线的离心率 定义法求离心率是最本质和常规的方法，也是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中 考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习 ） A． ＋1 B．4＋2 C． D． －1 技法03 斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率 例3．（2023·吉林·高三阶段练习）已知双曲线 的两个顶点分别为 ， ，点 为双曲 线上除 ， 外任意一点，且点 与点 ， 连线的斜率分别为 、 ，若 ，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 已知斜率乘积求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大

题型23 6 类圆锥曲线离心率问题解题技巧 （定义法、焦点三角形、斜率乘积、定比分点、余弦定理、齐次方程 求离心率） 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 知识迁移 椭圆公式1: ，公式2: 变形 ，双曲线公式1: ，公式 例1-1．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知椭圆 的长轴长是短轴长的2 倍，则 的 离心率为（ ） 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 技法02 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 技法03 斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率 技法04 定比分点求椭圆、双曲线的离心率 技法05 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率 技法06 构造齐次方程求椭圆、双曲线的离心率 定义法求离心率是最本质和常规的方法，也是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中 考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习 A． B． C． D． ，求得 ， ， . 故选：A. 技法03 斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率 例3．（2023·吉林·高三阶段练习）已知双曲线 的两个顶点分别为 ， ，点 为双曲 线上除 ， 外任意一点，且点 与点 ， 连线的斜率分别为 、 ，若 ，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． k PQ k PF=b2 a2=5 ，求解即可 已知斜率乘积求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大

常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这 技法01 捆绑、插空、特殊元素（位置）、隔板、定序倍缩、分组分配、直排环排、涂色解题技巧 技法02 项、系数、三项展开式、二项式乘积解题技巧 排列组合是新高考卷的常考内容，一般会和分类加法原理与分步乘法原理结合在小题中考查，需重点复习. 个元素排成一列，共有 个空，使用 个“挡板”进入空档处，则可将这 个元素划 分为 个区域，刚好对应那 个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着 色方法？（ ） A．120 B．180 C．221 D．300 技法02 项、系数、三项展开式、二项式乘积解题技巧 知识迁移 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)； (2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1 是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cn n−1 2 或Cn n+1 2 3. 二项式系数和 二项式定理是新高考卷的常考内容，一般会和项、系数、三项展开式、二项式乘积等结合在小题中考查， 需重点复习. (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…

常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这 技法01 捆绑、插空、特殊元素（位置）、隔板、定序倍缩、分组分配、直排环排、涂色解题技巧 技法02 项、系数、三项展开式、二项式乘积解题技巧 排列组合是新高考卷的常考内容，一般会和分类加法原理与分步乘法原理结合在小题中考查，需重点复习. 个元素排成一列，共有 个空，使用 个“挡板”进入空档处，则可将这 个元素划 分为 个区域，刚好对应那 Ⅰ，Ⅳ不同色时，则Ⅰ有种涂色方法，Ⅳ有 种涂色方法， Ⅱ有种涂色方法，Ⅲ有 种涂色方法，此时共有 种涂色方法， 综上共有 种不同的着色方法. 故选：B. 技法02 项、系数、三项展开式、二项式乘积解题技巧 知识迁移 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)； (2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1 所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k＝0,1，…，n)． 2. 二项式系数的性质 二项式定理是新高考卷的常考内容，一般会和项、系数、三项展开式、二项式乘积等结合在小题中考查， 需重点复习. 展开式的通项公式为 （ 且 ） 所以 的各项与 展开式的通项的乘积可表示为： 和 在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ， 在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 所以 的系数为 1．（2023·全国·高三专题练习）二项式

【例1】．如图，正五边形BDE 内接于⊙，B＝2，则对角线BD 的长为 ． 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．先阅读理解：托勒密（Ptlemy 古希腊天文学家）定理指出：圆内接凸四边 形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．即：如果四边形BD 内接于⊙，则有 B•D+D•B＝•BD．再请完成： （1）如图1，四边形BD 内接于⊙，B 是⊙的直径，如果B＝＝ ，D＝1，求D 的长． （2）在（1）的条件下，如图2，设对边B、D （1）任务一：请你将“托勒密定理”的证明过程补充完整； （2）任务二：如图2，已知Rt△B 内接于⊙，∠B＝90°，＝6，B＝8，D 平分∠B 交⊙于 点D，求D 的长． 【例2】．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 已知：如图1， 四边形 BD 内接于 ⊙ ． 求证： B ⋅ D + D ⋅ B ＝⋅ BD （2）当圆内接四边形BD 是矩形时，托勒密定理就是我们熟知的 定理． （3）如图3，四边形BD 内接于⊙，B＝3，D＝5，∠BD＝60°，点是 的中点，求的长． 【变式2-2】．圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1， 若四边形BD 内接于⊙，则有 ________． 任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ． （2）已知，如图2，四边形BD 内接于⊙，BD 平分∠B，∠D＝120°，求证：BD＝B+B．

【例1】．如图，正五边形BDE 内接于⊙，B＝2，则对角线BD 的长为 ． 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．先阅读理解：托勒密（Ptlemy 古希腊天文学家）定理指出：圆内接凸四边 形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．即：如果四边形BD 内接于⊙，则有 B•D+D•B＝•BD．再请完成： （1）如图1，四边形BD 内接于⊙，B 是⊙的直径，如果B＝＝ ，D＝1，求D 的长． （2）在（1）的条件下，如图2，设对边B、D （1）任务一：请你将“托勒密定理”的证明过程补充完整； （2）任务二：如图2，已知Rt△B 内接于⊙，∠B＝90°，＝6，B＝8，D 平分∠B 交⊙于 点D，求D 的长． 【例2】．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 已知：如图1， 四边形 BD 内接于 ⊙ ． 求证： B ⋅ D + D ⋅ B ＝⋅ BD （2）当圆内接四边形BD 是矩形时，托勒密定理就是我们熟知的 定理． （3）如图3，四边形BD 内接于⊙，B＝3，D＝5，∠BD＝60°，点是 的中点，求的长． 【变式2-2】．圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1， 若四边形BD 内接于⊙，则有 ________． 任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ． （2）已知，如图2，四边形BD 内接于⊙，BD 平分∠B，∠D＝120°，求证：BD＝B+B．

，x2＝1﹣ （舍去）． ∴对角线BD 的长为1+ ． 故答为：1+ ． 变式训练 【变式1-1】．先阅读理解：托勒密（Ptlemy 古希腊天文学家）定理指出：圆内接凸四边 形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．即：如果四边形BD 内接于⊙，则有 B•D+D•B＝•BD．再请完成： （1）如图1，四边形BD 内接于⊙，B 是⊙的直径，如果B＝＝ ，D＝1，求D 的长． （2）在（1）的条件下，如图2，设对边B、D 的延长线的交点为P，求P、PD 的长． 解：（1）∵B 是⊙的直径， ∴∠B＝∠BD＝90°， ∵B＝＝ ， ∴△B 是等腰直角三角形， ∴B＝ B＝ ， ∴BD＝ ＝ ＝3， ∵圆内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积， 即：如果四边形BD 内接于⊙，则有B•D+D•B＝•BD， 即 ×1+D× ＝ ×3， 解得：D＝ ； （2）∵∠PD＝∠PB，∠P＝∠P， ∴△PD∽△PB， ∴ ＝ ＝ ∴∠BD＝45°， ∴BD＝D＝B•s45°＝5 ， ∵四边形BD 内接于⊙， ∴B•D＝•BD+D•B，即10D＝6× +8×5 ， ∴D＝7 ． 【例2】．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 已知：如图1， 四边形 BD 内接于 ⊙ ． 求证： B ⋅ D + D ⋅ B ＝⋅ BD

，x2＝1﹣ （舍去）． ∴对角线BD 的长为1+ ． 故答为：1+ ． 变式训练 【变式1-1】．先阅读理解：托勒密（Ptlemy 古希腊天文学家）定理指出：圆内接凸四边 形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．即：如果四边形BD 内接于⊙，则有 B•D+D•B＝•BD．再请完成： （1）如图1，四边形BD 内接于⊙，B 是⊙的直径，如果B＝＝ ，D＝1，求D 的长． （2）在（1）的条件下，如图2，设对边B、D 的延长线的交点为P，求P、PD 的长． 解：（1）∵B 是⊙的直径， ∴∠B＝∠BD＝90°， ∵B＝＝ ， ∴△B 是等腰直角三角形， ∴B＝ B＝ ， ∴BD＝ ＝ ＝3， ∵圆内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积， 即：如果四边形BD 内接于⊙，则有B•D+D•B＝•BD， 即 ×1+D× ＝ ×3， 解得：D＝ ； （2）∵∠PD＝∠PB，∠P＝∠P， ∴△PD∽△PB， ∴ ＝ ＝ ∴∠BD＝45°， ∴BD＝D＝B•s45°＝5 ， ∵四边形BD 内接于⊙， ∴B•D＝•BD+D•B，即10D＝6× +8×5 ， ∴D＝7 ． 【例2】．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 已知：如图1， 四边形 BD 内接于 ⊙ ． 求证： B ⋅ D + D ⋅ B ＝⋅ BD

D. 5 8. 哪些是12 和18 的公倍数？ A. 36 B. 72 C. 108 D. 144 9. 如果两个数互质，它们的： A. 最大公因数是1 B. 最小公倍数是它们的乘积 C. 它们没有公因数 D. 它们都是质数 10. 哪些是24 和36 的公因数？ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 6 F. 8 G. 12 三、判断题（共10 两个数的最小公倍数一定大于这两个数。（） 3. 如果两个数互质，那么它们的最小公倍数是它们的乘积。（） 4. 两个偶数的最大公因数至少是2 。（） 5. 12 和18 的最小公倍数是36 。（） 6. 公倍数是最小公倍数的倍数。（） 7. 最大公因数和最小公倍数的乘积等于两个数的乘积。（） 8. 如果a 整除b，那么a 和b 的最大公因数是a 。（）

载 D．该超载车辆行驶在路一侧，对桥梁的压力和压力的力臂乘积过大，造成桥梁侧翻 【答】B 【解答】解：、该桥梁可以看成是以桥墩为支点的杠杆，故不符合题意； B、超载车辆对桥面的压力太大会压坏地面，故B 符合题意； 、车辆的超载对桥梁路面的危害极大，要严禁超载，故不符合题意； D、超载车辆行驶在路一侧，对桥梁的压力和压力的力臂乘积过大，造成桥梁侧翻，故 D 不符合题意。 故选：B。 是支点，F2是液压杆作用在 点的阻力。请在图乙中画出在B 点关上后备盖的最小动力F1及其力臂L1。 【答】见试题解答内容 【解答】解：由杠杆平衡条件F1 L1＝F2 L2可知，在阻力跟阻力臂的乘积一定时，动力 臂越长，动力越小；图中支点在点，因此B 作为动力臂L1 最长；关上后备盖时，动力 的方向应该向下，过点B 垂直于B 向下作出最小动力F1的示意图，如下图所示： 三．杠杆的平衡条件（共11 （4）小王用弹簧测力计替代钩码，在B 点竖直向下拉，然后将弹簧测力计绕B 点逆时 针旋转一小段至如图丙所示位置。在旋转过程中，杠杆仍然在水平位置平衡，则弹簧测 力计的示数逐渐 变大 ，拉力与拉力的力臂乘积将 不变 。 【答】（1）平衡；（2）在水平位置平衡；（3）2；右；（4）变大；不变。 【解答】解：（1）杠杆静止不动或匀速转动叫杠杆的平衡，实验前，杠杆静止在图甲 所示的位置，则此时杠杆处于平衡状态；