模型27 托勒密定理（原卷版）

1 托勒密定理：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面 积与另一组对边所包矩形的面积之和． 翻译：在四边形BD 中，若、B、、D 四点共圆，则 ． D C B A 证明：在线段BD 上取点E，使得∠BE=∠D， 易证△EB∽△D，∴ ，即 ， α α D C B A E E A B C D 当∠BE=∠D 时，可得：∠B=∠ED， 易证△B∽△ED，∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ． 2（托勒密不等式）：对于任意凸四边形BD，有 模型介绍 A B C D 证明：如图1，在平面中取点E 使得∠BE=∠D，∠BE=∠D， 易证△BE∽△D，∴ ，即 ①， 图1 图2 A B C D E E D C B A 连接DE，如图2， ∵ ，∴ ， 又∠B=∠BE+∠E=∠D+∠E=∠DE， ∴△B∽△ED，∴ ，即 ②， 将①+②得： ， ∴ 即 ，当且仅当、B、、D 共圆时取到等号． 3 托勒密定理在中考题中的应用 （1）当△B 是等边三角形时， 如图1，当点D 在弧上时，根据托勒密定理有： ， 又等边△B 有B==B， 故有结论： ． 图1 O A B C D 证明：在BD 上取点E 使得DE=D， 易证△EB∽△D，△ED∽△B，利用对应边成比例，可得： ． E D C B A O 如图2，当点D 在弧B 上时，结论：D=DB+D． 图2 O D C B A 【小结】虽然看似不同，但根据等边的旋转对称性，图1 和图2 并无区别． （2）当△B 是等腰直角三角形， 如图3，当点D 在弧B 上时，根据托勒密定理： ， 又 ，代入可得结论： ． 图3 A B C D O 如图4，当点 D 在弧上时，根据托勒密定理： ， 又 ，代入可得结论： ． O D C B A 图4 （3）当△B 是一般三角形时，若记B：：B=：b：， 根据托勒密定理可得： c b a A B C D O 【例1】．如图，正五边形BDE 内接于⊙，B＝2，则对角线BD 的长为 ． 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．先阅读理解：托勒密（Ptlemy 古希腊天文学家）定理指出：圆内接凸四边 形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．即：如果四边形BD 内接于⊙，则有 B•D+D•B＝•BD．再请完成： （1）如图1，四边形BD 内接于⊙，B 是⊙的直径，如果B＝＝ ，D＝1，求D 的长． （2）在（1）的条件下，如图2，设对边B、D 的延长线的交点为P，求P、PD 的长． 【变式1-2】．如图1，已知⊙内接四边形BD， 求证：•BD＝B•D+D•B． 证明：如图1，在BD 上取一点P，连接P，使∠PB＝∠D，即使∠1＝∠2． ∵在⊙中，∠3 与∠4 所对的弧都是 ， 3 ∠＝∠4． ∴△D∽△BP． ∴ ＝ ． • ∴BP＝D•B．① 又∵∠2＝∠1， 2+ 7 ∴∠ ∠＝∠1+ 7 ∠． 即∠B＝∠DP． ∵在⊙中，∠5 与∠6 所对的弧都是 ， 5 ∴∠＝∠6． ∴△B∽△DP． … （1）任务一：请你将“托勒密定理”的证明过程补充完整； （2）任务二：如图2，已知Rt△B 内接于⊙，∠B＝90°，＝6，B＝8，D 平分∠B 交⊙于 点D，求D 的长． 【例2】．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 已知：如图1， 四边形 BD 内接于 ⊙ ． 求证： B ⋅ D + D ⋅ B ＝⋅ BD ． 证明：如图2，作∠BE＝∠D，交BD 于点E， …… ∴△BE∽△D， ∴B•D＝•BE， …… ∴△B∽△ED， ∴D•B＝•ED， ∴B•D+D•B＝•BE+•ED＝（BE+ED）＝•BD． （1）请帮这位同学写出已知和求证，并完成证明过程； （2）如图3，已知正五边形BDE 内接于⊙，B＝1，求对角线BD 的长． 变式训练 【变式2-1】．已知：如图1，四边形BD 内接于⊙． 求证：B•D+B•D＝•BD 下面是该结论的证明过程： 证明：如图2，作∠BE＝∠D，交BD 于点E． ∵ ＝ ，∠BE＝∠D， ∴△BE∽△D，∴ ，∴B•D＝•BE； ∵ ＝ ，∴∠B＝∠DE（依据1）， ∵∠BE＝∠D，∴∠B＝∠ED， ∴△B∽△ED（依据2），∴ ，∴D•B＝•ED； ∴B•D+D•B＝•（BE+ED），即B•D+B•D＝•BD． （1）上述证明过程中的“依据1”是指 ；“依据2”是指 ． （2）当圆内接四边形BD 是矩形时，托勒密定理就是我们熟知的 定理． （3）如图3，四边形BD 内接于⊙，B＝3，D＝5，∠BD＝60°，点是 的中点，求的长． 【变式2-2】．圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1， 若四边形BD 内接于⊙，则有 ________． 任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ． （2）已知，如图2，四边形BD 内接于⊙，BD 平分∠B，∠D＝120°，求证：BD＝B+B． 1．如图，以Rt△B 的斜边B 为一边在△B 的同侧作正方形BEF，对角线交于点，连接，如 果B＝4，＝4 ，那么的长等于（ ） ．12 B．16 ．4 D．8 2．如图，在⊙的内接四边形BD 中，B＝3，D＝5，∠BD＝60°，点为弧BD 的中点，则的长 是 ． 3．如图，在等腰△B 中，B＝＝4，B＝6，点D 在底边B 上，且∠D＝∠D，将△D 沿着D 所 在直线翻折，使得点落到点E 处，联结BE，那么BE 的长为 ． 4．如图，P 是正方形BD 内一点，P＝D，P⊥BP，则 的值为 ． 5．如图，正方形BD 的边长是6，对角线的交点为，点E 在边D 上且E＝2，F⊥BE，连接 F，则： （1）∠FB ° ； （2）F＝ ． 6．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，D 为B 的中点，过点D 作DE⊥DF，交B 的延长线于点 E，交的延长线于点F．若F＝ ，＝4，B＝2．则E＝ ． 7．设△B 是正三角形，点P 在△B 外，且与点在直线B 异侧，∠BP＝120°，求证：P＝ PB+P． 8．⊙半径为2，B，DE 为两条直线．作D⊥B 于，且为中点，P 为圆上一个动点．求 2P+PE 的最小值． 9．如图，点P 为等边△B 外接圆，劣弧为B 上的一点． （1）求∠BP 的度数； （2）求证：P＝PB+P． 10．如图，⊙的直径B 的长为10，弦BD 的长为6，点为 上的一点，过点B 的切线EF， 连接D，D，B； （1）求证：∠DB＝∠BF； （2）若点D 为 的中点，求D 的长． 11．阅读下列材料，并完成相应的任务． 托勒密定理： 托勒密（Ptlemy）（公元90 年～公元168 年），希腊著名的天文学家，他的要著作《天 文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密 从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptlemy）定理． 托勒密定理： 圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 已知：如图1，四边形BD 内接于⊙， 求证：B•D+B•D＝•BD 下面是该结论的证明过程： 证明：如图2，作∠BE＝∠D，交BD 于点E． ∵ ∴∠BE＝∠D ∴△BE∽△D ∴ ∴B•D＝•BE ∵ ∴∠B＝∠DE（依据1） ∵∠BE＝∠D ∴∠BE+∠E＝∠D+∠E 即∠B＝∠ED ∴△B∽△ED（依据2） ∴D•B＝•ED ∴B•D+D•B＝•（BE+ED） ∴B•D+D•B＝•BD 任务：（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ （2）当圆内接四边形BD 是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ． （请写出） （3）如图3，四边形BD 内接于⊙，B＝3，D＝5，∠BD＝60°，点为 的中点，求的长． 12．在学习了《圆》和《相似》的知识后，小明自学了一个著名定理“托勒密定理：圆内 接四边形对角线的乘积等于两组对边乘积之和．” （1）下面是小明对托勒密定理的证明和应用过程，请补充完整．已知：四边形BD 内接 于⊙． 求证：•BD＝B•D+D•B．证明：作∠DE＝∠BD，交于点E， ∵⊙中，∠1＝∠2， ∴△BD∽△ED（ ）． ∴ ． ∴B•D＝BD•E①， ． 又∵∠BD+ 3 ∠＝∠DE+ 3 ∠， 即∠DE＝∠BD， ∴△ DE ∽△ DB （ ）． ∴ ． ∴D•B＝BD•E②． ， ∴B•D+D•B＝•BD． （2）利用托勒密定理解决问题：是否存在一个圆内接四边形，它的两条对角线长为5 和 ，一组对边长为1 和3，另一组对边的和为4．若存在，求出未知的两边；若不存 在，说明理由． 13．阅读下列相关材料，并完成相应的任务． 布拉美古塔定理 婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经 提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：若圆内接四边 形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边． 某数学兴趣小组的同学写出了这个定理的已知和求证． 已知：如图，在圆内接四边形BD 中，对角线⊥BD，垂足为P，过点P 作B 的垂线分别 交B，D 于点，M． 求证：M 是D 的中点 任务： （1）请你完成这个定理的证明过程． （2）该数学兴趣小组的同学在该定理的基础上写出了另外一个命题：若圆内接四边形 的对角线互相垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边请判断此命题是 命题．（填“真”或“假”） （3）若PD＝2，P＝ ，BP＝3，求M 的长． 14．已知△B 内接于⊙，∠B 的平分线交⊙于点D，连接DB，D． （1）如图①，当∠B＝120°时，请直接写出线段B，，D 之间满足的等量关系式： ； （2）如图②，当∠B＝90°时，试探究线段B，，D 之间满足的等量关系，并证明你的 结论； （3）如图③，若B＝5，BD＝4，求 的值． 15．问题探究： （1）已知：如图①，△B 中请你用尺规在B 边上找一点D，使得点到点B 的距离最短． （2）托勒密（Ptlemy）定理指出，圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线 的乘积．如图②，P 是正△B 外接圆的劣弧B 上任一点（不与B、重合），请你根据托 勒密（Ptlemy）定理证明：P＝PB+P． 问题解决： （3）如图③，某学校有一块两直角边长分别为30m、60m 的直角三角形的草坪，现准 备在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在点P 处，使P 到、B、三点的距离之和最小，那么 是否存在符合条件的点P？若存在，请作出点P 的位置，并求出这个最短距离（结果保 留根号）；若不存在，请说明理由． 16．（1）方法选择 如图①，四边形BD 是⊙的内接四边形，连接，BD，B＝B＝．求证：BD＝D+D． 小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM＝D，连接M… 小军认为可用补短法证明：延长D 至点，使得D＝D… 请你选择一种方法证明． （2）类比探究 【探究1】 如图②，四边形BD 是⊙的内接四边形，连接，BD，B 是⊙的直径，B＝．试用等式表 示线段D，BD，D 之间的数量关系，并证明你的结论． 【探究2】 如图③，四边形BD 是⊙的内接四边形，连接，BD．若B 是⊙的直径，∠B＝30°，则线 段D，BD，D 之间的等量关系式是 ． （3）拓展猜想 如图④，四边形BD 是⊙的内接四边形，连接，BD．若B 是⊙的直径，B：：B＝： b：，则线段D，BD，D 之间的等量关系式是 ． 17．数学课上，张老师出示了问题：如图1，，BD 是四边形BD 的对角线，若∠B＝∠D＝ ∠BD＝∠DB＝60°，则线段B，D，三者之间有何等量关系？ 经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长B 到E，使BE＝D，连接E，证 得△BE≌△D，从而容易证明△E 是等边三角形，故＝E，所以＝B+D． 小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△B 绕着点逆时针旋转60°，使B 与D 重合， 从而容易证明△F 是等边三角形，故＝F，所以＝B+D． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图4，如果把“∠B＝∠D＝∠BD＝∠DB＝60°”改为“∠B＝∠D＝∠BD ＝∠DB＝45°”，其它条件不变，那么线段B，D，三者之间有何等量关系？针对小颖提 出的问题，请你写出结论，并给出证明． （2）小华提出：如图5，如果把“∠B＝∠D＝∠BD＝∠DB＝60°”改为“∠B＝∠D＝∠BD ＝∠DB＝α”，其它条件不变，那么线段B，D，三者之间有何等量关系？针对小华提出 的问题，请你写出结论，不用证明． 18．问题背景： 如图①，在四边形DB 中，∠B＝∠DB＝90°，D＝BD，探究线段，B，D 之间的数量关 系． 小吴同学探究此问题的思路是：将△BD 绕点D，逆时针旋转90°到△ED 处，点B，分别 落在点，E 处（如图②），易证点，，E 在同一条直线上，并且△DE 是等腰直角三角形， 所以E＝ D，从而得出结论：+B＝ D． 简单应用： （1）在图①中，若＝ ，B＝2 ，则D＝ ． （2）如图③，B 是⊙的直径，点、D 在⊙上， ＝ ，若B＝13，B＝12，求D 的长． 拓展规律： （3）如图④，∠B＝∠DB＝90°，D＝BD，若＝m，B＝（m＜），求D 的长（用含m， 的代数式表示） （4）如图⑤，∠B＝90°，＝B，点P 为B 的中点，若点E 满足E＝ ，E＝，点Q 为E 的中点，则线段PQ 与的数量关系是 或 ．