专题36 最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各 类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试 题分析，方便掌握。 .............................................................................. ............................1 模型1 最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）..............................................................................1 模型2 最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）........................................ .......................6 模型3 最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）......................................................................................9 模型4 最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）...................................

即要求的两条线段有公共 端点,或者平移后有公共端点 除了将军饮马问题外，还有一类两线段和的最值问题，两个动点的运动过程中, 两条动线 段始终保持着相等, 我们可以在等线段处构造全等, 从而将要求的两条线段拼接到一起，这就是 今天咱们要说的逆等线最值问题 讲逆等线模型之前我们先来一波回忆： 下图大家应该很熟： D 为动点！特殊化证明：DE+DF 的和为定值 一般化证明：DE+DF 另证易得：△DE∽△DFB ∵D＋BD 为定值∴DE＋DF 为定值 引申：D 在线段B 外时差为定值（证明同理） 然后将这个角一路的改变也相当于做腰的平行线！ 此图即产生了逆等线，所谓逆等线，逆向也相等！ 模型介绍 大 招 逆等线最值模型 考点一:等腰三角形中的逆等线模型 【例1】．如图，在等腰△B 中，B＝＝5，B＝6，点D、E 分别是B、上两动点，且D＝ E，连接D、BE，D+BE 最小值为 ∴BE＝MD，∴D+BE＝MD+D≥M， ∴当、D、M 三点共线时，D+BE 取最小值， M＝ ＝ ．故答为： ． 变式训练 【变式1-1】．如图，在△B 中，B＝＝8，B＝4 ，D 为B 边的中点，点E、F 分别是线 段、D 上的动点，且F＝E，则BE+F 的最小值是 ． 例题精讲 解：过作G⊥B 且使得G＝B＝4 ，连接BF、FG、BG， ∵B＝，点D 为B 的中点，

专题36 最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各 类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试 题分析，方便掌握。 .............................................................................. ............................1 模型1 最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）..............................................................................1 模型2 最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）........................................ .......................6 模型3 最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）......................................................................................9 模型4 最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）...................................

即要求的两条线段有公共 端点,或者平移后有公共端点 除了将军饮马问题外，还有一类两线段和的最值问题，两个动点的运动过程中, 两条动线 段始终保持着相等, 我们可以在等线段处构造全等, 从而将要求的两条线段拼接到一起，这就是 今天咱们要说的逆等线最值问题 讲逆等线模型之前我们先来一波回忆： 下图大家应该很熟： D 为动点！特殊化证明：DE+DF 的和为定值 一般化证明：DE+DF 另证易得：△DE∽△DFB ∵D＋BD 为定值∴DE＋DF 为定值 引申：D 在线段B 外时差为定值（证明同理） 然后将这个角一路的改变也相当于做腰的平行线！ 此图即产生了逆等线，所谓逆等线，逆向也相等！ 模型介绍 大 招 逆等线最值模型 考点一:等腰三角形中的逆等线模型 【例1】．如图，在等腰△B 中，B＝＝5，B＝6，点D、E 分别是B、上两动点，且D＝ E，连接D、BE，D+BE 最小值为 ∴BE＝MD，∴D+BE＝MD+D≥M， ∴当、D、M 三点共线时，D+BE 取最小值， M＝ ＝ ．故答为： ． 变式训练 【变式1-1】．如图，在△B 中，B＝＝8，B＝4 ，D 为B 边的中点，点E、F 分别是线 段、D 上的动点，且F＝E，则BE+F 的最小值是 ． 例题精讲 解：过作G⊥B 且使得G＝B＝4 ，连接BF、FG、BG， ∵B＝，点D 为B 的中点，

即要求的两条线段有公共 端点,或者平移后有公共端点 除了将军饮马问题外，还有一类两线段和的最值问题，两个动点的运动过程中, 两条动线 段始终保持着相等, 我们可以在等线段处构造全等, 从而将要求的两条线段拼接到一起，这就是 今天咱们要说的逆等线最值问题 讲逆等线模型之前我们先来一波回忆： 下图大家应该很熟： D 为动点！特殊化证明：DE+DF 的和为定值 一般化证明：DE+DF 然后将这个角一路的改变也相当于做腰的平行线！ 此图即产生了逆等线，所谓逆等线，逆向也相等！ 模型介绍 大 招 逆等线最值模型 考点一:等腰三角形中的逆等线模型 【例1】．如图，在等腰△B 中，B＝＝5，B＝6，点D、E 分别是B、上两动点，且D＝ E，连接D、BE，D+BE 最小值为 ． 变式训练 【变式1-1】．如图，在△B 中，B＝＝8，B＝4 ，D 为B 边的中点，点E、F 分别是线 段、D 上的动点，且F＝E，则BE+F （3，0），D、E 分别为线段和线段上一动点，BE 交y 轴于点，且D＝E．当BD+BE 的 值最小时，则点的坐标为（ ） 例题精讲 ．（0，4） B．（0，5） ． D． 考点二:等边三角形中的逆等线模型 【例2】如图，D 为等边△B 的高，E、F 分别为线段D、上的动点，且E＝F，当BF+E 取 得最小值时，∠FB＝ °． 变式训练 【变式2-1】．如图，是正三角形B 中B 边上的高，在点，处各有一只电子乌龟P

+kP”型问题转化为“QB +Q”型将军饮马问题．当k=1 时，加权逆等线就变成了逆等线拼接最值模型， 此种情况属于权为1 的特殊情况，只需通过全等三角形构造出相等线段即可， 然后将问题变为常见的将军饮马问题求解即可 需要注意的是这里的QB、P 两条线段的延长线方向必须要有交叉，方能 通过相似或全等三角形得到kP 的等线段． 【解题方法】 利用比例线段构造相似三角形转化线段，把双动点问题转化为单动点将 点问题转化为单动点将 军饮马问题，利用“两点之间线段最短”从而解出答 考点一:直角三角形中的加权逆等线模型 【例1】如图，已知B⊥B，B=B=3,E 为B 边上一动点，连接E，D 点在B 延 长线上，且E=2BD,则E+2D 的最小值为多少？ 模型介绍 例题精讲 解：作F⊥B，且使得F=6，连接EF 过点做G⊥F，交F 延长线于点G ∵CF CB = CE BD =2 ， ∴△FE∽△BD，EF=2D ∴E+2D=E+EF 当、E、F 三点一线时，E+EF 取到最小值，此时E+EF=F 易知：四边形BG 为正方形 G=3,G=3 FG=9 在Rt△FG 中，由勾股定理得 F=3 ❑ √10 E+2D 的最小值为3 ❑ √10 变式训练 【变式1-1】如图，等腰直角△B 中，斜边B=2，点D、E 分别为线段 B 和B 上的动点，

即要求的两条线段有公共 端点,或者平移后有公共端点 除了将军饮马问题外，还有一类两线段和的最值问题，两个动点的运动过程中, 两条动线 段始终保持着相等, 我们可以在等线段处构造全等, 从而将要求的两条线段拼接到一起，这就是 今天咱们要说的逆等线最值问题 讲逆等线模型之前我们先来一波回忆： 下图大家应该很熟： D 为动点！特殊化证明：DE+DF 的和为定值 一般化证明：DE+DF 然后将这个角一路的改变也相当于做腰的平行线！ 此图即产生了逆等线，所谓逆等线，逆向也相等！ 模型介绍 大 招 逆等线最值模型 考点一:等腰三角形中的逆等线模型 【例1】．如图，在等腰△B 中，B＝＝5，B＝6，点D、E 分别是B、上两动点，且D＝ E，连接D、BE，D+BE 最小值为 ． 变式训练 【变式1-1】．如图，在△B 中，B＝＝8，B＝4 ，D 为B 边的中点，点E、F 分别是线 段、D 上的动点，且F＝E，则BE+F （3，0），D、E 分别为线段和线段上一动点，BE 交y 轴于点，且D＝E．当BD+BE 的 值最小时，则点的坐标为（ ） 例题精讲 ．（0，4） B．（0，5） ． D． 考点二:等边三角形中的逆等线模型 【例2】如图，D 为等边△B 的高，E、F 分别为线段D、上的动点，且E＝F，当BF+E 取 得最小值时，∠FB＝ °． 变式训练 【变式2-1】．如图，是正三角形B 中B 边上的高，在点，处各有一只电子乌龟P

+kP”型问题转化为“QB +Q”型将军饮马问题．当k=1 时，加权逆等线就变成了逆等线拼接最值模型， 此种情况属于权为1 的特殊情况，只需通过全等三角形构造出相等线段即可， 然后将问题变为常见的将军饮马问题求解即可 需要注意的是这里的QB、P 两条线段的延长线方向必须要有交叉，方能 通过相似或全等三角形得到kP 的等线段． 【解题方法】 利用比例线段构造相似三角形转化线段，把双动点问题转化为单动点将 点问题转化为单动点将 军饮马问题，利用“两点之间线段最短”从而解出答 考点一:直角三角形中的加权逆等线模型 【例1】如图，已知B⊥B，B=B=3,E 为B 边上一动点，连接E，D 点在B 延 长线上，且E=2BD,则E+2D 的最小值为多少？ 模型介绍 例题精讲 解：作F⊥B，且使得F=6，连接EF 过点做G⊥F，交F 延长线于点G ∵CF CB = CE BD =2 ， ∴△FE∽△BD，EF=2D ∴E+2D=E+EF 当、E、F 三点一线时，E+EF 取到最小值，此时E+EF=F 易知：四边形BG 为正方形 G=3,G=3 FG=9 在Rt△FG 中，由勾股定理得 F=3 ❑ √10 E+2D 的最小值为3 ❑ √10 变式训练 【变式1-1】如图，等腰直角△B 中，斜边B=2，点D、E 分别为线段 B 和B 上的动点，

+kP”型问题转化为“QB +Q”型将军饮马问题．当k=1 时，加权逆等线就变成了逆等线拼接最值模型， 此种情况属于权为1 的特殊情况，只需通过全等三角形构造出相等线段即可， 然后将问题变为常见的将军饮马问题求解即可 R 需要注意：这里的QB、P 两条线段的延长线方向必须要有交叉，方能通 过相似或全等三角形得到kP 的等线段． 【解题方法】 R 利用比例线段构造相似三角形转化线段，把双动点问题转化为单动点将 动点问题转化为单动点将 军饮马问题，利用“两点之间线段最短”从而解出答 模型介绍 考点一:直角三角形中的加权逆等线模型 【例1】如图，已知B⊥B，B=B=3,E 为B 边上一动点，连接E，D 点在B 延 长线上，且 E=2BD,则E+2D 的最小值为多少 变式训练 【变式1-1】如图，等腰直角△B 中，斜边B=2，点D、E 分别为线段 B 和B 上 的动点， ，求 【变式1-2】如图, 在Rt△B 中, =6,B=8,∠B=90。，点E、F 分别是 B 、B 边 上的动点, 且 , 求1 2E+F 的最小值 例题精讲 考点二:特殊平行四边形中的加权逆等线模型 【例2】如图，在正方形BD 中，B=1，E、F 分别为B、D 上的动点，且 BE=2DF,求DE+2F 的最小值 变式训练 【变式2-1】如图，在矩形BD 中，D=4,B=4 ❑

+kP”型问题转化为“QB +Q”型将军饮马问题．当k=1 时，加权逆等线就变成了逆等线拼接最值模型， 此种情况属于权为1 的特殊情况，只需通过全等三角形构造出相等线段即可， 然后将问题变为常见的将军饮马问题求解即可 R 需要注意：这里的QB、P 两条线段的延长线方向必须要有交叉，方能通 过相似或全等三角形得到kP 的等线段． 【解题方法】 R 利用比例线段构造相似三角形转化线段，把双动点问题转化为单动点将 动点问题转化为单动点将 军饮马问题，利用“两点之间线段最短”从而解出答 模型介绍 考点一:直角三角形中的加权逆等线模型 【例1】如图，已知B⊥B，B=B=3,E 为B 边上一动点，连接E，D 点在B 延 长线上，且 E=2BD,则E+2D 的最小值为多少 变式训练 【变式1-1】如图，等腰直角△B 中，斜边B=2，点D、E 分别为线段 B 和B 上 的动点， ，求 【变式1-2】如图, 在Rt△B 中, =6,B=8,∠B=90。，点E、F 分别是 B 、B 边 上的动点, 且 , 求1 2E+F 的最小值 例题精讲 考点二:特殊平行四边形中的加权逆等线模型 【例2】如图，在正方形BD 中，B=1，E、F 分别为B、D 上的动点，且 BE=2DF,求DE+2F 的最小值 变式训练 【变式2-1】如图，在矩形BD 中，D=4,B=4 ❑