模型10 加权逆等线最值模型（解析版）

【模型总结】 在求形如“QB+kP”（k≠1）的式子最值问题时，关键是要通过相似三 角形构造出与kP 相等的线段(即kP=Q)，将QB +kP”型问题转化为“QB +Q”型将军饮马问题．当k=1 时，加权逆等线就变成了逆等线拼接最值模型， 此种情况属于权为1 的特殊情况，只需通过全等三角形构造出相等线段即可， 然后将问题变为常见的将军饮马问题求解即可 需要注意的是这里的QB、P 两条线段的延长线方向必须要有交叉，方能 通过相似或全等三角形得到kP 的等线段． 【解题方法】 利用比例线段构造相似三角形转化线段，把双动点问题转化为单动点将 军饮马问题，利用“两点之间线段最短”从而解出答 考点一:直角三角形中的加权逆等线模型 【例1】如图，已知B⊥B，B=B=3,E 为B 边上一动点，连接E，D 点在B 延 长线上，且E=2BD,则E+2D 的最小值为多少？ 模型介绍 例题精讲 解：作F⊥B，且使得F=6，连接EF 过点做G⊥F，交F 延长线于点G ∵CF CB = CE BD =2 ， ∴△FE∽△BD，EF=2D ∴E+2D=E+EF 当、E、F 三点一线时，E+EF 取到最小值，此时E+EF=F 易知：四边形BG 为正方形 G=3,G=3 FG=9 在Rt△FG 中，由勾股定理得 F=3 ❑ √10 E+2D 的最小值为3 ❑ √10 变式训练 【变式1-1】如图，等腰直角△B 中，斜边B=2，点D、E 分别为线段 B 和B 上的动点， ，求 的最小值 解：作BF⊥B 并且使得BF=2，连接EF ∵BE AD= BF AC = 2 ❑ √2=❑ √2 ∴△BEF∽△D ∴EF=❑ √2 D ∴E+❑ √2D=E+EF 当、E、F 三点共线时，E+EF 取到最小值，此时E+EF=F 反向延长BF，过点作⊥BF 于点 在Rt△F 中，由勾股定理易得：F=❑ √10 ∴E+❑ √2D 的最小值为❑ √10 【变式1-2】如图, 在Rt△B 中, =6,B=8,∠B=90。，点E、F 分别是 B 、B 边 上的动点, 且 , 求1 2E+F 的最小值 解：过点作D⊥B，并且使得D=12，连接DE，D 过点作⊥B 于点，G⊥D 延长线与点G ∵AD CF = AE CF =2 ,∠DE=∠F ∴△DE∽△F ，DE=2F, E+2F=E+DE 当、E、D 三点共线时，取到最小值，此时E+2F=E+DE=D 由等面积法可得：=24 5 四边形G 为矩形， G==24 5 ，DG=D+G=84 5 在Rt△中 由勾股定理得：=18 5 G==18 5 在Rt△DG 中， 由勾股定理得：D=6 ❑ √205 1 2E+F=1 2（E+2F）；1 2E+F 的最小值为3 ❑ √205 考点二:特殊平行四边形中的加权逆等线模型 【例2】如图，在正方形BD 中，B=1，E、F 分别为B、D 上的动点，且 BE=2DF,求DE+2F 的最小值 解：如图，延长B 至点D' ,使得D' =1;作点D 关于B 的对称点D''连接D' E，D''E 易知BD' =2 DE=D''E ∵BD' AD =BE DF =2 1 ∴ΔBD' E Δ 与DAF 相似 ∴D' E=2F ∵DE=D''E ∴DE+2F=D''E+D' E 当D' 、E、 D''三点一线时，D''E+D' E 取到最小值 此时D''E+D' E= ❑ √10∴ DE+2F 最小值为 ❑ √10 变式训练 【变式2-1】如图，在矩形BD 中，D=4,B=4 ❑ √3，点E、F 分别是BD,B 上的 一动点，且BF=2DE，则F+2E 的最小值为多少？ 解: 连接 D F, 延长D 至点 , 使 , 连接 G, 易证 的最小值是 【变式2-2】如图，在菱形BD 中，∠BD＝120°，D＝4，M，分别是边B，D 的动点，满足M＝D，连接M、，E 是边M 上的动点，F 是M 上靠近的四等 分点，连接E、BE、F，当△F 面积最小时， BE+E 的最小值为 ． 解：如图，连接M、， ∵四边形BD 是菱形，∠BD＝120°， ∴B＝D＝D，∠B＝∠D＝∠D＝60°， ∴△D 和△B 为等边三角形，∴＝D，∠D＝60°， ∵M＝D，∴△M≌△D（SS）， ∴M＝，∠D＝∠M， ∴∠M＝∠M+∠＝∠D+∠＝∠D＝60°， ∴△M 为等边三角形， ∵点F 是M 上靠近点的四等分点，∴S△F＝ S△M， ∴△M 的面积最小时，△F 的面积也最小， ∵S△M＝ ， ∴当和M 长度最短时，S△M的面积最小，即⊥D，M⊥B 时△F 的面积最小， 取BE 的中点为点G，连接MG， ∵△B 为等边三角形，M⊥B，∴点M 是B 的中点， ∴E＝BE，∴MG＝ E＝ BE，∴ BE+E＝ E+E＝ E， ∵点E 是M 上的动点，∠ME＝90°，∴E 的最小值即为M 的长度， ∵D＝4，∴M＝ B＝2，∴（ BE+E）最小值＝ ×2＝3，故答为：3． 1 如图,等腰 ，D、E 分别是 B、B 边上的动点,且满足 , 求 的最小值 A B C D E 实战演练 解：首先需要构建出 ,其次需要将E 和 放到同一直线上 如图所示，构建 ，且相似比为 ，则 此时 即最小值为M ； 如图所示，当、 E 、F 三点共线时，取得最小值为F; 接下来，我们求解F 的长度 ∴ D 的最小值为 A B C D E F G 2 如图，M 为矩形BD 中D 边中点，E、F 分别为B、D 上的动点，且BE＝ 2DF，若B＝1，B＝2，则ME+2F 的最小值为 ． 方法一 解：如图，过点M 作M⊥B 于．设DF＝x，则BE＝2x． ∵四边形BD 是矩形， ∴∠BD＝∠B＝∠D＝90°， ∵M⊥B， ∴∠MB＝90°， ∴四边形BM 是矩形， ∴M＝DM＝B＝1，B＝M＝1， ∴E＝1 2 ﹣x， ∴ME+2F＝ +2 ＝ + ， 欲求ME+2F 的最小值，相当于在x 轴上找一点Q（2x，0），使得点Q 到 （0，4），和K（1，1）的距离之和最小（如下图）， 作点关于x 轴的对称点′，连接K′交x 轴于Q，连接Q，此时Q+QK 的值最 小，最小值＝K′， ∵′（0，﹣4），K（1，1）， ∴K′＝ ＝ ， ∴ME+2F 的最小值为 ， 故答为 ． 方法二 延长B 至点G，使得BG=4，连接GE 作点G 关于直线B 的对称点，连接E，M ∴GE=E 易证△BGE∽△DF，∴GE=2F 故 ME+2F=ME+GE=ME+E 当M 、E、 三点共线时，ME+E 取到最小值 此时ME+E=M 在Rt△M 中，由勾股定理可得：M=❑ √26 3．如图，在正方形BD 中，P 为D 上一点，且AP PD =2 1，E、F 分别为D、B 上 的动点，且BF＝3DE，若D=3，求PF+3E 的最小值． 解：延长B 到点G，使得BG=3D=9，作点G 关于直线B 的对称点 连接GF，F，由对称原理可知：F=GF 易证△GBF∽△DE ∴GF=3E 故PF+3E=PF+GF=PF+F 当P、F、三点共线时，PF+F 取到最小值 此时PF+F=P 在Rt△BP 中，由勾股定理可得：P=2❑ √37 ∴PF+3E 最小值为2❑ √37 4．如图，在Rt△B，∠B＝90°，∠＝30°，＝ ，点D 在线段B 上，点E 在 线段B 的延长线上，且BE＝D，则E+D 的最小值是 ． 解：如图所示，作点关于B 的对称点G，连接G，DG，G， 则D＝GD，＝G，∠G＝2∠B＝60°，G⊥B， ∴△G 是等边三角形， ∴G＝＝ ， 如图，以DE，DG 为边作平行四边形DEG，则DG＝E，G∥DE， ∴E＝D，G⊥G， ∴D+E＝E+E， ∴当，E，在同一直线上时，连接，E+D 的最小值等于的长， ∵Rt△B 中，∠B＝90°，∠＝30°，＝ ， ∴B＝t30°×＝1，B＝2B＝2， ∵D＝BE， ∴B＝DE＝2， ∴平行四边形DEG 中，G＝2， ∴Rt△G 中，＝ ＝ ＝ ， ∴E+D 的最小值等于 ， 故答为： ． 5．如图，在矩形BD 中，B＝4，D＝6，点P 在边D 上，点Q 在边B 上，且P ＝Q，连接P，QD，则P+QD 的最小值等于 10 ． 解：如图，连接BP， 在矩形BD 中，D∥B，D＝B＝6， ∵P＝Q， ∴D﹣P＝B﹣Q， ∴DP＝QB，DP∥BQ， ∴四边形DPBQ 是平行四边形， ∴PB∥DQ，PB＝DQ， 则P+QD＝P+PB，则P+QD 的最小值转化为P+PB 的最小值， 在B 的延长线上截取E＝B＝4，连接PE， 则BE＝2B＝8， ∵P⊥BE， ∴P 是BE 的垂直平分线， ∴PB＝PE， ∴P+PB＝P+PE， 连接E，则P+QD＝P+PB＝P+PE≥E， ∴E＝ ＝ ＝10， ∴P+PB 的最小值为10， 即P+QD 的最小值为10， 故答为：10． 6．如图，平行四边形BD，B＞D，D＝4，∠DB＝60°，点E、F 为对角线BD 上的动点，DE＝2BF，连接E、F，则E+2F 的最小值为 ． 解：如图，在直线DB 的上方作∠BDT＝60°，且使得DT＝2B．过点T 作 T⊥D 交D 的延长线于． ∵四边形BD 是平行四边形， ∴B∥D，D＝B＝4， ∴∠DB＝∠DB＝60°， ∴∠BF＝∠TDE， ∵BC DT = BF DE =1 2， ∴△BF∽△TDE， ∴CF ET = BC DT =1 2， ∴ET＝2F， ∵∠TD＝180° 60° 60° ﹣ ﹣ ＝60°，∠＝90°，DT＝2B＝8， ∴D＝DT•s60°＝4，T¿ ❑ √3D＝4❑ √3， ∴＝D+D＝8， ∴T¿ ❑ √A H 2+H T 2= ❑ √8 2+(4 ❑ √3) 2=¿4❑ √7， ∵E+2F＝E+ET，E+ET≥T， ∴E+2F≥4❑ √7， ∴E+2F 的最小值为4❑ √7． 故答为：4❑ √7． 7．问题提出： （1）如图①，在正方形BD 中，E 为边B 上一点（点E 不与点、B 重合）， 连接DE，过点作F⊥DE，交B 于点F，则DE 与F 的数量关系是：DE ＝ F； 问题探究： （2）如图②，在矩形BD 中，B＝4，D＝6，点E、F 分别在边B、D 上， 点M 为线段EF 上一动点，过点M 作EF 的垂线分别交边D、B 于点G、点． 若线段EF 恰好平分矩形BD 的面积，且DF＝1，求G 的长； 问题解决： （3）如图③，在正方形BD 中，M 为D 上一点，且 ，E、F 分别为 B、D 上的动点，且BE＝2DF，若B＝4，求ME+2F 的最小值． 解：（1）如图1， DE＝F，理由如下： 在正方形BD 中， ∠B＝∠BD＝90°，D＝B，∴∠BF+∠FB＝90°， ∵F⊥DE， ∴∠E＝90°，∴∠BF+∠ED＝90°，∴∠FB＝∠ED， ∴△BF≌△DE（S），∴DE＝F， 故答是“＝”； （2）如图2， 连接，交EF 于， ∵线段EF 恰好平分矩形BD 的面积，∴是矩形的对称中心，∴BE＝DF＝1， 作D∥EF，∥G， ∵四边形BD 是矩形，∴DF∥E， ∴四边形DEF 是平行四边形，∴E＝DF＝1，∴＝B﹣BE﹣E＝2， 同理可得， ＝G， ∵EF⊥G，∴D⊥， 由（1）得， ∠D＝∠B， ∴△D∽△B，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴B＝ ， 在Rt△B 中由勾股定理得， ＝ ＝ ＝ ，∴G＝ ； （3）如图3， 作EG⊥D 于G，∵ ，D＝4，∴M＝3， 设DF＝，则BE＝2，∴GM＝M﹣G＝3 2 ﹣， 在Rt△DF 中，F＝ ＝ ， 在Rt△EGM 中， ME＝ ＝ ， ∴ME+2F＝ + ＝ + ME+2F 最小值可以看作在平面直角坐标系中， 点（2，0）到定点（3，4），（0，8）的距离之和最小， 如图4， 作的对称点K，连接K， 则K 与x 轴的交点是点，此时ME 最小， 作K⊥y 轴于T，∴（ME+2F）最小＝K＝ ＝ ＝3 ． 8．如图，在△B 中，∠B＝60°，B＝6，＝8，D、E 分别为边、B 上两个动点． （1）如图1，若D 为中点，且DE 平分△B 的周长； ⅰ）求E﹣BE 的值； ⅱ）求证：∠ED＝30°，并直接写出DE 的值； （2）如图2，若E＝D，连接BD、E，求BD+E 的最小值． 解：（1）ⅰ）∵＝8，D 为中点，∴D＝D＝4， ∵B＝6，DE 平分△B 的周长，∴D+E＝D+B+BE， ∴4+E＝4+6+BE，∴E﹣BE＝6； ⅱ）如图1，取B 的中点F，连接DF， ∵D 为中点，∴DF∥B，DF＝ B＝ ×6＝3，∴∠FD＝∠B＝60°， ∵∠FD＝∠ED+∠FDE，∠ED＝30°，∴∠FDE＝30°， ∴∠ED＝∠FDE，∴EF＝DF＝3， 过F 作F⊥DE 于，∴F＝ EF＝ ，E＝D， ∴E＝ ＝ ，∴DE＝2E＝3 ； （2）证明：过点向上作M∥B，使M＝，连接BM， 过点M 作M⊥B 交B 的延长线于点， ∵M∥B，∴∠＝∠M， 在△E 和△DM 中， ， ∴△E≌△DM（SS），∴E＝MD， 当点B，D，M 三点在同一条直线上时，BD+MD 的值最小为线段BM 的长， 即BD+E 的最小值为BM 的长， ∵M∥B，∴∠M＝∠B＝60°， ∵∠＝90°，M＝＝8，∴∠M＝30°， ∴＝ M＝4，∴M＝4 ， ∵B＝6，∴B＝B+＝6+4＝10， ∴BM＝ ＝ ＝2 ，∴BD+E 的最小值为2 ． 9．如图1，在▱BD 中．B＝6．与BD 交于点，点E，F 分别是线段，D 上的 动点（点E，F 不与，，D 重合）．E＝F．设∠D＝，将线段D 绕点按逆时 针方向旋转得到P，连接PE，BE，BF． （1）求证：△PE≌△BF： （2）如图2，若∠B＝90°，∠D＝40°，且点B、E、P 在一条直线上，求 BE+BF 的值； （3）当B＝，∠D＝60°时，BE+BF 长的最小值是 ． 解：（1）∵∠D＝∠PD，∠D＝∠B ∴∠PE＝∠BF ∵P＝B，E＝F∴△PE≌△BF（SS） （2）由（1）可知△PE≌△BF ∴EP＝BF ∴BP＝BE+PF＝BE+BF ∵∠B＝90° ∴平行四边形BD 为菱形 ∴P＝D＝B ∵∠PD＝40° ∴∠PB＝120° ∴∠P＝30° 如图，作⊥PB，垂足为 在Rt△P 中 P＝6 ∴P＝3 ∴BP＝6 ∴BE+BF＝6 （3）如图，P 垂直B 的延长线于 ∵B＝ ∴▱BD 为矩形 由（1）可知△PE≌△BF ∴BE+BF 的最小值即为BP 长 在Rt△P 中，P＝6 ，∠P＝30° ∴P＝3 ，＝9 在Rt△BP 中，B＝15，P＝3 ∴BP＝ ＝6 ∴BE+BF 的最小值6 10．平行四边形BD 中，为线段D 上一动点． （1）如图1，已知∠D＜90°．若DR＝B，求证：四边形DRB 为平行四边 形； （2）如图2，已知∠B＝60°．若B 为∠B 的角平分线，T 为线段B 上一点， DT 的延长线交线段B 于点M，满足：t∠BTM＝ 且D＝BM．请认真思考 （1）中图形，探究 的值． （3）如图3，平行四边形BD 中，∠B＝60°，B＝B＝2，P 在线段BD 上， Q 在线段D 上，满足：BP＝2Q．直接写出（2Q+P）的最小值为 2 ． （1）证明：如图1 中，过点D 作DE⊥B 交B 的延长线于E，过点B 作 BF⊥D 交D 的延长线于F． ∵四边形BD 是平行四边形， ∴D＝B，∠BD＝∠BD，B＝D， ∴∠DE＝∠BF， ∵∠DE＝∠BF＝90°， ∴△DE≌△BF（S）， ∴DE＝BF，E＝F， ∵DR＝B， ∴Rt△DER≌Rt△BF（L）， ∴ER＝F， ∴R＝， ∵B＝D， ∴BR＝D， ∵DR＝B， ∴四边形DRB 为平行四边形． （2）解：如图2 中，作DR∥B 交B 于R，连RM 交B 于点P， ∵BR∥D，RD∥B， ∴四边形RBD 是平行四边形， ∴BR＝D， ∵D＝BM， ∴BR＝BM， ∵∠B＝60°，B 为∠B 的角平分线， ∴∠RBP＝∠PBM＝30°， ∴∠BPR＝90°， ∵RD∥B， ∴∠PRD＝∠BPR＝90°， ∵RD∥B， ∴∠BTM＝∠RDM， ∵t∠BTM＝ ， ∴t∠RDM＝ ， 设BM＝，则RM＝， ， 过点作K⊥RD 于点K， ∵∠BRM＝60°， ∴∠RD＝30°＝∠DR， ∴DK＝RK＝， ∴D＝ ＝ ＝ ， 在Rt△RDM 中，RM2+RD2＝MD2， ∴MD＝ ， ∴ ＝ ＝ ． （3）解：如图3 中，连接，作M∥BD，使得M＝ B，连接MQ，M． ∵四边形BD 是平行四边形，B＝B＝2，∠B＝60°， ∴四边形BD 是菱形， ∴△B，△D 都是等边三角形，∠BD＝∠DB＝∠BD＝ ∠B＝30°， ∴＝B＝2，∠B＝∠D＝60°， ∵M∥BD， ∴∠DM＝∠BD＝30°， ∴∠BP＝∠MQ， ∵ ＝ ＝2， ∴△BP∽△MQ， ∴ ＝ ＝2， ∴QM＝ P， ∴2Q+P＝2（Q+ P）＝2（Q+QM）， ∵Q+QM≥M，M＝ ＝ ＝ ， ∴Q+QM 的最小值为 ， ∴2Q+P 的最小值为2 ． 故答为： ． 11．如图，在菱形BD 中，∠BD＝120°，B＝6，连接BD． （1）求BD 的长； （2）点E 为线段BD 上一动点（不与点B，D 重合），点F 在边D 上，且 BE＝ DF． ①当E⊥B 时，求四边形BEF 的面积； ②当四边形BEF 的面积取得最小值时，E+ F 的值是否也最小？如果是， 求E+ F 的最小值；如果不是，请说明理由． 解：（1）过点D 作D⊥B 交B 的延长线于，如图： ∵四边形BD 是菱形， ∴D＝B＝6， ∵∠BD＝120°， ∴∠D＝60°， 在Rt△D 中， D＝D•s∠D＝6× ＝3 ， ＝D•s∠D＝6× ＝3， ∴BD＝ ＝ ＝6 ； （2）①设E⊥B 交B 于M 点，过点F 作F⊥B 交B 的延长线于，如图： 菱形BD 中， ∵B＝B＝D＝D＝6，D∥B，∠BD＝120°， ∴∠B+∠BD＝180°， ∴∠B＝180° ∠ ﹣ BD＝60°， 在Rt△BM 中，BM＝B•s∠B＝6× ＝3， ∵BD 是菱形BD 的对角