模型10 加权逆等线最值模型（原卷版）(1)

【模型总结】 R 在求形如“QB+kP”（k≠1）的式子最值问题时，关键是要通过相似三 角形构造出与kP 相等的线段(即kP=Q)，将QB +kP”型问题转化为“QB +Q”型将军饮马问题．当k=1 时，加权逆等线就变成了逆等线拼接最值模型， 此种情况属于权为1 的特殊情况，只需通过全等三角形构造出相等线段即可， 然后将问题变为常见的将军饮马问题求解即可 R 需要注意：这里的QB、P 两条线段的延长线方向必须要有交叉，方能通 过相似或全等三角形得到kP 的等线段． 【解题方法】 R 利用比例线段构造相似三角形转化线段，把双动点问题转化为单动点将 军饮马问题，利用“两点之间线段最短”从而解出答 模型介绍 考点一:直角三角形中的加权逆等线模型 【例1】如图，已知B⊥B，B=B=3,E 为B 边上一动点，连接E，D 点在B 延 长线上，且 E=2BD,则E+2D 的最小值为多少 变式训练 【变式1-1】如图，等腰直角△B 中，斜边B=2，点D、E 分别为线段 B 和B 上 的动点， ，求 的最小值 【变式1-2】如图, 在Rt△B 中, =6,B=8,∠B=90。，点E、F 分别是 B 、B 边 上的动点, 且 , 求1 2E+F 的最小值 例题精讲 考点二:特殊平行四边形中的加权逆等线模型 【例2】如图，在正方形BD 中，B=1，E、F 分别为B、D 上的动点，且 BE=2DF,求DE+2F 的最小值 变式训练 【变式2-1】如图，在矩形BD 中，D=4,B=4 ❑ √3，点E、F 分别是BD,B 上的一 动点，且BF=2DE， 则F+2E 的最小值为多少？ 【变式2-2】如图，在菱形BD 中，∠BD＝120°，D＝4，M，分别是边B，D 的动点，满足M＝D，连接M、，E 是边M 上的动点，F 是M 上靠近的四等分 点，连接E、BE、F，当△F 面积最小时， BE+E 的最小值为 ． 1 如图,等腰 ，D、E 分别是 B、B 边上的动点,且满足 , 求 的最小值 实战演练 A B C D E 2 如图，M 为矩形BD 中D 边中点，E、F 分别为B、D 上的动点，且BE＝ 2DF，若B＝1，B＝2，则ME+2F 的最小值为 ． 3．如图，在正方形BD 中，P 为D 上一点，且AP PD =2 1，E、F 分别为D、B 上 的动点，且BF＝3DE，若D=3，求PF+3E 的最小值． 4．如图，在Rt△B，∠B＝90°，∠＝30°，＝ ，点D 在线段B 上，点E 在 线段B 的延长线上，且BE＝D，则E+D 的最小值是 ． 5．如图，在矩形BD 中，B＝4，D＝6，点P 在边D 上，点Q 在边B 上，且P ＝Q，连接P，QD，则P+QD 的最小值等于 ． 6．如图，平行四边形BD，B＞D，D＝4，∠DB＝60°，点E、F 为对角线BD 上的动点，DE＝2BF，连接E、F，则E+2F 的最小值为 ． 7．问题提出： （1）如图①，在正方形BD 中，E 为边B 上一点（点E 不与点、B 重合）， 连接DE，过点作F⊥DE，交B 于点F，则DE 与F 的数量关系是：DE F； 问题探究： （2）如图②，在矩形BD 中，B＝4，D＝6，点E、F 分别在边B、D 上， 点M 为线段EF 上一动点，过点M 作EF 的垂线分别交边D、B 于点G、点． 若线段EF 恰好平分矩形BD 的面积，且DF＝1，求G 的长； 问题解决： （3）如图③，在正方形BD 中，M 为D 上一点，且 ，E、F 分别为 B、D 上的动点，且BE＝2DF，若B＝4，求ME+2F 的最小值． 8．如图，在△B 中，∠B＝60°，B＝6，＝8，D、E 分别为边、B 上两个动点． （1）如图1，若D 为中点，且DE 平分△B 的周长； ⅰ）求E﹣BE 的值； ⅱ）求证：∠ED＝30°，并直接写出DE 的值； （2）如图2，若E＝D，连接BD、E，求BD+E 的最小值． 9．如图1，在▱BD 中．B＝6．与BD 交于点，点E，F 分别是线段，D 上的 动点（点E，F 不与，，D 重合）．E＝F．设∠D＝，将线段D 绕点按逆时 针方向旋转得到P，连接PE，BE，BF． （1）求证：△PE≌△BF： （2）如图2，若∠B＝90°，∠D＝40°，且点B、E、P 在一条直线上，求 BE+BF 的值； （3）当B＝，∠D＝60°时，BE+BF 长的最小值是 ． 10．平行四边形BD 中，为线段D 上一动点． （1）如图1，已知∠D＜90°．若DR＝B，求证：四边形DRB 为平行四边 形； （2）如图2，已知∠B＝60°．若B 为∠B 的角平分线，T 为线段B 上一点， DT 的延长线交线段B 于点M，满足：t∠BTM＝ 且D＝BM．请认真思考 （1）中图形，探究 的值． （3）如图3，平行四边形BD 中，∠B＝60°，B＝B＝2，P 在线段BD 上， Q 在线段D 上，满足：BP＝2Q．直接写出（2Q+P）的最小值为 ． 11．如图，在菱形BD 中，∠BD＝120°，B＝6，连接BD． （1）求BD 的长； （2）点E 为线段BD 上一动点（不与点B，D 重合），点F 在边D 上，且 BE＝ DF． ①当E⊥B 时，求四边形BEF 的面积； ②当四边形BEF 的面积取得最小值时，E+ F 的值是否也最小？如果是， 求E+ F 的最小值；如果不是，请说明理由．