1．平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之 间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在 解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 例．如图所示，有一正方体纸盒，在点1处有一只小虫，它要爬到点吃食物．应该沿着怎 ． 2 赵爽弦图模型 我国著名的数学家赵爽，早在公元3 世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用 四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个正方形称为赵爽弦图，验 证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边、b 与斜边满足关系式2+b2＝2．称为 勾股定理． 把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论 证明：由图2 得，大正方形面积＝4× 则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为x， 由勾股定理得：x2＝22+[（02+03）×3]2＝252， 解得x＝25． 考点二：弦图模型的应用 【例2】．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFG 拼 成的大正方形BD．若E＝5，B＝13，则中间小正方形EFG 的面积是 49 ． 解：∵E＝5，B＝13，

1．平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之 间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在 解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 例．如图所示，有一正方体纸盒，在点1处有一只小虫，它要爬到点吃食物．应该沿着怎 ． 2 赵爽弦图模型 我国著名的数学家赵爽，早在公元3 世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用 四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个正方形称为赵爽弦图，验 证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边、b 与斜边满足关系式2+b2＝2．称为 勾股定理． 把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论 证明：由图2 得，大正方形面积＝4× 则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为x， 由勾股定理得：x2＝22+[（02+03）×3]2＝252， 解得x＝25． 考点二：弦图模型的应用 【例2】．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFG 拼 成的大正方形BD．若E＝5，B＝13，则中间小正方形EFG 的面积是 49 ． 解：∵E＝5，B＝13，

1．平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之 间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在 解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 例．如图所示，有一正方体纸盒，在点1处有一只小虫，它要爬到点吃食物．应该沿着怎 ． 2 赵爽弦图模型 我国著名的数学家赵爽，早在公元3 世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用 四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个正方形称为赵爽弦图，验 证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边、b 与斜边满足关系式2+b2＝2．称为 勾股定理． 把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论 证明：由图2 得，大正方形面积＝4× 考点二：弦图模型的应用 【例2】．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFG 拼 成的大正方形BD．若E＝5，B＝13，则中间小正方形EFG 的面积是 ． 变式训练 【变式2-1】．如图1 是我国古代著名的“赵爽 弦图”的示意图，它是由四个全等的直角 三角形围成．若较短的直角边B＝25，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长 一倍，得到图2 所示的“数学风车”，若△BD

1．平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之 间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在 解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 例．如图所示，有一正方体纸盒，在点1处有一只小虫，它要爬到点吃食物．应该沿着怎 ． 2 赵爽弦图模型 我国著名的数学家赵爽，早在公元3 世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用 四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个正方形称为赵爽弦图，验 证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边、b 与斜边满足关系式2+b2＝2．称为 勾股定理． 把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论 证明：由图2 得，大正方形面积＝4× 考点二：弦图模型的应用 【例2】．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFG 拼 成的大正方形BD．若E＝5，B＝13，则中间小正方形EFG 的面积是 ． 变式训练 【变式2-1】．如图1 是我国古代著名的“赵爽 弦图”的示意图，它是由四个全等的直角 三角形围成．若较短的直角边B＝25，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长 一倍，得到图2 所示的“数学风车”，若△BD

第六讲 勾股定理 模型（二十三）——赵爽弦图模型 ◎结论1：在正方形BD 的四边B，B，D，D 上分别取点E，F，G，，使得BE＝F＝ GD＝，则四边形EGF 是正方形 【证明】在正方形中，BE=F=GD=，∴E=BF=G=D, 又∵∠=∠B=∠=∠D=90°， ∴Rt△BEF≌Rt△FG≌Rt△DG≌Rt△E， ∴EF＝FG＝G＝E ； ②5,12,13；③6,8,10；④8,15,17；⑤9,12,15; 1．（2022·福建·厦门双十中学思明分校八年级期中）如图是用4 个全等的直角三角形与1 个小正方形镶嵌而成的 正方形图，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y 表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结 论：① ；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（ ） ．①② B．②④ ∵x＞y，由②可得x-y=2 由③得2xy+4＝49 ∴结论①②③正确，④错误． 故选：． 【点睛】本题考查勾股定理中弦图的有关计算，准确找出图中的线段关系，并利用完全平方公式求出各个式子的 关系是解题的关键． 2．（2022·辽宁·丹东市第五中学七年级期末）如图是“赵爽弦图”，由 个全等的直角三角形拼成的图形，若大 正方形的面积是 ，小正方形的面积是，设直角三角形较长直角边为 ，较短直角边为

第六讲 勾股定理 模型（二十三）——赵爽弦图模型 ◎结论1：在正方形BD 的四边B，B，D，D 上分别取点E，F，G，，使得BE＝F＝ GD＝，则四边形EGF 是正方形 【证明】在正方形中，BE=F=GD=，∴E=BF=G=D, 又∵∠=∠B=∠=∠D=90°， ∴Rt△BEF≌Rt△FG≌Rt△DG≌Rt△E， ∴EF＝FG＝G＝E 个全等的直角三角形与1 个小正方形镶嵌而成的 正方形图，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y 表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结 论：① ；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（ ） ．①② B．②④ ．①②③ D．①③ 2．（2022·辽宁·丹东市第五中学七年级期末）如图是“赵爽弦图”，由 个全等的直角三角形拼成的图形，若大 正方形的面积是 ；③2xy＝45；④x+y＝9． 2．（2022·河南南阳·八年级期末）把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分 别拼成如图②，③所示的正方形（图②中大正方形边长为5，图③中中间小正方形边长为1），则图①中菱形的面 积为________． 3．（2022·山西吕梁·八年级期末）如图是一幅赵爽弦图，利用此图可以证明勾股定理．现连接BE，发现B＝BE， 若DE＝1，则正方形BD

专题08 三角形中的重要模型之弦图模型、勾股树模型 弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题， 相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久 远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂学中数 学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能 ............................................................................................2 模型1 弦图模型................................................................................................. .........18 模型1 弦图模型 “弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个 全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰 是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。 数学具有高度的抽象性，考试中有时候不会直观明了的出现弦图模型，所以学习中我们要抓住弦图本质灵 活变形，从而增强数学的变化

专题08 三角形中的重要模型之弦图模型、勾股树模型 弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题， 相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久 远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂学中数 学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能 ............................................................................................2 模型1 弦图模型................................................................................................. .........18 模型1 弦图模型 “弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个 全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰 是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。 数学具有高度的抽象性，考试中有时候不会直观明了的出现弦图模型，所以学习中我们要抓住弦图本质灵 活变形，从而增强数学的变化

专题09 三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型 赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题， 相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久 远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂学中数 学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能 模型1、弦图模型 （1）内弦图模型：如图1，在正方形BD 中，E⊥BF 于点E，BF⊥G 于点F，G⊥D 于点G，D⊥E 于点， 则有结论：△BE≌△BF≌△DG≌△D；S 正方形BD=4S△EB+S 正方形EFG。 图1 图2 图3 （2）外弦图模型：如图2，在正方形BD 是正方形，则有结论：△E≌△BEF≌△FG≌△DG；S 正方形BD=4S△EB+S 正方形EFG。 （3）内外组合型弦图模型：如图3，2S 正方形EFG= S 正方形BD+S 正方形PQM 例1．（2023 秋·湖北·九年级校联考开学考试）如图，2002 年8 月在北京召开的国际数学家大会会标其原 型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面 积是16，直角三角形的直角边长分别为，b，且

专题09 三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型 赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题， 相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久 远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂学中数 学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能 模型1、弦图模型 （1）内弦图模型：如图1，在正方形BD 中，E⊥BF 于点E，BF⊥G 于点F，G⊥D 于点G，D⊥E 于点， 则有结论：△BE≌△BF≌△DG≌△D；S 正方形BD=4S△EB+S 正方形EFG。 图1 图2 图3 （2）外弦图模型：如图2，在正方形BD 是正方形，则有结论：△E≌△BEF≌△FG≌△DG；S 正方形BD=4S△EB+S 正方形EFG。 （3）内外组合型弦图模型：如图3，2S 正方形EFG= S 正方形BD+S 正方形PQM 例1．（2023 秋·湖北·九年级校联考开学考试）如图，2002 年8 月在北京召开的国际数学家大会会标其原 型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面 积是16，直角三角形的直角边长分别为，b，且