专题35 圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模 型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值 相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际 合理构造辅助圆来求解。实际 上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借 助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也 可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。 模型1 米勒最大张角（视角）模型 【模型解读】已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒 的视角就是这条直线关于这个圆的视角”是解题的关键． 模型2 定角定高模型（探照灯模型） 定角定高模型：如图，直线B 外一点，到直线B 距离为定值（定高），∠B 为定角，则D 有最小值，即△B 的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。。 条件：在△B 中，∠B= （定角），D 是B 边上的高，且D=（定高）。 结论：当△B 是等腰三角形（B=）时，B 的长最小；△B

专题35 圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模 型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值 相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际 理构造辅助圆来求解。实际 上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借 助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也 可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。 模型1 米勒最大张角（视角）模型 【模型解读】已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒 的“视角"大于 ，直接写出圆心的横坐标 的取值范围． 模型2 定角定高模型（探照灯模型） 定角定高模型：如图，直线B 外一点，到直线B 距离为定值（定高），∠B 为定角，则D 有最小值，即△B 的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。。 条件：在△B 中，∠B= （定角），D 是B 边上的高，且D=（定高）。 结论：当△B 是等腰三角形（B=）时，B 的长最小；△B

面积定值、等值问题 一、方法突破 定值问题 【问题描述】 如图，抛物线 与x 轴交于、B 两点（点在点B 左侧），与y 轴交于点，连接 B，抛物线在线段B 上方部分取一点P，连接PB、P，若△PB 面积为3，求点P 坐标． P O A B C x y 思路1：铅垂法列方程解． 根据B、两点坐标得直线B 解析式：y=-x+3， 设点P 坐标为 ， 过点P 作PQ⊥x 轴交B 联立方程： ，解之即可． 当点Q 坐标为（0,1）时，PQ 解析式为：y=-x+1， 联立方程： ，解之即可． 等值问题 【问题描述】 如图，抛物线 与x 轴交于、B 两点（点在点B 左侧），与y 轴交于点，连接 B，抛物线上存在一点P 使得△PB 的面积等于△B 的面积，求点P 坐标． P O A B C x y 思路1：铅垂法 计算出△B 面积，将“等积问题”转化为“定积问题”，用铅垂法可解．

（四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、 阿基米德折弦定理） 目 录 题型01 四点共圆 题型02 圆幂定理 题型03 垂径定理 题型04 定弦定角 题型05 定角定高模型（探照灯模型） 题型06 阿基米德折弦定理 题型01 四点共圆 1 四点共圆的判定 判定方法 图形 证明过程 若四个点到一个定点的距离相 等，则这四个点共圆（圆的定 义） 适用范围：题目出现共端点，等 【点睛】本题属于圆内综合题，考查圆的基本知识，垂径定理，圆周角定理，旋转的性质，直角三角形斜 边中线的性质，平面直角坐标系，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理 等，综合性较强，有一定难度，解题的关键是综合运用上述知识，逐步推导论证． 7．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）射线B 与直线D 交于点E，∠ED＝60°，点F 在直线D 上运动，连接 F，线段F 绕点顺时针旋转60°得到G，连接FG，EG，过点G 阅读材料 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所普的一部数学著作它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公 设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的科书其中第三卷命题36 一2 圆幂定理（切割线定 理）内容如下： 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项为了 说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，

（四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、 阿基米德折弦定理）目 录 题型01 四点共圆 题型02 圆幂定理 题型03 垂径定理 题型04 定弦定角 题型05 定角定高模型（探照灯模型） 题型06 阿基米德折弦定理 题型01 四点共圆 1 四点共圆的判定 判定方法 图形 证明过程 若四个点到一个定点的距离相 等，则这四个点共圆（圆的定 义） 适用范围：题目出现共端点，等 阅读材料 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所普的一部数学著作它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公 设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的科书其中第三卷命题36 一2 圆幂定理（切割线定 理）内容如下： 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项为了 说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整， 直线与圆 有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线 定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定 理“证明一”，请补充完整． 已知：如图①，过⊙O外一点P作⊙O的两条割线，一条交⊙O于A、B点，另一条交⊙O于C、D点． 求证：PA ⋅PB=PC ⋅PD． 证明一：连接AD、BC， ∵∠A和∠C为´

圆 模型（三十七）——定弦定角模型 定弦定角：线段定，角度大小定 知识点一: ◎结论1：如图，B 定长，P 动点，保持∠PB ＝，则点P 在B 所对的圆弧上运 动。 ◎结论2：90°，如图B 定长，P 动点，保持∠PB ＝90º，则点P 在以B 为直 径的圆弧上运动（不包含、B 两点） 解题步骤： 1. 寻找张角 寻找张角 2. 根据张角动线段、确定 隐形圆 3. 定角是圆周角，找圆心 定半径 知识点二：30º、150 ◎结论3：如图，B 定长，P 动点，保持∠PB ＝30º（或∠PB ＝150º），则点 P 在以B 为边构造的等边△B（或△B´）的顶点（或´）为圆心的圆弧 上运动（不包含、B 两点） 当动点处的角度为150°时， 方法同上 知识点三：45º、135 的最小值为__________． 【答】2 【分析】如图，连接E．首先证明∠BE=120°，根据定弦定角，可得点E 在以M 为圆心，MB 为半径的 上运动，连接M 交 于E′，此时E′的值最小． 【详解】解：如图，连接E． ∵P∥B， ∴∠P=∠B=60°， ∴∠EP=∠P=60°， ∴∠BE=120°， ,为定值，则点E 的运动轨迹为一段圆弧 如图，点E 在以M 为圆心，MB 为半径的 上运动，过点

专题五： 写 作 第40 讲 审题定中心 目 录 一、考情分析........................................................................................2 【课标要求】.................................................................. 例如，面对菏泽题“心中一片月”，审题时必须明白中心词“月”为喻体，其本体可以是纯净的内心、 思念的情愫、清朗的品格、人间的温馨、坚守的愿望等；“心中一片”四字强化了“月”的感染力，如果 把实体“月”景与“心中月”之虚义自然融合，则更能情景交融，胜人一筹。 【链接中考】 （2023·湖南永州·统考中考真题）自然界中，有绿色、红色、白色、橙色等各种颜色，五彩缤纷。其实人 生也是如此，有的人生是绿色的，生机勃勃 一是符合特定要求。如写南京题，写作时要多用口语，还可穿插与师生的交流语。 二是根据题意想象。比如写威海题“20 年后的遇见”，可指向主旨想象——将表现“20 年后”的新 变化、新气象、新成就作为文章之魂，表现催人奋进的正能量。 三是蕴含新意想象——情节设置不仅要“有意义”，而且要“有意思”。 威海市有位考生写“我”“二十年后”成为著名科学家，“遇见”当年的老师、同学们，给他们送上 了自己发明

专题五：写作 第40 讲 审题定中心（练习） 目 录 一、考点过关练............................................................2 二、真题实战练..........................................................14 三、重难创新练....................... 边做还边 打呵欠。而每一次帮我运动后，都满身大汗，似乎比我还累。我笑了，心中好像有一股暖流，幸福的暖 流。 家庭，让人感觉多么温暖。举手投足之间，是爱的横溢；言语说之中，是疼的表现，手起掌落之隙， 是幸福的暖风在回荡。 那次骨折，连医生都惊叹我的恢复能力。我想可能是家的力量所创造的奇迹吧，不，一定是这样的! 想着，想着，我的心潮澎湃，热泪夺眶而出。 幸福就是现在，幸福就在身边。这，就是幸福！ “绽放”这个动词是一个动态的过程，要善于捕捉“绽放”的过程，可以讲述有关“绽放”的经历，重 点描述“那一刻”的“绽放”给自己带来的感受。我们可以直接叙事，写自己如何通过顽强拼搏让人生 绽放绚丽之花，也可以由花的顽强绽放而领悟对自己的人生启迪等。 二、选材构思。“绽放”的内容是丰富多彩的，要选择自己最熟悉的来写。如：我们可以写“绽放”指 的是幸福。幸福就是人生中一幅幅充满爱意的剪影，幸福是黄昏在公长凳上一对老人相互依偎、谈笑风

给我一个你的银行帐号，我现在还你的钱——收到这条短信，当时感动的一塌糊涂。 98.平安夜快到了，平安夜那天，谁送我个苹果，我就送谁苹果。 99.今天看书，看到康熙皇帝在二十三岁的时候已经贵为一国之君，绩伟功丰，我很沮 丧；但又看到同治皇帝在二十三岁时已经死了四年了，我平衡了。 100.不要和我比懒，我懒得和你比。 1.喝醉了我谁也不服，我就扶墙！ 2.老婆：你说我婚前美得像一部电影，啥电影啊？老公：无声电影……。 给我一个你的银行帐号，我现在还你的钱——收到这条短信，当时感动的一塌糊涂。 98.平安夜快到了，平安夜那天，谁送我个苹果，我就送谁苹果。 99.今天看书，看到康熙皇帝在二十三岁的时候已经贵为一国之君，绩伟功丰，我很沮 丧；但又看到同治皇帝在二十三岁时已经死了四年了，我平衡了。 1.知道你过得不好，我也就安心了。 2.所谓放假就是在家挨骂，出门没钱，一天特闲。 3.哗众可以取宠，也可以失宠。 了代码，查得出异常，杀得了木马，翻得 了围墙，开得起好车，买得起新房，斗得过二奶，打得过流氓… 14.四年前，要是有女生冲我莫名其妙发脾气，我会默默想“淡定，她是来大姨妈了”。四 年后，再有女孩莫名其妙冲我发脾气，我会默默想“淡定，她一定是大姨妈没有按时 来。” 15.男人违章停车被罚款会和警察吵一架，女人在一边劝；女人违章停车被罚款会和身边的 男人吵一架，警察在一边劝。 16

中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》 与最值、定值相关的压轴题 方法提炼： 1、已知一条直线上一动点M 和直线同侧两个固定点、，求M+M 最小值的问题，我们只需 做出点关于这条直线的对称点B，将点与B 连接起来交直线与点M，那么B 就是M+M 的最 小值。同理，我们也可以做出点关于这条直线的对称点’，将点与’连接起来交直线与点 M，那么’就是M+M 的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。 （2）求t∠BD 的值； （3）将抛物线向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线1，如图2，记抛物线1的顶点为 1，与x 轴负半轴的交点为D1，与射线B 的交点为1．问：在平移的过程中，t∠D11B 是 否恒为定值？若是，请求出t∠D11B 的值；若不是，请说明理由． 3．如图，已知抛物线y＝x2+2x+与y 轴交于点（0，6），与x 轴交于点B（6，0），点P 是 线段B 上方抛物线上的一个动点． （1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标； 作直线DE∥y 轴，交x 轴于点E，点P 是抛物线上B，D 两点间的一个动点 （点P 不与B，D 两点重合），P、PB 与直线DE 分别交于点F，G，当点P 运动时， EF+EG 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． 6．【定义】函数图象上的任意一点P（x，y），y﹣x 称为该点的“坐标差”，函数图象上 所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值” 【感悟】根据你的阅读理解回答问题：