标题：分手后对方有新欢，如果想要挽回，就要做到以下三点！ 开头：分手后对方有新欢，如果想要挽回，就要做到以下三点： 正文：1.假装祝福他 无论是不是和你在一起的时候开始的暧昧，他都会对你此时还 存在一些愧疚感。而我们要做的就是利用他的愧疚感，并加剧 它。像这样“你女朋友对你真的很不错，我也看到了我的很多 不足，希望她能比我对你更好。" 这样会让男生对你的态度从强硬变柔软不少。相当于以柔克刚，

上截取使=k·r（即 ），∵ ，∴ ， ∠ ∵ P=∠BP，∴△P∽△BP，∴ ，即k·PB=P。 故本题求“P+k·PB”的最小值可以转化为 “P+P”的最小值。 其中与与为定点，P 为动点，故当、P、三点共线时，“P+P”值最小，如图3 所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在 于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外： 是公共角，可得△P∽△P，得 P=3P，当B,,P 三点共线时，3P+PB 的值最小为B，利用勾股定理求出B 的长即可得答． 【详解】如图，在y 轴上取一点（0,9），连接P, ⊙ ∵ 半径为3，点（0，1），点B（2，0），∴P=3，=1，B=2，=9, ∵ ，∠P 是公共角，∴△P∽△P，∴P=3P， ∴3P+PB=P+PB,∴当B,,P 三点共线时，3P+PB 最小值为B, ∴B= = = = ，∴3P+PB 的最小值为 ．故答为： 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及最小值问题，正确理解、P、B 三点在同一条直线上时 3P+PB 有最小值，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 例5．（2024·山东·模拟预测）如图，在 中， ， ， ， 在以 为圆 心3 为半径的圆上，则 的最小值为 ． 【解答】解：在 上取点 ，使 ， ， ， ， ， ， ， 在 延长线上取

1．口诀：同侧差最大 2．图形：如图 1 所示，、B 为定点，P 为 l 上一动点，试求 的最大值与最小值． 解析 1：“最大值” ① 两边只差小于第三边， ≤B，当 、B、P 三点共线时，取等号 ② 所以连接 B 并延长与 l 的交点即为所求点 解析 2：“最小值” ① 绝对值具有非负性 ≥0，当 P＝PB 时成立 ② P 为 B 中垂线与 l 的交点． 二、典例精析： 的坐标． 【分析】（1）把抛物线解析式的一般式写成顶点式，可求顶点坐标，令x＝0，y＝2， 可得B 点坐标； （2）当、B、P 三点共线时，P﹣PB＝B，当三点不共线时，根据“三角形的两边之差 小于第三边”可证结论； （3）通过分析可知，P﹣PB 最大时，、B、P 三点共线，求直线B 解析式，令y＝0， 可得P 点坐标． 【解答】（1）解：抛物线y＝﹣ x2﹣x+2 与y 轴的交于点B， 令x＝0 x2+bx+，即可求解； （2）分当点B、、M 三点不共线时、当点B、、M 三点共线时，两种情况分别求解即 可； 【解答】解：（1）①将（0，3），（﹣3，0）代入y＝ x2+bx+得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式是y＝ x2+ x+3； （2）将直线y＝ x+3 表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0 或﹣4， ∵ （0，3），∴B（﹣4，1） ①当点B、、M 三点不共线时， |MB﹣M|＜B

分）（任答三点得6 分） (3)与陆路运输方式对比说明阿富汗松子选择航空方式进入中国市场的理由。（6分） 阿富汗属于多山的内陆国家，陆路交通建设难度大；（2 分）阿富汗距离中国主要松子 消费市场较远，陆路运输耗时长，速度较慢；（2 分）阿富汗松子保鲜期较短，航空运输相 比陆路运输时间短；（2 分）阿富汗松子品质好，市场价格高，可以支付航空运输较高的费 用。（2 分）（任答三点得6 分） 分）大火可以消除一些病虫害，有利于草原生长。（2 分）（任答三点得6 分） （3）有人建议继续扩大养羊业的规模，提高玉羊的知名度。你是否同意，并说明理由。（6分） 同意：随着生态环境的改善，牧草丰富，饲料增多；（2 分）右玉羊品质优良，市场需求量 大；（2 分）提供就业机会，增加收入；（2 分）带动农畜产品加工等相关产业的发展，促进 区域经济发展等。（2 分）（任答三点得6 分） 不同意：位于农牧交错带，生态环境脆弱，生态承载力有限；（2 地处盛行西风带,风浪较大;（2 分）纬度较高,冬季昼短夜长,施工期短;（2 分）冬季封冻期较 长,水温低,施工困难;（2 分）海底复杂的地质状况和海水的腐蚀性影响铺设和维护。（2 分） （任答三点得6 分） (3)简述俄罗斯输往德国的天然气选用管道运输而不选择海洋运输的主要原因。（6分） 天然气需压缩成液态才能海运,技术要求较高;（2 分）压缩后的液态天然气,储运成本高;（2 分）海洋运输相比管道运输

分）（任答三点得6 分） (3)与陆路运输方式对比说明阿富汗松子选择航空方式进入中国市场的理由。（6 分） 阿富汗属于多山的内陆国家，陆路交通建设难度大；（2 分）阿富汗距离中国主要松子 消费市场较远，陆路运输耗时长，速度较慢；（2 分）阿富汗松子保鲜期较短，航空运输相 比陆路运输时间短；（2 分）阿富汗松子品质好，市场价格高，可以支付航空运输较高的费 用。（2 分）（任答三点得6 分） 分）大火可以消除一些病虫害，有利于草原生长。（2 分）（任答三点得6 分） （3）有人建议继续扩大养羊业的规模，提高玉羊的知名度。你是否同意，并说明理由。（6 分） 同意：随着生态环境的改善，牧草丰富，饲料增多；（2 分）右玉羊品质优良，市场需求 量大；（2 分）提供就业机会，增加收入；（2 分）带动农畜产品加工等相关产业的发展， 促进区域经济发展等。（2 分）（任答三点得6 分） 不同意：位于农牧交错带，生态环境脆弱，生态承载力有限；（2 地处盛行西风带,风浪较大;（2 分）纬度较高,冬季昼短夜长,施工期短;（2 分）冬季封冻期较 长,水温低,施工困难;（2 分）海底复杂的地质状况和海水的腐蚀性影响铺设和维护。（2 分） （任答三点得6 分） (3)简述俄罗斯输往德国的天然气选用管道运输而不选择海洋运输的主要原因。（6 分） 天然气需压缩成液态才能海运,技术要求较高;（2 分）压缩后的液态天然气,储运成本高;（2 分）海洋运输相比管道运输

说明：D 是△B 的水平宽，B 是△B 的铅垂高 【模型总结】无论点、B、三点的相对位置如何，“宽高模型”对图形面积求解总是适用，其证明方法、 证明过程、最终结论都基本一致，利用大面积-小面积或割补法求解，体现出数学中“变中不变”的和谐统 一之美。 1、如图，抛物线y=x2+bx+经过（-3，0），B（1，0），（0，3）三点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P 为抛物线上在第二象限内的一点，若△P 2、在平面直角坐标系xy 中，对于任意三点，B，的“矩面积”，给出如下定义： 3、“水平底”：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面 积”S=． 4、例如：三点坐标分别为（1，2），B（-3，1），（2，-2），则“水平底”=5，“铅垂高”=4，“矩面 积”S==20． 5、（1）已知点（1，2），B（-3，1），P（0，t）． 6、①若，B，P 三点的“矩面积”为12，求点P 三点的“矩面积”为12，求点P 的坐标； 7、②直接写出，B，P 三点的“矩面积”的最小值． 8、（2）已知点E（4，0），F（0，2），M（m，4m），（， ），其中m＞0，＞0． 9、①若E，F，M 三点的“矩面积”为8，求m 的取值范围； 10、②直接写出E，F，三点的“矩面积”的最小值及对应的取值范围． 解：（1）①由题意：=4． 当t＞2 时，=t-1， 则4（t-1）=12，可得t=4，故点P 的坐标为（0，4）；

②即过点作F//B，且F=。（构造一边一角，得全等）；③构造出△D △ ≌EF ( SS)；证出EF=D； ④D+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF 即为所求，此时，B、E、F 三点共线； ⑤求BF。构造直角三角形求出BG 和FG，再利用勾股定理求出BF 即可。 例1．（23-24 九年级上·广东广州·期中）在等边三角形 中，边 上的点 从顶点 出发，向顶点 运动，同时，边 最小值为 ． 【答】 【分析】过点作∥B，且=B，连接D，由题意易得∠D=∠BE，进而可证△D △ ≌BE，则有D+BE=D+D，当 D+BE 为最小时，即D+D 为最小，当点、D、三点共线时即为最小，连接，交B 于点M，过点M 作M⊥B 于点，点分别作F⊥B 于点F，如图所示，即的长度为D+BE 的最小值，然后可得 ，则有 ， ，然后问题可求解． 【详解】解：由题意可得如图所示： 过点作∥B，且=B，连接D，如图所示，∴∠D=∠B， ∵B=，∴∠B=∠B，∴∠D=∠BE， ∵D=E，∴△D △ ≌BE（SS），∴D=BE，∴D+BE=D+D， ∴当D+BE 为最小时，即D+D 为最小， ∴当点、D、三点共线时即为最小，连接，交B 于点M，过点M 作M⊥B 于点，点分别作F⊥B 于点F，如 图所示，即的长度为D+BE 的最小值， ∵B==5，B=6，∴BF=F=3，∴ ， ∵ ，∴ ，∵ ，

法国大革命中已通过了 《人权宣言》 ； 受法国大革命政治文化影响； 拿破仑帝国的建立， 国内政局趋 于稳定； 启蒙运动的影响； 拿破仑的直接领导； 资本主义的发展。 （答出其中任意一点给2 分， 答出三点给5 分， 其他答案言之有理亦可给分） （2） 评价： 拿破仑认为自己的最大功绩是制定了 《民法典》 （ 《拿破仑法典》 ） 。 （1分） 说明： 宣传了启蒙思想； 巩固了资产阶级革命的成果； 巩固了资产阶级革命的成果； 一定程度动摇了欧洲封建势力， 推动资本主义在 欧洲的发展； 《民法典》 （ 《拿破仑法典》 ） 成为资本主义社会的法律规范； 对后世影响深远。 （答出其中任意一 点给2分， 答出三点给5分， 其他答案言之有理亦可给分） 18. （10分） （1） 《坤舆万国全图》 是明朝绘制的第一张世界地图， 是可用于研究明朝世界地图绘制的技术与方法的 第一手资料； 因其是传教士和明朝士大夫合作绘制， 该图把中国置于地图的中心， 可用于研究明朝天朝上国 的观念。 （答出其中任意一点给2分， 答出三点给5分， 其他答案言之有理亦可给分） （2） 小农经济占主导地位； 统治者固守 “天朝上国” 的观念， 坚持闭关锁国的政策； 君主专制制度的强化； 传统观念的保守固化。 （答出其中任意一点给2分， 答出三点给5分， 其他答案言之有理亦可给分） 19. （19分） （1） 高产作物的引进； 新的农业生产技术的推广；

的两端在坐标轴上滑动，∠B=90°，B 的中点为Q，连接Q，Q，当， Q，三点共线时，取得最大值。 【证明】如图在 Rt△B 中，点Q 是中点，∴Q=1 2 B 在 Rt△B 中，由勾股定理得 Q= ❑ √QB 2+CB 2 ＝❑ √( 1 2 AB) 2 +CB 2 若要取得最大值，则 ，Q，三点共线，即 =Q+Q，即 =1 2 B+❑ √( 的中点E，连接E、DE、D，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当、E、D 三点共线时，点 D 到点的距离最大，再根据勾股定理求出DE 的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出E 的长，两 者相加即可得解． 【详解】取 中点 ，连接 、 、 ， ， ． 在 中，利用勾股定理可得 ． 在 中，根据三角形三边关系可知 ， 当 、 、 三点共线时， 最大为 ． 故选 ． 【点睛】本题考查了直角 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股 定理，根据三角形的三边关系判断出点、E、D 三点共线时，点D 到点的距离最大是解题的关键． 2．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝1，＝4，点在y 轴上，点在x 轴上，则点在 移动过程中，B 的最大值是_____． 【答】2+ 【分析】取的中点P，连接P，BP，B，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到P

短视频剧本分享：带三点水的汉字 内景，课室内，白天 一老师在教同学们带有水字旁的汉语 （老师在黑板上写着三点水部首） 老师：同学们，就证明中国汉字有三点水的，就一定有水 学生（不屑站起来）：切，老师，沙漠？ 老师（尴尬）：沙漠……沙漠它也是绿洲消失以后才形成的沙漠 学生：那你说一定有水 老师：好……老师说的不够严谨，老师重说好不好？（学生一片嘘声）那就是说汉字里有 三点水的就一定和水有关系， 三点水的就一定和水有关系， 学生（转转头）：哎老师，我想起一个汉字也有三点水，但是我不知道跟水有什么关系， 老师（笑着说）：哪个汉字啊？ 学生：滚 （气的老师无语）